最新初中数学二次函数基础测试题及答案

1、最新初中数学二次函数基础测试题及答案一、选择题1 .抛物线yi=ax2+bx+c与直线，2=mx+的图象如图所示，下列判断中：abcVO；a+b+c>0：5a-c=O；当xvg或x>6时，力>力，其中正确的个数有（）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a>0, b<0, 00,则 abc<0,则正确：根据图形可得：当x=l时函数值为零，则a+b+c=O,则错误；根据函数对称轴可得：- - =3,则b=-6a,根据a+b+c=O可知：a-6a+c=0, -5a+c=0,则5a- 2ac=0,则正确：根据函数

2、的交点以及函数图像的位置可得正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目，如果函数开II向 上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b 的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴 交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a- b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个 函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.2 .抛物线y=r2+bx+3的对称轴为直线x=-l.若关于x的一元二

3、次方程-M+bx+3 - t=0 （t为实数）在-2<x<3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A. -12<f<3B. -12<t<4 C. 一 12V区4D. -12<t<3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y= -x2-2x + 3,将一元二次方程一x2 + bx+3-t=O的 实数根看做是y=-x2-2x+3与函数y=t的交点，再由-2<x<3确定y的取值范围即可 求解.【详解】解：'=-x?+bx+3的对称轴为直线x= -1,/.b=-2,Ay=-x2-2x+3,一元二次方程一x2+bx+3

4、-t=0的实数根可以看做是y=-x2-2x+3与函数y=t的交 点，当 x=-l 时，y=4；当 x=3 时，y=-12,函数y=T-2x+3在-2<x<3的范围内一 12Vy“，A12<t<4,故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点 问题是解题关键.3.对于二次函数> =。/+（；-2。工（4<0）,下列说法正确的个数是（）对于任何满足条件的“，该二次函数的图象都经过点（2,1）和（0,0）两点；若该函数图象的对称轴为直线x =则必有0<小<1；当xNO时，随工的增大而增大；若尸（4,乂

5、），。（4+见）（加>°）是函数图象上的两点，如果总成立，则a <-.12A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可.【详解】/1 A对于 y = G?+ 2a x（a <0）12 J当x = 2时，> =4。+ 2（；2。）= 1,则二次函数的图象都经过点（2,1）当x = 0时，）'=0,则二次函数的图象都经过点（0,0）则说法正确此二次函数的对称轴为_ 2_112a 4a-+ 1>14a则说法错误由二次函数的性质可知，抛物线的开II向下，当4a+ 1时，y随X的增

6、大而增大：当文之一二_ + 1时，y随X的增大而减小 4。因-工 + 1>1>。4a则当0«1<-工+ 1时，y随x的增大而增大；当X2 二-+ 1时，y随x的增大而减小 4a4。即说法错误/ m>0.-.4+777 >4由）1 >户总成立得，其对称轴工=工+ 1<4 4a解得。则说法正确综上，说法正确的个数是2个故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质U寸称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质 是解题关键.4.已知二次函数y=ax2+bx+c （0工0）的图象如图，则下列4个结论：abcVO；2a+b =0；4o+2b+c&g

7、t;0； （4）b2 - 4ac>0；其中正确的结论的个数是（）B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数y=ax，bx+c系数符号由抛物线开II方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物 线与x轴交点的个数确定解答.【详解】b由抛物线的对称轴可知：-通>。，/. abVO,抛物线与y轴的交点在正半轴上，Ac>0,/.abc<0,故正确;c h工=1，2a:.b= - 2ch/. 2a+b=Of故正确.（0, c）关于直线x=l的对称点为（2, c）,而 x=0 时，y=c>0,，x=2 时，y=c>0,Ay=4a+2b+c>0,故正确；

8、由图象可知：>（），：,b2 - 4ac>0,故正确；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质, 属于中考常考题型.C2C. 3D. 45.如图是抛物线（0工0）的部分图象，其顶点坐标为（1, m）,且与x铀的 一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论：abc>0：a-b+c>0；b?= 4o （c-m）；一元二次方程。W+bx+c=m+l有两个不相等的实数根，其中正确结论的个【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的开I I方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a, b, c的正负；根据抛物线的 对称轴位置

9、可判别在X轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解.【详解】:函数的图象开11向上，与y轴交于负半轴/. a>0zc<0 抛物线的对称轴为直线X=- - =1 2a:.b<0/.abc>0：正确； 抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=l, 抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间. 当 x=-l 时，y<0,即a-b+c<0,所以不正确; 抛物线的顶点坐标为（1, m）,.4ac - h2.=m,4a：.b2=4ac-4am=4a （c-m）,所以正确;抛物线与直线y=m

10、有一个公共点，抛物线与直线y=m+l有2个公共点， 一元二次方程ax2+bx+c=m+l有两个不相等的实数根，所以正确.故选:C.【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键.6.如图，二次函数y=a/+bx+c的图象过点（一1,0）和点（3,0）,有下列说法:bcVO； a+b+c>0：2a+b=0； 4ac>b2.其中错误的是（）B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到。>0,利用对称轴在了轴的右侧得到<0,利用抛物线与y轴 的交点在x轴下方得到c<0,则可对A进行判断；利用当x = l时

11、，丁<0可对6进行判 断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x = - ± = 1,则可对C进行判断： 2cl 根据抛物线与x轴的交点个数对"D进行判断.【详解】解：抛物线开口向上，。>0，对称轴在y轴的右侧，。和b异号,.6<0，,抛物线与y轴的交点在x轴下方，c < 0，:.bc>0,所以错误；,当x=l时，y <0,二.a + b+cvO,所以错误； 抛物线经过点（-1,0）和点（3,0）, 抛物线的对称轴为直线x = 1,即-2 = 1,2a；.2a + b = 0,所以正确： 抛物线与工轴有2个交点，二 > =柠-

12、 4ac > 0，即4ocy2,所以错误.综上所述：正确；错误.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y = aF+公+c（wO）,二次项系 数。决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数。共同决定对称轴的位置（左同右异）.常数项c决定抛物线与y轴交点（0,。.抛物线与x轴交点个数由决定.7.二次函数y=x2+bx的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程M+bx-t=0 （t为实数）在-1VXV4的范围内有解，则t的取值范围是（）A. 0<t<5B, - 4<t<5C. - 4<t<0D. t> - 4【

13、答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx-t=0的解可以看成二次函数y=x2 - 4x与直线y=t的交点，-1VXV4时-4yV5,进而求解；【详解】解：对称轴为直线x=2,:.b= - 4,.y=x2 - 4x,关于X的一元二次方程炉+bx -t=0的解可以看成二次函数y=x2 - 4x与直线y=t的交点， l<x<4,二次函数V的取值为-4<y<5,:.-4<t<5；故选:B.【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数 与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键.

14、8.如图是抛物线y=ax2+bx+c （”0）的部分图象，其顶点坐标为（1, n）,且与x轴的一 个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论：4a-2b+c>0：3a+b>0；b?=4a （c- n）；一元二次方程aK+bx+cuf） - 1有两个互异实根.其中正确结论的个数是【解析】【分析】根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0,对称轴x=l,利用顶点坐标，图象与x轴 的交点情况，对照选项逐一分析即可.【详解】抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x =1,抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之

15、间，当 x= - 2 时，y<0,即4a - 2b+c<0,所以不符合题意：力也物线的对称轴为直线x=-3=1,即b= - 2a,2a/.3a+b=3a - 2G=cr<0,所以不符合题意；抛物线的顶点坐标为（1, n）, 4ac - b2 =n,4a：.b2=4ac-4an=4a （c-n）,所以符合题意；;抛物线与直线y=有一个公共点，抛物线与直线y=n - 1有2个公共点， 一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以符合题意.故选：8.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次 函数与一次函数图象结合判定方

16、程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.9.若二次函数yuaK+bx+c (80)的图象于x轴的交点坐标分别为(x>0) , (x2, 0),且X1VX2,图象上有一点M (xo，yo)在x轴下方，对于以下说法：b? - 4ac> 。x=x0是方程ax2+bx+c=y。的解X1VX0VX2a (x0-xj) (x0-x2) V0其中正确的是 ( )A.B,C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出=b2-4ac>0, 正确：由点M (xo, yo)在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可 得出x=Xo

17、是方程ax2+bx+c=yo的解，正确：分a>。和aV。考虑，当a>。时得出X】 <xo<x2；当aVO时得出xoVxi或xo>X2,错误；将二次函数的解析式由一般式转化 为交点式，再由点M (xo，y0)在x轴下方即可得出y°=a (xo-xi) (x0-x2) <0,正确.【详解】二二次函数y=ax2+bx+c (awO)的图象于x轴的交点坐标分别为(Xi, 0) , (x2, 0), 且 X1<X2»方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，A=b2-4ac>0,正确：图象上有一点M (xo, yo),，aN：+bx

18、o+c=yo，*.x=xo是方程ax2+bx+c=yo的解，正确：当a>0时，；M (xo, yo)在x轴下方，:.Xl<Xo<X2；当aV0时，VM (xo> yo)在x轴下方，XoVXl 或 Xo>X2，错误；二二次函数y=ax?+bx+c (a#0)的图象于x轴的交点坐标分别为(xi, 0) , (x2. 0),/.y=ax2+bx+c=a (x-xi) (x-x2),图象上有一点M (xo, yo)在x轴下方,Ayo=a (x0-xi) (xo-x2) <0,正确：故选B.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图

19、象与系数 的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键.10.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.不 考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位： s)之间的关系如下表：t01234567 h08141820201814 9下列结论：足球距离地面的最大高度为20m；足球飞行路线的对称轴是直线/ = 5； 足球被踢出9s时落地；足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论 的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为片ax

20、(x-9),把(1, 8)代入可得。=-1,.y= - e+9t= - (f- 4.5) 2+20.25, 足球距离地面的最大高度为20.25m,故错误， 抛物线的对称轴t=4.5,故正确， f=9时，片0,足球被踢出9s时落地，故正确， f=1.5时，片11.25,故错误，正确的有，故选B.11.如图，坐标平面上，二次函数y=-x?+4x-k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交 于C点，其顶点为D,且k>0.若2XABC与AABD的面积比为1： 4,则k值为何？()灯 D1B.一24C.一34 D.-A. 1【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方

21、程，解方程即可.【详解】解：Vy= - x2+4x - k= - (x - 2)2+4 - k,顶点 D(2, 4-k), C(0, - k),AOC=k,.AB(Jjg=LABOC="!ABk, 4ABD 的面枳=9 AB(4 - k), 4ABC 与aABD 的面积222比为1： 4, 1Ak=-(4- k),4解得：k=-.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式：根据三角形的面积关系得出方程是解 决问题的关键.12.如图，矩形48CD中，AB=8, AD=4, E为边4。上一个动点，连接8E,取8E的中点 G,点G绕点E逆时针旋转90。得到点F,连接CF

22、,则ACEF面积的最小值是()【答案】B【解析】【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H,则aFEHsebA,设AE=x,可得出CEF面积 与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值.【详解】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H,V ZA=ZH=90°, ZFEB=90/. ZFEH=90°-ZBEA=ZEBA.AAFEHAEBA,HF HE EF：.一=一=一,AE AB BE.G为BE的中点，;.FE = GE = gBE,.HF HE _EF AEABBET 设 AE=x, ,: AB = 8, AD = 4,AHF=-x,£/7 =

23、4,DH = AE = x, S,CEF = SdHFC + S'CED 1 1 1 1 1=x(-x+8) + x8(4-x)- -x4e-x=x2 + 4x-16-4x-x4=3+16, 4一1 _ 91当工= r = Z时，aCEF面积的最小值= ；x4 2 + 16 = 15. 2x44【点睛】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质.建立ACEF面积与AE长度的函数 关系式是解题的关键.13.如图，四边形ABCD是正方形，48 = 8, AC、BD交于点0,点P、Q分别是AB、BD 上的动点，点P的运动路径是A8f5C,点Q的运动路径是BD,两点的运动速度相同并 且同

24、时结束.若点P的行程为X, 尸5。的面枳为y,则y关于x的函数图象大致为（）【答案】A【解析】【分析】 分点P在48边和8c边上两种情况画出图形，分别求出V关于x的函数关系式，再结合其 取值范围和图象的性质判断即可.【详解】解：当点P在A8边上，即0KXK8时，如图1,由题意得：AP=BQ=x, N4BD=45。，:.BP=8x,过点Q作QFJ_A8于点F,则（2=巫6。=巫X, 22,此段抛物线的开口向下;2当点P在8c边上，即8<1（8应时，如图2,由题意得：BQ=x, BP=x_8, ZCBD=45°,过点Q作QE_LBC于点E,则QE=3bQ =巫X,22,此段抛物线的

25、开I向上.则 y = ；(x-8)?x=孝/ _25/Jx故选A.【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性 质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.14.如图，抛物线y=ax2+bx+c （a>0）过原点0,与x轴另一交点为A,顶点为B,若A0B为等边三角形，则b的值为（）【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B (-上-，土 ),由MOB为等边三角形，得至IJ二=tan60°x (-), 2 a 4。4a2a即可求解；【详解】解：抛物线y=ax2+bx+c (a>0)过原点0, c0

26、87;la 4aVAAOB为等边三角形，:.=tan60°x (-), 4a2a，b= -273 ；故选B.【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质：能够将抛物线上点的关系转化为等边三 角形的边关系是解题的关键.15.二次函数y=ax2+bx+c ("0)中的x与y的部分对应值如下表:X -3-2-101234 y 1250-3- 4-305 给出以下结论：(1)二次函数V=ax2+bx+c有最小值，最小值为-3； (2)当-g VxV2 时，yVO； (3)已知点4 (xi, vi)、B (X2, y2)在函数的图象上，则当-1VX1V0, 3< X2V4

27、时，力>.上述结论中正确的结论个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：X=l,最小值为-4,故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当-；VxV2时，yVO,符合题意；（3）-IVxiVO, 3Vx2V4时，X2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择:B.【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函 数的性质是解题的关键.16 .如图，在边长为4的正方形A6CO中，动点尸从A点出发，以每秒1个单位长度的 速度沿向8点运动，同

28、时动点0从8点出发，以每秒2个单位长度的速度沿f8方向运动，当夕运动到8点时，P、0点同时停止运动.设夕点运动的时间为 t秒，&4尸。的面积为S,则表示S与之间的函数关系的图象大致是（）【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答，点P在AB上运动，点Q在BC上运动；点P在AB上运动， 点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式，即可判断得出答案.【详解】解：当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，AP = t,BQ = 2tS APO = -t-2t = r,函数图象为抛物线；当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，AP = t, AP。底边AP上的高保持不变=,函数图象

29、为一次函数；2故选：D.【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S与7之间的函数关系是解此题的关 键.17 .如图，抛物线y=ax2+bx+c （於0）与x轴交于点4 （1, 0）,对称轴为直线x=-l, 当y>0时，x的取值范围是（）A. -lVxVl B, - 3<x< - 1 C. x<lD. - 3<x<l【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：抛物线V=ax2+bx+c与X轴交于点4 （1, 0）,对称轴为直线X=-1,，抛物线与x轴的另一交点坐标是（-3, 0）,当y>

30、0时，x的取值范围是-3VxVl.所以答案为：D.【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.18.下列函数(1)片x (2) y=2x-l (3) y=- (4) y=2 - 3x (5)片x? - 1 中，是一次 X函数的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可.【详解】解：(1)片x是一次函数，符合题意；(2)片2x-l是一次函数，符合题意：(3)y=-是反比例函数，不符合题意； X(4)片2-3x是一次函数，符合题意：(5)片必-1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个.故选：B.【点睛】此题考杳一次函数、二次函数和反比例函