02第二节一阶微分方程

1、第二节 一阶微分方程分布图示可分离变量微分方程例 2例 5一阶线性微分方程及其解法例 7 例 10 例 3 例 6 例 8 例 1 例 4 例 7 例 9内容小结 习题 62课堂练习内容要点一、 可分离变量的微分方程设有一阶微分方程dyF ( x , y ),dx如果其右端函数能分解成F ( x, y )f ( x ) g ( x )，即有dyf ( x ) g ( y ).(2.1)dx则称方程 (2.1) 为可分离变量的微分方程，其中f ( x), g ( x )都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、 一阶线性微分方程形如d

2、yQ ( x )(3.1)P ( x ) ydx的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数P ( x)、Q ( x )是某一区间I上的连续函数. 当Q ( x )0 ,方程 (3.1) 成为dy0(3.2)P ( x ) ydx这个方程称为 一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程 (3.2) 的通解yCeP ( x ) dx.(3.3)其中C为任意常数 .求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法 ：即在求出对应齐次方程的通解(3.3) 后，将通解中的常数C变易为待定函数u ( x )，并设一阶非齐次方程通解为yu ( x ) eP ( x ) dx,一阶非齐次线性方程

3、(3.1) 的通解为yQ ( x ) eP ( x ) dxP ( x ) dx(3.5)dxC e例题选讲一阶线性微分方程例 1（ E01）求微分方程dy2xy的通解 .dx解分离变量得dy2xdx两端积分得dy2 xdxln | y |x2C1yy从而y22exC1eC1ex,记CeC1,则得到题设方程的通解2yCex.例 2（ E02）求微分方程dxxydyy2dxydy的通解 .解 先合并dx及dy的各项,得y ( x1) dy( y21)dx设y210 , x10 ,分离变量得ydy1dxy21x1两端积分ydy1y2dx11得1ln |y21 | ln |x1 |ln |C1|2于

4、是212( x2yC11)记CC12,则得到题设方程的通解y21C ( x1)2.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g ( y)0的前提下 ,用它除方程两边 ,这样得到的通, 不包含使g ( y)0的特解.但是 , 有时如果我们扩大任解意常数 C 的取值范围 ,则其失去的解仍包含在通解中.如在例 2中，我们得到的通解中应该C0， 但 这 样 方程 就 失去 特 解y1，而如果允许C0， 则y1仍包含在通解y21 C ( x1)2中.例3设一物体的温度为100，将其放置在空气温度为20的环境中冷却 . 试求物体温度随时间t的变化规律 .解 设物体的温度T与时间t的函数

5、关系为TT (t ),在上节的例 1 中我们已经建立了该问题的数学模型:dTk (T20 )(1)dt( 2 )T |t0100其中k ( k0)为比例常数 .下面来求上述初值问题的解.分离变量,得dTkdt ;T20两边积分1dTkdt,T20得ln| T20 |ktC1(其中C1为任意常数 )，即T20ektC1eC1ektCekt(其中CeC1).从而T20Cekt,再将条件 (2) 代入 ,得C1002080 ,于是，所求规律为T2080ekt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，

6、等等.例 4 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t0)速度为零 , 求降落伞下落速度与时间的关系.解设降落伞下落速度为v (t ),降落伞下落时，同时收到重力P与阻力R的作用.降落伞所受外力为Fmgkv根据牛顿第二定律:Fm, 得到v (t )满足微分方程mdvkv(1)mgdt初始条件vt 00 . 将方程 (1) 分离变量得dvdtmgkvm两边积分得dvdtmgkvm1tC1，ln( mgkv )kmtkekC1mmgtkC1或vCemC 即 mgkvekk代入初始条件得mgCkmgkt故所求特解为1em.vk例5（E03）在一次谋杀发生后，

7、尸体的温度从原来的37C按照牛顿冷却定律开始下降假设两个小时后尸体温度变为35 C，并且假定周围空气的温度保持20 C不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律又如果尸体被发现时的温度是30C，时间是下午 4 点整，那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型，有dTk ( T20 ),k0 ,dtT (0)37.其中k0是常数分离变量并求解得T20Cekt，为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35C这一条件，有352017 ek 2，求得k0 .063，于是温度函数为T2017 e0 .063 t，将T30代入上式求解t，有10e0. 063 t，即得t8 .4(小时)17于是，可以判定谋杀

8、发生在下午4 点尸体被发现前的8.4 小时 ,即 8 小时 24 分钟 ,所以谋杀是在上午 7 点 36 分发生的 .例 6（ E04）饮酒量与事故风险率。大量的研究所提供的数据表明，汽车司机发生事故的风险率R（百分比）与其血液中的酒精浓度b（百分比）有关。使用两个有代表性的点（0， 1% ）和（ 0.14， 20% ）可用一个指数函数来近似这组数据。假设风险率R的变化率与血液酒精浓度b的关系为dRkRdb（1）设R01 %，求满足方程的函数；（2）利用数据点R 0 .1420 % ，求k；3）用求出的k写出 R b ；4）当血液酒精浓度是多少时发生事故的风险率为100% ？四舍五入后精确到百

9、分之一。dR解（ 1）因为kR，将方程分离变量并积分得dbdRkdbRln R kbckbRCe由R00.01可得C0.01kbR b0 .01 e（2）用第二个点（0.14， 0.2）计算数k。解方程R b0 .01 ekb，即20ek 0 .14取自然对数得ln200.14 kln eln 200 .14 kln 202.995732k21 .40.140 .1421 .4b（3）R b0 .01 e（4）把 R b100 % 代入 3）中得10021 .4 be21 .4 bln 100ln 1004 .605170b210 .2221 .4.4按照这个模型，当血液酒精浓度达到0.22%

10、 时，事故的风险率是100% 。将zxy代回，得所求通解为2 xys i n2( xy )4 xC.例 7（ E05）求微分方程dyyex的通解 .解注意到Q ( x )xe.由一阶线性微分方程通解公式得:-dxx- dxyeeedxC ,故所求通解为y( xxC ) e.例 8(E06)求方程y1ysin x的通解.xx解1s i nxP ( x ),Q ( x),于是所求通解为xx11yedxxsin xdxxdxCexelnxxsin xlnxxCxedx1cos xC ).(x例 9求下列微分方程满足所给初始条件的特解.x ln xdy( yln x) dx0,yxe1.解将方程标准化

11、为y1y1,于是x lnxxdx1dx111yeex lnxdx Celn ln xx ln xeln ln xdxCln2xC .xxlnx2由初始条件y1,得C1,故所求特解为y11xeln x.22ln x例 10（ E07） 在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L 的汽油，其中包含100g 的添加剂. 为冬季准备， 每升含2g 添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min 的速度泵出 . 在混合过程开始后20 分钟罐中的添加剂有多少？解 令y是在时刻t罐中的添加剂的总量 .易知y (0 )100. 在时刻t罐中的溶液的总量V t80004045 t8

12、 0 0 0 5 t因此，添加剂流出的速率为y tyt45 y tV溶液流出的速率80005t45t8 0 0 0 5t添加剂流入的速率24080，得到微分方程d y4 5y8 08000 5td t即d y4 58 0yd t8 0 0 0 5t于是，所求通解为4545dtdt9ye80005 t80 e80005 tdtC1600010 tC t1600由y ( 0 )100确定 C，得16000100C 090，C10，160016008故初值问题的解是y1600010 t108t16009，1600所以注入开始后20 分钟时的添加剂总量是109y ( 20 )1600010208201

13、6001512 .58g.1600注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器 . 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的变化率=化学品进入的速率化学品离开的速率.课堂练习1.求微分方程dycos y的通解 .dxcos y sin 2 yx sin y2.求线性微分方程yy3x2满足条件 yx 00 的特解.雅各布 . 伯努利 （ Jacob Bermoulli ， 16541705)伯努利瑞士数学

14、、力学、天文学家。1654 年 12 月 27 日生于瑞士巴塞尔；1705 年 8 月16 日卒于巴塞尔。雅各布 .伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662 年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在1684 年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。雅格布毕业于巴塞尔大学，1671 年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。遵照他父亲的愿望，他又于1676 年得硕士学位。同时他对数

15、学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676 年，他到日内瓦做家庭教师。从1677 年起，他开始在这里写内容丰富的沉思录。1678 年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的几何学、活利斯的无穷的算术以及巴罗的几何学讲义。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682 年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。这次旅行， 他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关慧星的理论以及受到人们高度评价的重力理论。回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于科技问题的文章，并且也继续研究数学著作。1687年，雅格布在教师学报上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分方法”。1684 年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究。年出版了他最早的关于概率论的文章。由于受到