数学选修1-2-第一章-统计案例-导学案

1、第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用(1)一、设置情境，引入课题引入：对于一组具有线性相关关系的数据(Xi,yi),(X2,y2),(X3,y3),L ,(Xn,yn).其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：n_(Xi x)(yi y)$ y $x $(Xi x)2 i 1_1n_1nx Xiy- yi(x, y)称为样本点的中心。n i 1n i 1x,体重为因变量y作散点图回归方程：y b$x $编R12345678身高/cm,165165157170175165155170体重/kg4857505464614359二、例题应用，剖析回归基本思想与方法例1、

2、从某大学中随机选取 8名女大学生，其身高和体重的数据如图所示:(1)画出以身高为自变量 X,体重为因变量y的散点图(2)求根据女大学生的身高预报体重的回归方程(3)求预报一名身高为172cm的女大学生的体重解：(1)由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量Q$ 0.849,$85.712(2回归方程：$ 0.849X 85.712.(3)对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报体重为:$ 0.849 172 85.712 60.316(kg)练习1观察两相关变量得如下数据X一1一23一4一553421y一9一75一3一115379求两个变量的回归方程1010答：qx 0,y

3、 0,xi2i 1110,xyi 110,i 110X" i 1 "102 Xi i 110xy一 210x110 10 0 , 1,a110 10 0y bx 0 0* 0.所以所求回归直线方程为$ x例2.研究某灌溉倒水的流速 y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：.水深x (m)1.401.501.601.701.801.902.002.10流速y(m/s)1.701.791.881.952.032.102.162.21(1)求y与x的回归直线方程;(2)预测水深为1.95m时水的流速是多少？分析：(1) y与x的回归直线方程为 § 0.733x 0.69

4、48(2)当水深为1.95m时，可以预测水的流速约为2.12m/s练习21.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),L ,( 4, yn).则下列说法不正确的是()A.由样本数据得到的回归方程$ $x $必过样本中心(x, y)B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好22 .C用相关指数R来刻回回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y与x之间的相关系数r 0.9362,则变量y与x之间具有线性相关关系2.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据：年份198519861987

5、19881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0若x与y之间线性相关，求蔬菜年平均产量y与使用氮肥量x之间的回归直线方程，并估计每单位面积蔬1515菜的年平均产量.(已知 X 101, y 10.11,x2 161,xiyi 16076.8 )i 1i 1解：设所求的回归直线方程为$ bx a,则Xi yi 15xy i 1xi

6、 15x i 116076.8 15 101 10.11161125 15 10120.0937, a y bx 10.11 0.0937 101 0.6463.1518 / 17所以，回归直线方程为：$ 0.0937x 0.6463当x=150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量$ 0.0937 150 0.6463 14.701(kg)3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于x的线性回归方程$ bx a；(

7、3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生 产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5)解：(1)由题设所给数据，可得散点图如下图利i能耗:吨标港悍012356网产量：吨)(2)由对照数据，计算得：2X 86, xi 14.5, y2.5 3 4 4.53.5,已知xiyi66.5i 1所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为:4_ _66.5 4 4.5 3.5T286 4 4.520.7, a y bx 3.5 0.7 4.5 0.35.X y 4xgyi 1422

8、xi4xi 1因此，所求的线性回归方程为$ 0.7x 0.35(4)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90 (0.7 100 0.35) 19.65 (吨标准煤)。1.1回归分析的基本思想及其初步应用(2)【教学过程】一、设置情境，引入课题上节例题中，身高172cm女大学生，体重一定是 60kg吗？如果不是，其原因是什么?二、引导探究，发现问题，解决问题1 $ 0.849X 85.712对于$ 0.849是斜率的估计值，.说明身高x每增加1个单位，体重就,表明体重与身高具有的线性相关关系。2如何描述线性相关关系的强弱？(x x)(yiy)i 1nn一 2

9、一 2(x x) (y y)i 1i 1(1)r>0表明两个变量正相关；(2) r<0表明两个变量负相关；(3) r的绝对值越接近1,表明相关性越强，r的绝对值越接近0,表明相关性越弱。(4)当r的绝对值大于0.75认为两个变量具有很强的相关性关系。3身高172cm的女大学生显然不一定体重是60.316kg,但一般可以认为她的体重接近于60.316kg.样本点与回归直线的所有的样本点不共线，而是散布在某一条直线的附近，该直线表示身高与体重的关系的线性回归模型表示y bx ae是y与§ bx a的误差，e为随机变量，e称为随机误差。E(e)=0, D(e尸2>0.D(

10、e)越小，预报真实值 y的精度越高。随机误差是引起预报值 $与真实值y之间的误差之一。$,$为截距和斜率的估计值，与a,b的真实值之间存在误差，这种误差也引起y与真实值y之间的误差之"o4思考产生随机误差项e的原因是什么？5探究在线性回归模型中，e是用$预报真实值y的误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？如何衡量预报的精度？D(e)2来衡量随机误差的大小。e y / + y W y $xi $2看Q($，$)(n 2)2q($, b)称为残差平方和，小越小，预报精度越高。6思考当样本容量为1或2时，残差平方和是多少？用这样的样本建立的线性回归方程的预报误差为0吗?7残

11、差分析n(yi 火)2判断原始数据中是否存在可疑数据；残差图相关指数R2 1 -(X y)2i 1R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好；R2越接近1,表明回归的效果越好。8建立回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确哪个变量时解释变量，哪个变量时预报变量。画出确定好的解释变量和预报变量得散点图，观察它们之间的关系；由经验确定回归方程的类型；按一定规则估计回归方程中的参数；得出结果后分析残差图是否异常。三、典型例题例1下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示轿车的使用年数，y表示响应的年均价格，求 y关于x的回归方程使用年数x12345678910年均价格y )26511943149410

12、87765538484290226204分析：由已知表格先画出散点图， .可以看出随着使用年数的增加，轿车的平均价格在递减，但不在一条 直线附近，但据此认为 y与x之间具有线性回归关系是不科学的，要根据图的形状进行合理转化，转化 成线性关系的变量间的关系。解：作出散点图如下图y年空价格3000 -2500 -2000 一1500- 1000 一 .500 -.* rO 51015破用年限可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此， y与x之间应是非线性相关关系.与已学函数图像比较，用§ ebx a来刻画题中模型更为合理，令 $ ln§,则$ $x $, 题中数据变成如下

13、表所示：x12345678910y7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318在散点图中可以看出变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归模型方程拟合，由表中数据可得r 0,996, r0.75,认为x与z之间具有线性相关关系，由表中数据的$0.298,$ 8.165,所以$0,298x 8.165,最后回代$ In $ ,即 y e 0.298x 8.165练习：1两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()22A模型1的R 0.98 B模型2的R 0.80一._ _2

14、_ _一._ _ 2 一一C模型3的R 0.50 D模型4的R 0.25答案A例2随着我国经济的快速发展，城乡居民的审核水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查10个家庭，得数据如下：家庭编号12345678910x收入(下兀)0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8y支出千兀0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？(2)若二者线性相关，求回归直线方程。思路点拨：利用散点图观察收入x和支出y是否线性相关，若呈现线性相关关系，可利用公式来求出回归系数，然后获得回归直线方

15、程。 解：作散点图观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈现线性相关关系。1(2) x (0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8) 1.74,10_1y (0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5) 1.42,10nxy nxyb 0.8136,a 1.42 1.74 0.0043.2-2Xi nx i 1所以回归方程y 0.8136x 0.0043练习2x对产1山东鲁洁棉业公式的可按人员在7块并排形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位： kg)施化

16、肥量x15202530354045y330345365405445450455(1) 画出散点图；(2) 判断是否具有相关关系思路点拨(1)散点图如图所示y棉花产量500 - 450x与产量y具有线性相关关（2）由散点图可知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量 系.六.课后练习与提高：1在对两个变量x、y进行线性回归分析时有下列步骤：对所求出的回归方程作出解释；收集数据（xi,yi）,i 1,2,L ,n；求线性回归方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图。如果根据可靠性要求能够作出变量x、y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）AB C D2三点（3,10） ,

17、（ 7, 20） ,（11,24）的线性回归方程为（）A y 1.75x 5.75 B $ 1.75x 5.75 C $1.75x 5.75 d£1.75x 5.753对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程$ a bx中，回归系数b （）A.可以大于0 B大于0 C能等于0 D只能小于04废品率x %和每吨生铁成本y （元）之间的回归直线方程为y 256 2x,表明（）A废品率每增加1%,生铁成本增加258元；B废品率每增加1%,生铁成本增加2元；C废品率每增加1%,生铁成本每吨增加 2元；D废品率不变，生铁成本增加 256元；答案 1 D 2 B 3 A 4 C1.2.1独立

18、性检验的基本思想及其初步应用教学目标2 2列联表)的基本思想、方法及初步应(1)通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求用；(2)经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。教学过程一、问题情境9965个人，其中吸烟者5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻 塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是 怎样得出的呢？我们看一下问题：某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了2148人，不吸烟者7817人。调查结果是：吸烟的 2148人中有49人患肺癌，2099人未患

19、肺癌；不吸烟 的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？ 二、学生活动(1)引导学生将上述数据用下表(一)来表示：(即列联表)不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965(2)估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异:在不吸烟者中，有Z42Z =0.54 %的人患肺癌；在吸烟的人中，有 .749 2.28 %的人患肺癌。 78172148问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？三、建构数学1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表，柱形图和条形

20、 图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。但这种结论能否推广到总体呢？要回答这个 问题，就必须借助于统计理论来分析。2、独立性检验：A表本不吸烟，B表不(1)假设Ho：患肺癌与吸烟没有关系。即：“吸烟与患肺癌相互独立”。用不患肺癌，则有 P(AB尸P(A)P(B)若将表中“观测值”用字母代替，则得下表(二)患肺癌未患肺癌合计吸烟aba b不吸烟cdc d合计a cb da b c d学生活动.：让学生利用上述字母来表示对应概率，并化简整理。思考交流：|ad bc|越小，说明患肺癌与吸烟之间的关系越 (强、弱)?2(2)构造随机变量 K2 n(ad bc)(其中n a b c d)(

21、a b)(c d)(a c)(b d)由此若H0成立，即患肺癌与吸烟没有关系，则 K2的值应该很小。把表中的数据代入计算得 K2的观测值k 约为56.632 ,统计学中有明确的结论，在 H0成立的情况下，随机事件 P（K2>6.635） =0.01。由此，我们 有99%勺把握认为H0不成立，即有99%勺把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。上面这种利用随机变量 N来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个 分类变量的独立性检验。说明：估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率，利用K2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据a,b,c,d取值

22、越大，效果越好。在实际应用中，当a, b,c,d均不小于5,近似的效果才可接受。（2）这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。（3）在假设H0成立的情况下，统计量 k2应该很小，如果由观测数据计算得到K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量K2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）。3、对于两个分类变量 A和B,推断“ A和B有关系”的方法和步骤为：利用三维柱形图和二维条形图；独立性检验的一般步骤：第一步，提出假设 Ho :两个分类变量A和B没有关系；第二步，根据2X2列联表和公式

23、计算 K2统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断。附：临界值表（部分）：P(k2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.834、独立性检验与反证法：反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；独立性检验原理：在一个已知 假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设 不成立。四、数学运用例1在某医院，因为患心'脏病而住院的665名男性病人中，有 214人秃顶；而另外772名不是因为患心

24、脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？解:（1）根据题中数提得列联惠如下;患心脏病不患心脏病总计秃顶E14175339不秃瓶4E14971043总计66577E1437(2 )尸加 16_ 373>10. 929.3S9x1048x665x772由99.鲜的把握认为秃顶与患心脏病有关.练习1:（1）某大学在研究性别与职称 （分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？女教逡人数，男教授人数，女副教授人数，男副教授人数。专业非统计专业统计专业1310女720（2）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情

25、况，具体数据如下表:为了判断主修统计专业是否与性别有关 系，根据表中的数据，得到K2_250 （13 20 10 7）-4.84423 27 20 30.（答案：5%）K2 3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为例2.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300由表中数据计算得到 K2的观察值k 4.514.在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？（学生自练，教师总结）强调：使得P（K2

26、3.841） 0.05成.立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；结论有95%勺把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算K2的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视 例3、为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示。根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论?功效无效合计口服584098注射643195合计12271193分析：在口服的病人中，有 58

27、 59%的人有效；在注射的病人中，有 64 67%的人有效。从直观上来9895看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明。解:提出假设Hq；药的效果与给药方式没有关系.由列联表中的敬据，求得1331-4。-'那"2皿122x71x98x95当打。成立时，力力1,即96的概率大于15%，这个概率匕僚大，所以根据目前的调查数据, 不能否定很设况口，即不能雌药的效果与给药方式直差的结论口说明：如果观测值 K2W2.706 ,那么就认为没有充分的证据显示“ A与B有关系”，但也不能作出结 论“ Ho成立&q

28、uot;，即A与B没有关系小结：独立性检验的方法、原理、步骤练习2:某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？不健康健康总计不优秀41626667优秀37296333总计7892210003.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用N进行独立性检验.学习目标通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用 学习重点：独立性检验的应用学习过程一.前置测评(1)某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授 )之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？ 。(2)某高校“统计初步”课程的教师随机调查

29、了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别 ,，、一、非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关 系，根据表中的数据，得到K250 （13 20 10 7）22（ 一 ）4,844 , K223 27 20 30>3.841 ,所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 附：临界值表(部分)：_2P （K>k。）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635二.典型例题例1为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：喜欢数学课程不喜欢

30、数学课程总计男3785122女35143178总计72228300由表中数据计算得到K2的观察值k-4.514.在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？例2、为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示。根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论?有效无效合计口服584098注射643195合计12271193三、巩固练习：1.为了研究色盲与性别白关系，调查了 1000人，调查结果如下表所示:男女正常442514色盲386根据上述数据，试问色盲与性别是否是相互独立的?男女合计正常44251

31、4956色盲38644合计4805201000解析：由已知条件可得下表依据公式得K221000 442 6 38 514956 44 480 52027.139。由于27.139 10.828,，有99%的把握认为色盲与性别是有关的，从而拒绝原假设，可以认为色盲与性别不是相互独立的。评注：根据假设检验的思想，比较计算出的K2与临界值的大小，选择接受假设还是拒绝假设。2 .考察黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病的关系，调查了 457株黄烟，得到下表中的数据，请根据数据作统计分析。培养液处理未处理合计青花病25210235无青花病80142222合计1053524572 457 25 142 80

32、 210解析：根据公式得 K2 41.61235 222 105 352由于41.61 10.828,说明黄烟经过培养液处理与否跟发生青,花病是有关系的。3 .在研究某种新药对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：存活数死亡数合计新措施13218150对照11436150合计24654300试问新措施对防治猪白痢是否有效？4 .在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料你是否“认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？晕机不晕机合计男性233255女性92534合计325789答案：1一提示：K2 7.317 6.635.,有99%的把握认为新措施对防治猪白痢

33、是有效的2 .提示：K2 2.149 2.706,我们不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机高考题目练习:1. （2011?广东文数）工人月工资 y （元）与劳动生产率 x （千元）变化的回归方程为 y=50+80x,下列判断 正确的是劳动生产率为1千元时，工资为130元；劳动生产率提高 1千元，则工资提高 80元；劳动生产率 提高1千元，则工资提高130元；当月工资为 210元时，劳动生产率为 2千元.1、解答：解：劳动生产率提高1千元，则工资提高 80元，正确，不正确.不满足回归方程的意义.故答案为：.2. （ 2013广州一模）某工厂的某种型号的机器的使用年限 X和所支出的维修费用

34、 y （万元）有下表的统计资料:x23456y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程 ?1.23X <?,据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万元（结果保留两位小数）.2、12.383. （2010广州二模文数）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：序号1234567891011121314151617181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩9063728791715882938177824885699161847886若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀.（1）根据上表完成下面的 2X2列联表（单位：人）:数学