(浙江专用)高考数学第二章函数概念与基本初等函数1第1讲函数及其表示教学案

1、第二章函数概念与基本初等函数I识 G）砖回顾知识点最新考纲函数及其表示Q 了解函数、映射的概念. 了解函数的定义域、值域及三种表示法（解析法、图象法和列表法 ）了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题函数的基本性质O理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性.理解函数的最大（小）值的含义，会求简单函数的最大 （小）值指数函数O 了解指数幕的含义，掌握有理指数幕的运算.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用对数函数O理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用幕函数O 了解幕函数的概念.I 1O掌握幕函数y= X,

2、y = X , y = X , y= -，y = x2的图象和性质 X函数与方程了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幕函数的变化特征.&能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决第1讲函数及其表示1 函数与映射的概念函数映射两集合A B设A, B是两个非空的数集设A B是两个非空的集合对应关系f : A B如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合 A中的任意一个数X, 在集合B中都有唯一确定的数 f（x） 和它对应如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合A中的任意一个 元素X,在集合B中都有唯一确

3、疋的兀素y与之对应名称称f : A B为从集合A到集合B的一个函数称对应f: A B为从集合A到集合B的一个映射记法y = f (x)( X A)对应f : AB是一个映射2. 函数的有关概念(1) 函数的定义域、值域在函数y= f (x), X A中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域；与 X的 值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x) x A叫做函数的值域.显然，值域是集 合B的子集.(2) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3) 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是 判断两函数相等的依据.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法

4、、图象法、列表法.3分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“X”)(1) 函数y= f (X)的图象与直线X = a最多有2个交点.()(2) 函数 f (X) = X2-2x 与 g(t) = t2- 2t 是同一函数.()(3) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.() 若A= R, B= xx>0, f: Xy=x ,则对应关系f是从A到B的映射.()(5) 分段函数是由两个或几个函数组成的.()(6) 分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的

5、并集.()答案： ×(2) (3) × ×(5) ×(6) 教材衍化1. (必修1P18例2改编)下列函数中，与函数 y= x+ 1是相等函数的是()A. y = (px+ 1)2B. y =+ 12C. y = 一 + 1D y = X2 + 1X解析：选B.对于A,函数y = C. x + 1)2的定义域为x X- 1,与函数y= x+ 1的定义 域不同，不是相等函数；对于B,定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C,函数y2X=-+1的定义域为XX0,与函数y= X +1的定义域不同，不是相等函数；对于D,定X义域相同，但对应关系不同，不是相等函

6、数，故选B.2. (必修1P25B组T1改编)函数y = f(x)的图象如图所示，那么f (X)的定义域是；值域是；其中只有唯一的 X值与之对应的 y值的范围是y3 < -d -a V I1>4:4I- B- Ii !ia-8*h-J-I :L ： >L-m7'T_L.JIlj-:1IIH«IIaIIIVFqR r 1 Nl!>/:!-H>1i-3： -2： Y O：1 : i答案：3, 0 U 2 , 31 , 51 , 2) U (4 , 53. (必修1P19T1 (2)改编)函数y =寸X2 QXT2的定义域是 .X 2 0,解析：？ X

7、 2.X+ 2 0,答案：2 ,+)易错纠偏(1) 对函数概念理解不透彻；(2) 换元法求解析式，反解忽视范围.1. 已知集合P= x0 x4, Q= y0 y2,下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是.(填序号)2 y= 3X；1 1f: xy = 2X； f: Xy= 3x : f:2 32 8解析：对于，因为当 X= 4时，y= 3 × 4= 3?Q所以不是函数.答案：2.已知 f(X) = X 1 ,贝U f (X) =.222解析：令 t = X,则 t 0, X= t ,所以 f (t) = t 1(t 0),即 f (X) = X 1(0).答案：X2 1(0)例2

8、(1)(2020 杭州学军中学月考)函数f (X) = Ig (X；2XX)的定义域为 f ( 2x) 若函数y = f()的定义域是0 , 2,则函数g() =的定义域为 .X 1 若函数f (X) = 22 + 2ax a 1的定义域为 R贝U a的取值范围为 .【解析】(1)要使函数f()有意义，必须使X + 2x 0,1 | x| x>0,解得 x<-.I x| X 1,1 所以函数f()的定义域为X x< 2 .X 1 0,(2) 由得0 x<1 ,即定义域是0,1).0 2x 2,2 2(3) 因为函数f (x)的定义域为R所以2x+ 2ax-a10对xR恒

9、成立，即2x+ 2axa 2 , X + 2ax a0 恒成立，因此有 = (2 a) + 4a 0,解得1 a 0.1【答案】(1) X x< 2(2)0 , 1)(3) 1 , 0(变条件)若将本例 中"函数y = f (X)”改为"函数y = f (x +1)”，其他条件不变, 如何求解？解：由函数y=f (x + 1)的定义域为0 , 2,得函数y =f(x)的定义域为1 , 3,1 2x 3,13令得; XT且 x 1.X 1 0,2213所以g(x)的定义域为2 1 U 1, 2 .函数定义域的求解策略(1) 求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问

10、题在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2) 求抽象函数的定义域：若 y = f (x)的定义域为(a, b),则解不等式a< g(x) V b即 可求出y = f (g(x)的定义域；若y = f(g(x)的定义域为(a, b),则求出g(x)在(a, b)上 的值域即得y = f(x)的定义域.(3) 已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解.提醒(1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.321. (2020 浙江新高考优化卷)函数f (X) =+ lg( 3x2 + 5x +

11、 2)的定义域是V1 X( )1B. 3, 11a. 3,+1 1 1C.3， 3，3解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有1 x>012,解得-<x<1.故选B.3x + 5x + 2>032. (2020 浙江新高考预测卷)已知集合A= xy= :X x2 , B=xy= ln(1 x),则AU B=()A. 0 , 1B. 0 , 1)C. ( -, 1D ( -, 1)解析：选C.因为由X x20得0 x 1,所以 A= x0 X 1.由 1 x>0 得 x<1,所以 B= xx<1,所以 AU B= xx 1.故选C.3. 若函数f(x

12、)=寸mx+ mx÷ 1的定义域为实数集，则实数m的取值范围是 .解析：由题意可得 mx + mx÷ 1 0恒成立.当m= 0时，1 0恒成立；n>0,当n0时，贝U2 = m 4m 0,解得0<n 4.综上可得0 n 4.答案：0 , 4考点国求函数的解析式11仅:(1)已知f X + - = 2+r,求f(x)的解析式；XX2(2) 已知f x + 1 = Ig X,求f (X)的解析式；(3) 已知 f (X)是二次函数，且 f (0) = 0, f (x+ 1) = f (X) + X + 1,求 f (X); . (4) 已知函数f (X)满足f (

13、- X) + 2f (X) = 2,求f (X)的解析式.1 2 1 1 2【解】(1)(配凑法)由于f X + 一 = X + 2= X+ 一 一 2 ,XXX所以 f (x) = X2 2, X 2 或 X 2,2故f (x)的解析式是f (x) = X 2, x2或x- 2.2 2(2)(换元法)令-+ 1= t得X=7,Xt 12代入得 f (t) = Ig ,又 X > 0 ,所以 t > 1,2故f (X)的解析式是f (X) = Ig , X> 1.X 1(3)(待定系数法)设 f (x) = a2+ bx+ c(a 0), 由 f (O) = 0 ,知 C=

14、0, f (X) = a + b, 又由 f( + 1) = f(X) + +1,得 a(+ 1)2+ b(+1) = ax2+ b+ +1,2 2即 a + (2 a+ b) + a+ b= a + ( b+ 1)+ 1,2a+ b=b+ 1,1所以解得a= b =厅.a+ b= 1 ,21 2 1所以 f(X) = 2 + , R-X+ 1 X(4) (解方程组法)由f( X) + 2f() = 2 , 得 f (X) + 2f ( ) = 2X,× 2，得，3f() = 2 22+1 2X即 f (X) =3-2 2所以f()的解析式是f() = 一3一 , X R 3求函数解

15、析式的4种方法(1) 配凑法：由已知条件 f(g() = F(),可将F(X)改写成关于g()的表达式，然后以 X替代g(),便得f( )的表达式.(2) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3) 换元法：已知复合函数f (g( )的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.1 解方程组法：已知关于 f()与f -或f( )的表达式，可根据已知条件再构造出 X另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f().提醒求解析式时要注意新元的取值范围.跟踪训嫌1. (2020 杭州学军中学月考)已知f( X + 1) = + 2 IX ,贝U f()的解析式为f (

16、X)=解析：法一：设 t = .,'x+ 1 ,贝U X= (t 1) f(8) = log 28= 3, gf (2) = g(log 22) = g(1) = 1, f f 2 = f 砸 2? = f(1) = f (1) = Iog 2I = 0.【答案】3 1 0角度二已知函数值求参数的值(或取值范围)22X + 1 (X 1)Xl < (2020 瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f (X)=,若Iog 2 (1 X)( x<1)(t 1);代入原式有 f (t) = (t 1)2 + 2(t 1) = t2 2t + 1 + 2t 2= t2 1.故 f (x)

17、= X21(x1).法二：因为 x+ 2 :X = ( x)2 + 2 .x + 1 1= ( 'x + 1)2 1,所以 f( : X + 1) = ( 'x + 1)21( ,.'X + 1 1),即 f (x) = X2 1(x 1).答案：x2 1(x 1)2. 设y= f (x)是二次函数，方程f (x) = 0有两个相等的实根，且f'(x) = 2x + 2,则f (x)的解析式为f (x) =.2解析：设 f (x) = ax + bx+ c(a0),则 f '(x) = 2ax+ b= 2x+ 2,2所以 a= 1, b= 2, f (x

18、) = X + 2x + c.又因为方程f (x) = 0有两个相等的实根，2所以 = 4 4C= 0, C = 1,故 f(x) = X + 2x + 1.答案：X2+ 2x+ 1老EJP r-分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试 题多为容易题或中档题主要命题角度有:分段函数求值;已知函数值，求参数的值 (或取值范围)；与分段函数有关的方程、不等式问题.角度一分段函数求值也* (2020 杭州萧山中学高三适应性考试g()log 2, x>0,)若函数 f (X) = f (X+ 2), X0,=X2,贝U f(8)=；gf(2

19、)=【解析】f (f ( a) = 3,贝U a=.22x + 1 (X 1)【解析】函数f(X)=,若f(f(a) = 3,当a1log 2 (1 x)( x<1)2a2 +1) = 3 ,可得 log 2(2 a2) = 3 ,解得 a= 2.当 a<1 时，可得 f(log 2(1 a) = 3, log 2(1 a) 1 时，可得2(log 2(1解得a ?.时，可得f(2a) + 1= 3,log 2(1 a)=log 2(1 a)<1 时，可得 log 2(1 log 2(1 a) = 3,即 1 log 2(1 a) = 8,7,11 a= 128,可得a=12

20、7综上得a的值为2或127【答案】127面角度三与分段函数有关的方程、不等式问题也I (2020 镇海中学5月模拟)已知函数f (X)=1 X2 2, Xw 1,(x 2)(|X| 1)f(f ( 2) =,若f(X) 2 ,贝U X的取值范围为 1 2【解析】由分段函数的表达式得 f( 2) = 2 2 = 4 2= 2, f(2)2) = 0.则,X > 1,=0 ,故 f (f (1 X1 X若 X 1,由 f(X) 2 得 2 2 2,得 2 4,则 2 x 4,得一X2,贝U X 2,此时 X 2.若 X> 1,由 f(X) 2 得(X 2)(| x| 1) 2,即 x|

21、x| X 2|x| 0,2若 X0,得 X 3x0,贝U X3 或 x0,此时 X3 或 X = 0; 若1v XV 0,得X2+ X 0,得 x2 x 0,得 0 x 1,此时无解. 综上得X3或X = 0或x 2.【答案】0 x3或X= 0或X 2(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.f(f(a) 已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范

22、围的解题思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.IMIE31 .(2020浙江教育评价咼二第二次联考)设函数2X + 1, X 1f(X) = log2( 1 x), x<1,则f(f(4)=()A.2B. 3C5D 6解析：选 C.f(f(4) = f( 31) = log 2 32 = 5.故选 C.2. (2020 Z20联盟开学联考)已知函数f (x) = |X+ 2| 1，X 若f (a) 1,则实 log 2 X, x>0数a的取值范围是()A. ( , 4 2 , +)B. 1 , 2C 4, 0) U (0 , 2D 4, 2a 0,a>0

23、,解析：选 D.f(a) 1 ?或| a+ 2| 1 1,Iog 2 a 1,解得4 a0 或 0<a2,即卩 a 4, 2,故选 D. (x) = ln x.B.【解析】对于函数f(x) = Sin 2 X,它的图象(图略)只经过一个整点(0 , 0),所以它核心素养系列2数学抽象一一函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概 念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.回在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (X)的图象恰好经过n(n N)个整点，则称函数f (x)为n阶整点函数.给出下列函数：3f (X) =

24、 Sin 2 x；g( x) = X ; h(x) = 1 ;其中是一阶整点函数的是()A.C是一阶整点函数，排除D;对于函数g(x) = X3,它的图象(图略)经过整点(0 , 0) , (1 , 1),，所以它不是一阶整点函数，排除A;对于函数h(x) = x,它的图象(图略)经过整点(0, 1) , ( - 1, 3),，所以它不是一阶整点函数，排除 B.故选C.【答案】C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (

25、x)的图象恰好经过 1个整点，问题便迎刃而解.1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函 数”，则函数解析式为 y = X2+ 1,值域为1 , 3的同族函数有()A. 1个B. 2个C. 3个解析：选C.由X2+ 1 = 1得X = 0 ,由X2+ 1 = 3得x=± :2 ,所以函数的定义域可以是0 , ./2 , 0 , /2 , 0 , ,；2, .''2,故值域为1 , 3的同族函数共有 3 个.2.若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量X,使得f( x) = f (X),则称f(x)为“类偶函数”，则下列函

26、数中为类偶函数的是()A. f (x) = CoS X2C. f (X) = X 2xB. f (x) = Sin X3D f (X) = X 2x解析：选 D.A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x) = f( -X),不符合题意；B 中，当X = k ( k Z)时，满足f(x) = f ( x),不符合题意；C中，由f (x) = f ( x),得x2 2x = x2 + 2,解得 X= 0,不符合题意；D 中，由 f (x) = f ( x),得 x3- 2x = 3+ 2x,解得X= 0或x=± *2,满足题意，故选D.基础题组练1 2函数f (X) =+ ln(3 X

27、 X )的定义域是()寸X 2A.(2 ,+)B. (3 , +)1.(2 , 3)解析：选C.由D (2 , 3) U (3 , +)X 2 > 0,3x-X-,解得2< XV 3 ,则该函数的定义域为(2 , 3),故选C.X-2 , x<2,a2. (2020 嘉兴一模)已知a为实数，设函数f(x)、则f(2 + 2)Iog 2 (X- 2), X 2,的值为()A. 2aB. aC. 2D a 或 2X 2a，x<2,解析：选B.因为函数f (X)=log 2 (X-2), X2,所以 f(2a+ 2) = Iog 2(2 a+ 2- 2) = a,故选 B.3

28、. 下列哪个函数与y= X相等()2XA. y = B. y = 2log 2XXC. y =XD y = (所以a, b是方程X - 4x + 2= 0的两根，故a + b= 4.X)32X解析：选D.y= X的定义域为 R而y =的定义域为xx R且X 0, y = 2log 2X的定 X义域为xx R且x>0,排除A、B;y=x2=|x|的定义域为X R对应关系与y= X的对应关系不同，排除C;而y =(扳)3= X ,定义域和对应关系与y = X均相同，故选D.3 4. (2020 杭州七校联考)已知函数 f(x) = X + cos - X + 1,若 f(a) = 2 ,则

29、f (- a)的值为()A. 3B. 0C. - 1D - 23解析：选B.因为函数f (X) = X + CoS - X + 1,所以 f (x) = X3 + Sin X + 1,3因为 f(a) = 2,所以 f(a) = a + Sin a+ 1 = 2,所以 a3+ Sin a= 1 ,所以 f ( a) = ( a) 3+ sin( a) +1 = - 1 +1 = 0.故选 B.5. 已知a, b为两个不相等的实数，集合M= a2-4a,- 1, N= b2-4b+ 1,- 2, f:xX表示把M中的元素X映射到集合N中仍为X,贝U a+ b等于()A. 1B. 2C. 3D 4

30、解析：选D.由已知可得M= N,2 2a -4a=- 2 a -4a+ 2 = 0,故2?2b -4b+ 1 = - 1 b - 4b+ 2 = 0,6. 存在函数f (X)满足：对于任意x R都有()2A. f (Sin 2 x) = Sin X B . f (Sin 2 x) = X + X2.f (x + 2x) =I x+ 1|2C f (X + 1) = |x + 1| D解析：选D.取特殊值法.取 X = 0,y ,可得f(0)=0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A错误;取 X = 0,可得f (0)=0,+ ,这与函数的定义矛盾,所以选项B错误;取 X = 1,1,可得f(2)

31、 = 2, 0 ,这与函数的定义矛盾,所以选项C错误;取 f (X) = X + 1 ,则对任意 x R都有 f (X2+ 2x) = X2+ 2x+ 1 = | x+ 1| ,故选项 D 正 确.27.已知1 X 1 Xf=2,则f (X)的解析式为(1 + X 1 + XA.f(x)B f(x)2x21 + Xf(x)2x 21 + XD f(x)2 2(I + t ) ( 1 t ) 2=浮f2,故函1 一 X1 一 t解析：选 C.令=t ,则 X = ,所以 f(I) = (1 +1) 2+( 1 t)数f(x)的解析式为f(x)=禺，故选C.1 , X > 0,&设函

32、数f(x)=1, XV 0,则(a+ b) + ( a b) f (a b)(ab)的值为()A. aB. bC. a, b中较小的数D. a, b中较大的数解析：选 C.若 a b> 0, 即卩 a>b,贝U f (a b) = 1,(a+b)+(a-b)f (a-b) = 2( a+b) (ab)= b(a>b)；右 a bv0,即 av b,贝V f (a b) = 1,(a+ b) + ( a-b) f (a-b) = 1(a+ b) + (a b) = a(av b).综上，选 C.2x + n, XV 139 . (2020 绍兴高三教学质量调研)设函数f (x)

33、=,若f(fr) = 2,则实Iog 2X, x 14A.B.c4d5解析：选 D.因为 f(3) = 2× 4+ n= 3+ n,当 2+ nv 1,即 P nv2时，f(f(3) = 2(3+ n)13133+ n= 2,解得 n = 3,不符合题意；当 2 + n 1,即卩 n-2时，f (f(4) = log 2(2+ n) = 2,3 2242即+n=4,解得n = ,故选D.10.设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f g)(X):对任意的xR,X, X> 0,ex, x 0,(f g)( X) = f(g(x).若 f(x)=2Cg( x)=则

34、()X , x 0,In X, X > 0,A. (f f)( X) = f(x)B. (f g)( X) = f(x)C. (gf)( x) = g(x)D (g g)(x) = g(x)解析：选 A.对于 A, (f f)( x) = f (f (x) = f2( X), f( X0,当 X > 0 时，f (X)= f (X), f (x) 0,x>0, (f f)( x) = f (x) = X; 当 XV 0 时，f (x) = X2>0, (f f)( x) = f (x) = x2;当 X = 0 时,2 2(f f)( X) = f (X) = 0 =

35、0 ,因此对任意的x R, 有(f f)( X) = f (X),故A正确，选A.11.若函数f(x)在闭区间1, 2上的图象如图所示，则此函数的 解析式为.解析：由题图可知，当一1 x<0时，f (X) = x+ 1;当0X2时,X + 1, 1 x<0, f (X) = 1x, 0 x2.X + 1, 1 x<0,答案：f (X) =12×, 0X 212 .若 f (X)对于任意实数 X 恒有 2f (X) f ( x) = 3x+ 1 ,则 f (1) =解析：令 X = 1,得 2f (1) f ( 1) = 4 ,令 X = 1,得 2f( 1) f (

36、1) = 2,联立得f (1) = 2.答案：213 .函数f (X), g(x)分别由下表给出.X123f()131X123g()321则f(g(i)的值为;满足f(g() >g(f()的X的值为.解析：因为 g(i) = 3, f(3) = 1，所以 f(g(i) = 1.当X = 1时，f(g(i)= f (3)=1,g(f(1)= g(i)=3,不合题意.当X = 2时，f(g(2)= f(2)=3,g(f(2)= g(3)=1,符合题意.当X = 3时，f(g(3)= f (1)=1,g(f(3)= g(1)=3,不合题意.答案：122(X+1), XV 1 ,14 .设函数f

37、(X)=则使得f(X) 1的自变量 X的取值范围是4 寸 X 1, X 1 ,X V 1 ,X 1,解析：f(X) 1等价于2 或 (X + 1) 14 一 PX 1 1.XV 1 ,由2 得 X 2 或 O X V 1.(x+1)1,X 1,由 得 1 X 10.4 X 1 1,综上所述，X的取值范围是X 2或0 X 10.答案：(, 2 0 ,102 + a, <1,15. 已知实数 a0,函数f (X)=若f(1 a) = f(1 + a),贝U a的值为x 2a, X 1.解析：当a>0时，1 a<1, 1 +a>1,此时 f(1 a) = 2(1 a) + a

38、= 2 a,f(1 + a)=(1 + a) 2a= 1 3a.3由 f(1 a) = f (1 + a)得 2 a= 1 3a,解得 a= 不合题意，舍去.当 a<0 时，1 a>1, 1 + a<1,此时 f(1 a) = (1 a) 2a= 1 a,f(1 + a) = 2(1 + a) + a= 2+ 3a,3由 f(1 a) = f (1 + a)得1 a= 2+ 3a,解得 a= ：.43综上可知，a的值为一4.3答案：一342X , X 116. (2020 杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x) =6,则XH6, x>1Xf(f ( 2) =

39、, f (X)的最小值是 .2解析：由题意可得f ( 2) = ( 2) = 4,6 1所以 f(f( 2) = f (4) = 4+ 4 6 = 2 ；因为当X1时，f (x) = X2,由二次函数可知当 X= 0时，函数取最小值 O;6当 x>1 时,f (X) = X+ X 6,X纬6/6由基本不等式可得 f (x) = X + X 62 X - 6=2 6 6,当且仅当X = £即X = ,6时取到等号，即此时函数取最小值2 6 6;因为2 6 6<0,所以f(x)的最小值为 2 6 6.答案：2 26 62X + X, x 0,17. 已知函数f(X)=若af(

40、a) f ( a)>0 ,则实数a的取值范围为3x, x<0.解析：易知 a0.由题意得，当 a>0 时，则一a<0,故 a f (a) f ( a) = a(a2+ a 3a)>0 , 化简可得a2 2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时，则一a>0,故a f (a) f ( a) = a 3a (a2 a)>0 ,化简可得 a2+ 2a>0,解得 a>0或 a< 2,又因为 a<0,所 以a< 2.综上可得，实数 a的取值范围为(一, 2) U (2 ,

41、+).答案：(一, 2) U (2 , +)综合题组练1 , x>0,1.设x R定义符号函数Sgn X= 0, X= 0,则()1, x<0,A.| x| = x|sgn x|B |x|=XSgn| x|C.| x| = | x|sgn XD |x|=XSgn X解析：选 D.当 X<0 时，X = X, XlSg n x| = X, X Sg n x| = x, XlSg n X= ( x) (1) = X,排除 A, B, C,故选 D.2. (2020 宁波市九校期末联考)已知下列各式：f (| x| + 1) = X f (X)的图象如图：+ 1 ;f () = X

42、；f(x2 2x)=x :f( x) = 3x+ 3x.其中存在函数f (X)对任意的x R都成立的序号为解析： f (| x| + 1) = X2+ 1 ,由 t = | x + 1(t 1),可得 x = t 1,则 f (t) = (t 1)22 1 1+ 1 ,即有 f(x) = (X 1) + 1 对 x R 均成立； f(x-) = X ,令 t = X2- (0 V t 1), X = X十1X十1± 寸A1 ,对0v t 1, y= f (t)不能构成函数，故不成立；f (x2 2x) = | x| ,令t = X22x,若 t V 1 时，X ?； t 1,可得 X= 1 ±1 + t(t 1), y = f (t)不能构成函数； f(| x|) = 3x+ 3x,当 X 0 时，f (x) = 3x+ 3x；当 XV 0 时，f( x) = 3x+ 3X ;将 X 换为 X可得f(x) = 3x+ 3x;故恒成立