数学必修2---直线与方程典型例题

1、第三章直线与方程【典型例题】题型一求直线的倾斜角与斜率设直线l斜率为k且 1<k<1则倾斜角的取值范围拓展一三点共线问题例已知三点 A(a, 2)、B(3, 7)、C(-2 , -9a)在一条直线上，求实数 a的值.1 1例已知三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab 0)在一条直线上，则 上 1a b拓展二与参数有关问题例已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0),过点P (-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的 斜率k的取值范围.变式训练：已知A(2, 3),B( 3, 2)两点，直线l过定点P(1,1)且与线段 AB相交，求直线l的斜率k 的取

2、值范围.拓展三利用斜率求最值例已知实数x、y满足2x y 8,当2wxw3时，求的最大值与最小值。x3.1.2两条直线平行与垂直的判定【典型例题】题型一两条直线平行关系例 1 已知直线 li 经过点 M (-3, 0)、N (-15, -6) , 12 经过点 R (-2, 9 )、S (0,25),试判断11与12是否平行？2变式训练：经过点 P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则 m的值是().A. 4 B. 1 C. 1 或 3 D. 1 或 4题型二两条直线垂直关系例2已知 ABC的顶点B(2,1), C( 6,3),其垂心为H( 3,2),求顶点 A的坐标.变式

3、训练：(1) l1的倾斜角为45°, 经过点P (-2, -1)、Q (3, -6),问L与质是否垂 直？(2)直线1i,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则1i与l2的位置关系是 .题型三根据直线的位置关系求参数例3已知直线Ii经过点A(3,a)、B (a-2,-3),直线l2经过点C (2, 3)、D (-1, a-2),(1)如果Ii1 则求a的值；(2)如果Ii ±12,则求a的值题型四直线平行和垂直的判定综合运用例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2靠)、B( 2,2)、C(0,2 2J2)、D(4,2),试判断四边形ABCD的形状.变式训练：已知A (

4、1, 1) , B (2, 2) , C (3, -3),求点 D,使直线CDXAB,且CB /AD.探点一数形结合思想例5已知过原点 。的一条直线与函数 y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点 A、B作y 轴的平行线与函数 y=log2x的图象交于 C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上.(2)当BC平行于x轴时，求点 A的坐 标.探点二分类讨论思想例6 ABC的顶点A(5, 1), B(1,1), C(2,m),若 ABC为直角三角形，求m的值.3.2直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【典型例题】题型一求直线的方程例1写出下列点斜式直线方程：(1)经过点A(2,5)

5、,斜率是4; (2)经过点B(3, 1),倾斜角是30o.例2倾斜角是135°,在y轴上的截距是3的直线方程是变式训练：1 .已知直线l过点P(3,4),它的倾斜角是直线 y x 1的两倍，则直线l的方程为2 .已知直线l在y轴上的截距为一3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线l的方程.3 .将直线y x 73 1绕它上面一点(1,点)沿逆时针方向旋转15。，得到的直线方程题型 二利用直线的方程求平行与垂直有关问题例3已知直线li的方程为y 2x 3,12的方程为y 4x 2 ,直线l与li平行且与12在y轴上的截距相同，求直线1的方程。探究一直线恒过定点或者象限问题例4.

6、已知直线y kx 3k 1.(1)求直线恒经过的定点；(2)当3 x 3时，直线上的点都在 x轴上方，求实数k的取值范围探究二直线平移例5已知直线l: y=2x-3 ,将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为3.2.2直线的两点式方程【知识点归纳】1 .直线的两点式方程:2 .直线的截距式方程:【典型例题】题型一求直线方程例1已知 ABC顶点为A(2,8), B( 4,0), C(6,0),求过点B且将 ABC面积平分的直线方程变式训练：1.已知点A (1, 2)、B (3, 1),则线段 AB的垂直平分线的方程是().A. 4x 2y 5 B. 4x 2y 5 C.

7、 x 2y 5D. x 2y 52.已知 2x1 3y1 4,2x2 3y2 4 ,则过点 A(X1,y1),B(X2, y?)的直线 l 的方程是()A. 2x 3y 4 B. 2x 3y 0 C. 3x 2y 4 D. 3x 2y 0例2求过点P(3,2),并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线l过点(3, -1),且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为题型二直线方程的应用例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用 y (元)是行李重量 x (千克)的一次函数，其图象如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式，并说明自变

8、量x的取值范围；(2)如果某旅客携带了 75千克的行李，则应当购买多少元行李票？10 探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例4已知直线l过点(2,3),且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程.探究二有关光的反射例5光线从点A (3, 4)发出，经过x轴反射，再经过 y轴反射，光线经过点 B (-2, 6),求射入y轴后的反射线的方程.变式训练：已知点A( 3,8)、B(2,2),点P是x轴上的点，求当|AP PB最小时的点P的坐标.10 / 163.2.3直线的一般式方程【知识点归纳】1 .直线的一般式：2 .直线平行与垂直的条件:【典型例题】题型一灵活选用不同形式求直线方程例1根据下

9、列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是-,经过点 A (8, 2) ;(2)经过点B(4, 2),平行于x轴；23(3)在x轴和y轴上的截距分别是 3 ,-3; (4)经过两点P (3, 2)、巳(5,24).题型二直线不同形式之间的转化例2求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点 A( 5,6), B( 4,8).题型三直线一般式方程的性质例3直线方程Ax By C 0的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下 性质？(1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x轴相交；(3)只与y轴相交；(4)是x轴 所在直线；(5)是y轴所在直线.变式训练 ：已知直线l :

10、5ax 5y a 3 0。（ 1 ）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围。题型 四 运用直线平行垂直求参数例4已知直线11 ： x my 2m 2 0 , l2 : mx y 1 m 0 ,问m为何值时: （ 1） l1 l2 ；（ 2） l1 /l 2 .变式训练：（1 ）求经过点A（3,2） 且与直线4x y 2 0平行的直线方程；（ 2）求经过点B（3,0） 且与直线2x y 5 0垂直的直线方程.题型 五 综合运用例5已知直线11 ： x my 6 0 , I2 : (m 2)x 3y 2m 0 ,求m的值，使得:(1) 11

11、和 12 相交；(2) 11X12； (3) 11/12； (4) 11 和 12 重合.3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1 .两条直线的焦点坐标：2 .两点间的距离公式：【典型例题】题型 一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（ 1 ）直线l1: 2x3y+10=0 ,l2:3x+4y2=0；（2）直线l1: nx y n1 , l2:ny x 2n .题型 二 三条直线交同一点例 2 若三条直线2x 3y 8 0,x y 10， kx y 2 0 相交于一点，则k 的值等于变式训练

12、1.设三条直线：x 2y 1,2x ky 3,3kx 4y 5交于一点，求k 的值2.试求直线l1 : x y 2 0 关于直线l2 :3xy 3 0对称的直线l 的方程 .题型 三 求过交点的直线问题例 3 求经过两条直线2x y 8 0 和 x 2y 1 0 的交点，且平行于直线4x 3y 7 0 的直线方程.变式训练：已知直线li： 2x-3y+10=0 , 12： 3x+4y-2=0.求经过li和12的交点，且与直线 13： 3x-2y+4=0 垂直的直线l 的方程 .题型 四 两点间距离公式应用例4已知点A( 2, 1), B(a,3)且|AB| 5,则a的值为变式训练：在直线2x

13、y 0上求一点P ,使它到点M (5,8)的距离为5 ,并求直线 PM的方程.题型 五 三角形的判定例5已知点A(1,2), B(3,4), C(5,0),判断 ABC的类型.探究一直线恒过定点问题例6已知直线(a 2)y (3a 1)x 1.求证：无论a为何值时直线总经过第一象限变式训练：若直线l: y=kx J3与直线2x+ 3y6=0的交点位于第一象限，求直线 l的倾 斜角的取值范围.探究 二 利用对称性求最值问题(和最小，差最大)例7直线2x y 4=0上有一点P,求它与两定点 A(4, 1), B(3, 4)的距离之差的最大值变式训练：已知M(1,0)、N( 1,0),点P为直线2x

14、 y 1 0上的动点.求 PM2 PN 2的最小值，及取最小值时点 P的坐标.3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1 .点到直线的距离：2 .两条平行间直线的距离:拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一利用点到直线距离求参数例1已知点(a,2) (a 0)到直线l:x y 3 0的距离为1,则a=()a. 22b, - J2c. 72 i d. 72 i题型 二利用点到直线距离求直线的方程110例2求过直线11： y -X 10和12: 3x y 0的交点并且与原点相距为 1的直线l的方程.33变式训练：直线l过点P(1, 2),且M(2, 3)

15、, N(4, 5)到l的距离相等，则直线l的方程是题型 三利用平行直线间的距离求参数例3若两平行直线3x 2y 1 0和6x ay c 0之间的距离为 独3 ,求 J2的值.13 a变式训练：两平行直线5x 12y 3 叫10x 24y 5 0间的距离是(A. 2B. 1CD.513132626题型 四利用平行直线间的距离求直线的方程例4与直线l :5x 12y 6 0平行且与l的距离2的直线方程是题型 五点、直线间的距离的综合运用例5已知点P到两个定点 M ( 1, 0)、N (1, 0)距离的比为 72,点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程.13 /16探究 一 与直线有关的对称问题例6 4ABC中，A（3,3）, B（2, 2）, C（ 7,1）.求/ A的平分