中考数学各种题型的突破方法

1、专题十 中考数学各种题型的突破方法一、阅读理解题型解题方法1联系教材法例1我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形现给出下列4对几何图形：两个圆；两个菱形；两个长方形；两个正六边形请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形_解析：通过对材料的阅读，能称为相似图形的条件是边长，对角线等元素对应成比例因为圆的周长等于，所以两的圆的周长比等于半径比，因此两个圆是相似图形；两个菱形的各边长可以对应成比例，但其角度不一定对应相等，从而导致对角线不一定能与边长对应

2、成比例，所以两个菱形不一定是相似图形；两个长方形的边长与对角线也不一定对应成比例；正六边形的边长全部相等，并且其对角线等于边长的2倍，所以两个正六边形的边长与对角线对应成比例，即两个正六边形是相似图形答案：、方法点拨：有的阅读理解题所提供的材料也可从书本知识上找到相关原形，因此在解决这类问题时，也可采用教材中的相关概念或性质等相似图形根据定义要求各边对应成比例，各角对应相等，由此可推出各对角线也与各边对应成比例所以判断时，也可判断各角是否对应相等2靠船下篙法例2阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+100？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+，其中是正整

3、数现在我们来研究一个类似的问题：12+23+？观察下面三个特殊的等式将这三个等式的两边相加，可以得到12+23+34读完这段材料，请你思考后回答：（1）（2）（3）（只需写出结果，不必写中间的过程）答案：（1）或343400；（2）；（3）方法点拨：当有的阅读理解材料中，无法找到明显的书本知识进行解题时，一定要紧紧抓住试题中所提供的材料与信息，靠船下篙，从题目本身去发现解题方法就本题而言，要有一定的数字感知能力，能从三个特殊的等式得到的式子中发去发现式子的特征，从而找出规律，写出最终结果例3姚明是我国著名的篮球运动员，他在20052006赛季NBA常规赛中表现非常优异下面是他在这个赛季中，分期

4、与“超音速队”和“快船队”各四场比赛中的技术统计场次对阵超音速对阵快船得分篮板失误得分篮板失误第一场2210225172第二场2910229150第三场2414217124第四场261052272（1）请分别计算姚明在对阵“超音速”和“快船”两队的各四场比赛中，平均每场得多少分?（2）请你从得分的角度分析，姚明在与“超音速”和“快船”的比赛中，对阵哪一个队的发挥更稳定?（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分l平均每场篮板15十平均每场失误(15)，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，来比较姚明在分别与“超音速”和“快船”的各四场比赛中，对阵哪一个队表现更好?解析：（1）姚明在

5、对阵“超音速”队的四场比赛中，平均每场得分为2525姚明在对阵“快船”队的四场比赛中，平均每场得分为2325（2）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中得分的方差为66875姚明在对阵“快船”队的四场比赛中得分的方差为191875（3）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中的综合得分为2525+1115（15）37625姚明在对阵“快船”队的四场比赛中的综合得分为2325+152（15）39375，姚明在对阵“快船”队的比赛中表现更好答案：（1）对阵“超音速”队平均每场得分2525分，对阵“快船”队平均每场得分2325分；（2）对阵“超音速”队方差为66875，对阵“快船”队方差为191875；（3）

6、对阵“超音速”队综合得分为37625分，对阵“快船”队综合得分为39375分方法点拨：本题要根据题目中的问题，利用统计知识分析表格中的数据，计算出相关的量，从而做出正确的决断例4我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：ABC、A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，C=Cl 求证：ABCA1B1C1图10-2(请你将下列证明过程补充完整)

7、证明：分别过点B，B1作BDCA于D， B1 D1C1 A1于D1 则BDC=B1D1C1=900， BC=B1C1，C=C1， BCDB1C1D1，BD=B1D1(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论解析：（1）由题目条件可知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形只有当它们是属于同一种三角形时，两个三角形才能全等，因为对于直角三角形，这一条件容易直接证明全等，而对于锐角三角形，则需要通过证明，使其具备一般三角形全等的判定条件，顺其思路，可转化为用AAS证明全等（2）由（1）中的已知条件及证明过程不难理解，用两边及其中一边的对角分别对应相等来判定两个三角形全等时，

8、应具备前提条件两个三角形是同一种三角形答案：（1）又AB，ADB90 ADB， A 又C，BC ABC（2）若ABC、均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB，BC，C，则ABC方法点拨：本题所提到“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形”，在一般情况下是不可以直接判定为全等的，只有当特殊情况，如两个直角三角形时，可直接判定全等，如果是两个锐角或钝角三角形时，需要证明如果不是同一种三角形则不能全等二、归纳猜想题型解题方法1循序渐进法例1如图10-3，是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）A B C D图10-3解析：观察上面三个正方形，

9、可以看出每个五角星中有三个深色的三角形，其中一个单独的与另两个相邻的三角形相对，闪烁一次，三个深色三角形作为一个整体，可看作是顺时针旋转144度（也就是与原来的隔一角）按此规律，容易找出下一次闪烁后呈现出来的图形答案：A方法点拨：归纳猜想题最忌讳毫无章法，胡乱猜测，归纳猜想题往往是有章可循的，只要你循序渐进，仔细观察和分析，一定可以从题目的条件中发现重要信息，从而实现轻松解题本题要求从现有的三个图形中，找出规律，然后分析出再一次闪烁后出现的图形2数形结合法例2探索规律：根据图10-4中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（） A B C D 图10-4解析：仔细观察分

10、析，本题是通过图形的方式反映数字重复出现的规律，通过观察，可以看出，每隔4个数是一个循环，从图形上体现出相同的规律，并且4既是终了位置同时又是下一个新的循环的起始位置要找出2004至2005再到2006的箭头方向，计算，说明第2004个数刚好是完成第501个循环，同时又将开始下一个循环答案：A方法点拨：在许多数学试题中，数形结合思想至关重要，在归纳猜想题里也不例外有时单从数字中很难看出什么眉目，但如果能有意识的从“形”的角度联系起来进行分析，往往会收到出奇制胜的效果本题是数形结合反映规律，重复出现的图形反映出数字所具有的规律，要求解数字问题，关键还在于找出图形体现出的规律例3如图10-5，已知

11、矩形的边长某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？（2）是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由图10-5解析：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，则有：，即，解方程，得经检验，可知符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，由矩形，可得，因此有或即，或解，得；解，得经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时，以为顶点的三角形与相似答案：（1）经过1秒或2秒后；（2），经过秒或秒时）A1A2

12、A3A4图10-6方法点拨：通过动点问题考查一元二次方程（二次函数）是数学建模的一种常见形式这也是一种数形结合问题，几何图形中的点的运动情形可以通过代数式来体现，从形的角度无法解决的问题，从“数”的角度求解却显得很容易（1）本题中矩形面积已知，故解题关键在于找出的底与高，通过设定经过的时间为未知数，把面积用含未知数的式子表示出来，然后解方程即可（2）利用相似得到比例式，从而得到相关方程并求解3举一反三法例4如图10-6，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）Acm2 Bcm2 Ccm2 D cm2解析：通过观

13、察，不难发现，每两个连续的这样摆放的正方形中互相重叠的部分的面积刚好是一个正方形面积的四分之一，而三个连续这样摆放的正方形有两个这样的重叠的部分所以n个这样的正方形重叠部分的面积和为 cm2答案：选择C方法点拨：归纳猜想题中，有许多试题是通过局部反映整体的这时，要求能通过观察，发现这种特点，然后只需分析或者解决其中部分问题，再通过举一反三，达到通盘解决问题的目标利用旋转或三角形全等知识可证明每两个相邻正方形重叠部分的面积等于一个正方形面积的四分之一，再通过观察，发现后面全部具有相同的规律，容易求出结果三、方案设计题型解题方法例1印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操

14、作：如图10-8，先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，；然后再排页码 如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码 图10-8解析：本题单凭想象完成有一定困难，但其实际操作较为简单，通过实际操作容易得到答案答案：89161512134方法点拨：在考试时，完成这道题单凭想象完成比较困难，但却操作简单易行，建议考试时遇这类问题时，可进行实际操作例1操作与探究：（1）图是一块直角三角形纸片将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A与点C重合，DE为折痕试证明CB

15、E等腰三角形；（2）再将图中的CBE沿对称轴EF折叠(如图)通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”你能将图中的ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图中画出折痕；（3）请你在图的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：折成的组合矩形为正方形；顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件是，一定能折成组合矩形？图

16、10-12AAABCBBDCEEDCF图图图图解析：（1）ECB90DCE，B90A，又由对称性知，ADCE，ECBB，BCE是等腰三角形 图1 图2 图10-13（2）如图10-13中的图1所示（共有三种折法，折痕画对均可）（3）如图10-13中的图2所示（答案不唯一，只要体现出一条边与该边上的高相等即可）（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形答案：略（见解析）方法点拨：本题要求首先要能正确理解题中所介绍的“组合矩形”的概念，同时能熟练运用从特殊到一般的学习方法，由题目的已知图示，完成一般情形下的相关操作解题关键：要能拼合（即无缝无重叠），根据（1）问的证明，第一次折

17、叠时必须沿其中一条中位线，然后再沿着与这条中位线平行的边的垂直方向进行折叠即可例1某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料m，B种布料m，可获利45元，做一套N型号的时装需要A种布料m，B种布料m，可获利50元。若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元。（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？解析：虽然题目看起来与前面的调运问题联系不大，但这道题中同样也出现了较多量及

18、数据，因而同样可利用图表来整理数据，而且也方便易行。对于第一个问题的函数关系，根据题中已设好的未知数及相关条件易得“”，化简即“”。这道题的难点在于确定自变量x的取值范围，对于这个问题，可用两种方法进行分析。 分析方法一：列表法每套时装用料（80-x）套M型时装x套N型时装总用料量A种布料（共70m）0.6（80-xxB种布料（共52m）0.9（80-xx上表格形式简单，内容清晰，完成表格并不困难，重要的是让学生理解求x范围的关键在于两种型号的时装每种布料用量和不能超过所提供的布料，由此得出两个不等式“0.6（80-xx70，0.9（80-xx52”。解两个不等式即可求出x的取值范围为“40x

19、44”。其实到这里问题也就基本解决了，因为第二个问题可由刚才的结论直接求得。供52mB种布料m/套供70mA种布料M型（80-x）套N型x套m/套m/套m/套分析方法二：画图法和例1相比，这个示意图在结构上更为简洁，每种型号的时装都用到两种布料，图中箭头指向是该布料的使用情况，如：由A种布料引出的两根箭头表示A种布料分别用于M型时装每套m，用于N型时装每套m，而M型时装共生产（80-x）套，这样A种布料一共使用了0.6（80-xxm，同理可得，B种布料一共用了m。通过这个示意图也很容易求出x的取值范围。具体解题过程如下：答案：（1）由题意得 化简可得 又解之得 40x44（2）当x=44时，y

20、=544+3600=3820当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元。 方法点拨：通过图表将题目中的各数据间的关系更为简洁的体现出来，使得题意更加明朗，各个量之间的关系也变得国家更加清晰，从而降低了解题的难度。再结合问题，设出未知数后，利用图表所反映出来的关系，可以把各个相关量全部表示出来，最后根据相等关系，不难列出方程，完成解题。拓展演练1我国劳动法对劳动者的加班工资作出了明确规定，“五一”长假期间，前3天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资300支付加班工资，后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动本人日工资

21、或小时工资的200支付加班工资小朱由于工作需要，今年5月2日、3日、4日共加班三天，已知小朱的日工资标准为47元，则小朱“五一”长假加班三天的加班工资应不低于_元2 1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为（ ）A B C D3小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：49cm30cm36cm3个球有水溢出（第22

22、题）请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高_；（2）求放入小球后量桶中水面的高度（）与小球个数（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？4定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形探究：BCA图甲（1）如图甲，已知ABC中C=900，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由答：（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形我们把DEF(图乙)第一次顺次连结各

23、边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）依次规则操作下去n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为SN若DEF的面积为10000，当n为何值时，2Sn1时，请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）5下图是B、C两市到A市的公路示意图，小明和小王提供如下信息： 小明：普通公路EA与高速公路DA的路程相等； 小王：A、B两市的路程(B-D-A)为240千米，A、c两市的路程(C-E-A)为290千米， 小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是3

24、0千米时，在高速公路DA上行驶的平均速度是90千米时； 小王汽车在高速公路CE上行驶的平均速度是lOO千米时，在普通公路EA上行驶的平均速度是40千米时；小明汽车从B市到A市不超过5时；小王：汽车扶C市到A市也不超过5时 若设高速公路AD的路程为x千米(1)根据以上信息填表： 路程(单位千米) 行驶速度 (单位；千米时) 所需时间 (单位时)高速公路AD普通公路BDI普通公路AEl高建公路CE (2)试确定高速公路AD的路程范围6100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 _个7如图，是用

25、火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆_根火柴棒8有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示有规律排列的一列数：1，2，3，4，5，6，7，8，（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2）它的第100个数是多少？（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？9尝试如图，把一个等腰直角ABC沿斜边上的中线CD(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形ABCD，如示意图(1)(以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明)（1）猜一猜：四边形ABCD一定是_；（2）试一试：按上述的裁

26、剪方法，请你拼一个与图(1)不同的四边形，并在图(2)中画出示意图探究在等腰直角ABC中，请你沿一条中位线(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形 （1）想一想：你能拼得的特殊四边形分别是_；(写出两种) （2）画一画：请分别在图（3）、图（4）中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图 拓广在等腰直角ABC中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形 （1）变一变：你确定的裁剪线是_，(写出一种)拼得的特殊四边形是_； （2）拼一拼：请在图（5）中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图10如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两

27、条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图2EABDGFOMNC图3ABDGEFOMNC图1A( G )B( E )COD( F )11在图1至图3中，已知ABC的面积为a （1）如图1，延长

28、ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示）；（3）在图122的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到DEF（如图3）若阴影部分的面积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由图1ABCDABCDE图2DEABCF图3发现像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF（如图3），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后

29、得到的DEF的面积是原来ABC面积的 倍图4紫ABC紫紫紫红黄黄黄应用要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在ABC的空地上种红花，然后将ABC向外扩展三次（图4）已给出了前两次扩展的图案）在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花如果种红花的区域（即ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积12小明按下面的方法作出了MON的平分线：反向延长射线OM；以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交MON的两边于点、B，交射线OM的反向延长线于点C；连接CB；以O为顶点，OA为一边作AOP

30、OCB（1）根据上述作图，射线OP是MON的平分线吗？并说明理由（2）若过点A作O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当MON60、OF10时，求AE的长13若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（ABAD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）习题答案1 3762 D3解：（1）（2）设，把，代入得：解得即（3）由，得，即至少放入个小球时有水溢

31、出4（1） 正确画出分割线CD（如图，过点C作CDAB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线，若画成直线不扣分）理由： B = B，CDB=ACB=90BCD ACB（2） DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为 S=当 n =5时，S= 977当 n = 6 时，S= 244当 n=7 时, S= 061 当 n= 6时，2 S3 S = S S 5 （1）路程(单位千米)行驶速度(单位；千米时)所需时间(单位时)高速公路ADx90普通公路BD240x30I普通公路AEx40l高建公路CE290x100（2）6201 760390638解：（1）它的每一项可用式子（n是正整数）来表示 （2）它的第100个数是100（3）2006不是这列数中的数，因为这列数