非平衡格林函数模型：单粒子NEGF方程概要

1、.非平衡格林函数模型：单粒子NEGF方程概要Magnus Paulsson微纳米技术系，NanoDTU，丹麦技术大学2006年1月4日摘要非平衡格林函数方法常用于计算纳米尺寸的电导器件（包括分子和半导体）外加偏压后的电流及电荷密度。该方法主要用于处理弹道输运，但扩展后也可处理存在非弹性散射的输运问题。本文将尽可能清晰的导出NEGF方法中计算电流及电荷密度矩阵的几个重要方程，并加以解释。1、引论非平衡和林函数方法常用于计算纳米尺寸的电导器件（包括分子和半导体）外加偏压后的电流及电荷密度。关于分子电子学的一般性理论可参看文献1，有关半导体纳米器件的相关理论可参看文献2。本文的目的是使读者对于单电子

2、格林函数以及由此得到的电流、电荷密度矩阵表达式有一个直观的理解。本文在内容上并不求全责备，只作为文献1-4的补充。2、格林函数分立的薛定鄂方程我们把系统的哈密顿量以及波函数按三个子空间分割：器件以及两个接触电极其中描述器件与接触电极之间的相互作用。在这里我们假定不同的接触电极之间是相互独立的，亦即，不同的接触间没有相互作用项。我们将格林函数定义为 其他文献中的定义可能（也的确有）符号跟我们相反：2.1 为什么要计算格林函数？如果在薛定鄂方程中加入一个恒定微扰项，则格林函数正反映了系统对这种微扰的响应。具体来看，薛定鄂方程：对于微扰的响应：为什么我们想要知道针对这种微扰的响应呢？因为通常说来，计

3、算格林函数都比直接处理本征值问题要容易（由下一节的阐述可看出） 特别是对无限长系统，更妙的是，体系的大多数性质（对于单粒子系统是所有性质）都可以通过格林函数来得到。举个例子，我们来算算接触电极的波函数。器件中的波函数作为已知条件，根据方程(2)的第三行，有：其中就是接触2孤立时的格林函数。值得注意的是，因为我们的系统无限长，所以我们会从格林函数的定义式中解出两个解 当电子的能量与接触电极的能带匹配时，会有两个解，分别对应接触中的入射波和出射波。我们把它们分别称作超前解和推迟解 在实际操作中，我们通过在能量上加入一个虚部，继而将虚部对0求极限来得到两个不同的解。极限得到的就是推迟解，得到的就是超

4、前解。我们可以通过傅利叶变换将格林函数变化到时域来检验这一结论。，分别对应接触中的入射波和出射波。标注：我们将用G来表示推迟格林函数，来表示超前格林函数（偶尔可能会使用）。大写的G表示整体系统的格林函数，以及它的子空间，比如。小写的G用来表示孤立子系统的格林函数，比如。还有一点需要注意的是，在方程(9)中，如果使用推迟格林函数,得到的波函数对应接触电极中的一个出射波；如果使用超前格林函数，得到就是入射波。2.2自能计算格林函数的一大原因是，它比求解薛定鄂方程更简单。另外还有一点：想知道器件的格林函数并不需要求解整个系统的格林函数G。从格林函数的定义式可得：选取第二列对应的三个方程：通过方程(1

5、1)和(13)可解出：代入方程(12)中：从中易得：其中和即我们所说的自能。粗略的说来，接触对于器件的影响可以看作在器件自身的哈密顿量上加入了一个附加的自能，于是我们计算器件的格林函数时直接采用有效哈密顿量即可。但是，我们仍需保持清醒，这种概念只在计算格林函数的时候才适用。有效哈密顿量的本征值和本征矢并没有直接的物理意义。对于“正常”的接触，电极表面的格林函数和通常利用周期性条件来计算得出。该方法在文献3的附录B和文献2的第三部分中有详细介绍。2.3 谱函数格林函数的另一个重要用途是由它来得到谱函数：它给出了态密度和薛定鄂方程的所有解！为了说明这一点，我们首先指出的是，对于任意一个微扰，薛定鄂

6、方程的解有两个（和）：两个解分别由超前格林函数和推迟格林函数给出：两个解的差正是薛定鄂方程的解：这也就是说，任意矢量，左乘谱函数A之后得到的，都是薛定鄂方程的一个解。接下来证明通过谱函数可以得到薛定鄂方程的所有解，稍微有些麻烦，我们需要将格林函数按薛定鄂方程的本征矢进行展开：式中的代表虚部的一个小量（参看注释3），是H的一组正交完备的本征矢，分别对应着本征能量。我们也将谱函数按这一组基展开：令，我们得到：方程(27)说明谱函数可给出薛定鄂方程的所有解。3 对入射波的响应对于非平衡问题，不同的接触电极可看作化学势不同的电子库，它们向器件内注入电子，填充能级，对应来自各个电极的入射波。因此，我们希

7、望搞清器件如何响应这些入射波。考虑电极1孤立时的情形。此时薛定鄂方程的解对应入射波在电极边界被完全反射的情形。我们把这些解标记为，其中1为电极编号，n为量子数（电极中存在多种波模）。我们通过孤立电极的谱函数可以把这些波函数都求解出来（如上所述）。将电极与器件相连接，我们来计算由电极1中的入射波导致的整个体系的电子波函数。此时的电子波函数形式为，其中为全反射的波，为系统的推迟响应。将该形式代入薛定鄂方程：（注意标记上有一点小变化）我们可以看出正是系统对微扰的响应，与方程(9)类似，有：这里有个值得一提之处，就是如果我们把来自各个电极的所有入射波函数代入方程(31)得到的一组散射能级。它们将构成系

8、统薛定鄂方程的一组正交完备解 器件区的局域态除外。还要注意我们选用的是推迟响应，它表征的波函数是进入器件的入射波（的一部分）。关于这一点，下面还会用得到。器件中的波函数和电极中的波函数经常用得到，我们来导出它们的形式。对于器件中的波函数，直接可得：再根据方程(9)或方程(15)，可得：计算包含入射波的电极（电极1）中的波函数时要注意，因为需要加上入射波这一项，表达式要略微复杂一些：知道了对应不同接触电极的入射波函数，我们就可以参考各个电子库来填充能级。4. 电荷密度矩阵对于非平衡问题，我们关心的物理量通常有两个：电流，电荷密度矩阵。我们从电荷密度开始（这样我们就可以通过自洽的方法来描述电荷）。

9、电荷密度矩阵定义为：式中的求和遍及所有量子态，占据系数为（注意该式与谱函数A的相似性，平衡时，我们可以直接由A来求密度矩阵，而用不着下述方法）。在我们的问题中，占据系数由各个电子库的入射电子决定，于是有：上式为费米-狄拉克函数，化学式和温度由提供注入电子的电子库决定。现在假设有来自接触电极1的一个入射波（见方程(32)），器件区的响应波函数为：对来自电极1的所有电子态求和：引入新的标记，公式的形式可以简化为：对所有接触求和即可得总的电荷密度矩阵：5. 几率电流如果不同电极的化学势不同的话，器件中就会有电流通过。在下面这一节中，我们就来计算电流，方法与刚刚计算电荷密度时类似，不过我们还需要推导一

10、个将电流和电子波函数相联系的表达式。对于连续介质，我们可以用速度算符来计算电流。但是，对于分立格点形式的哈密顿量，速度算符不好写。因此我们换而从连续性方程出发来推倒电流的表达式（以两个接触电极为例）。稳态时，电子处于器件区的几率（，对器件的全部子空间求和）是一个定值：上式中第一个中括号代表的是由接触电极1进入器件的几率电流，第二个括号代表的则是来自接触电极2的几率电流。将上述推倒推广至一般情形，对于任意一个接触电极j，它引起的电流（在某一能量上）就是电子电量（-e）乘以几率电流：定义电流由接触电极进入器件时为正。接下来我们就可以像推导电荷密度矩阵时一样，把波函数的具体形式代入进来，求解电流。6 电流我们把方程(32)，(34)，(9)中给出的器件区和电极区的波函数代入，并把来自所有电极的贡献加起来，就可以得到通过器件的总电流了。考虑来自接触电极1（）的一个入射波，能量为E，电极与器件间的耦合系数为：对模式n求和，注意电子是来自接触电极1