浙江省2020届高三数学第一次联考试题

1、浙江省 2020 届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1. 已知集合 A x | ( x3)( x1) 0，B x x1|1 ，则 CRAB （ ）A.1,0) U (2,3B.(2,3C.(,0)U (2,)D.( 1,0) U (2,3)【答案】 A【解析】【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果 .【详解】因为集合A x |( x3)( x 1)0， B x x 1| 1 ，所以 A x | x3 或 x1 ， B x | x2 或 x0 ，所以 CRA x | 1 x3 ，所以 CRAB x | 2x3 或 1 x0 ，故选 A.

2、【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2. 已知双曲线 C : x2y21，则 C的离心率为（）93A.3B.3C.23D. 223【答案】 C【解析】【分析】由双曲线的方程得a29,b23 ，又根据 c2a 2b2，可得 a, c 的值再代入离心率公式 .【详解】由双曲线的方程得 a29, b23 ，又根据 c2a2b29312，解得： a 3,c2 3，所以 ec2 3，故选 C.a3- 1 -【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3. 已知 a, b 是不同的直线，是不同的平面，若a， b， a / /，则下列命题中正确的是（）A.bB.b /

3、 /C.D./ /【答案】 C【解析】【分析】构造长方体中的线、面与直线a,b,相对应，从而直观地发现成立，其它情况均不成立 .【详解】如图在长方体ABCDA1B1C1D1 中，令平面为底面 ABCD ，平面为平面 BCC1B1 ，直线 a 为 AA1若直线 AB 为直线 b ，此时 b，且，故排除A,B,D ；因为 a， a / /，所以内存在与 a 平行的直线，且该直线也垂直，由面面垂直的判定定理得：，故选 C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.- 2 -x34. 已知实数 x, y 满足 xy 1，则 z2x y 的最大值

4、为（）y2(x1)A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】 B【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数z2xy 的几何意义，当直线 y2xz 在 y轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值 .x3【详解】画出约束条件xy1所表示的可行域，如图所示，y2(x1)根据目标函数z 2xy 的几何意义，当直线 y2x z 在 y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点A(3,4) 时，其截距最大，所以zmax2 34 10 ，故选 B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线y2x z 在 y 轴上的截距达

5、到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.5. 已知圆 C 的方程为 ( x3)2y21 ，若y 轴上存在一点A ，使得以 A 为圆心、 半径为 3 的圆与圆 C 有公共点，则A 的纵坐标可以是（）A. 1B. 3C. 5D. -7- 3 -【答案】 A【解析】【分析】设 A(0, y0 ) ，以 A 为圆心、半径为3 的圆与圆 C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到7y07.【详解】设 A(0, y0 ) ，两圆的圆心距dy0232，因为以 A为圆心、半径为3 的圆与圆 C 有公共点，所以 3 1 d 3 12y02324 ，解得7 y07 ，选项 B

6、、 C、 D不合题意，故选 A.【点睛】本题考查两圆相交位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6. 已知函数 f ( x)x21,x0a1，则实数 a 的取值范围是（log2 x, x，若 f）0A.(4 U 2,)B.1,2C. 4,0) U (0,2D.4,2【答案】 D【解析】【分析】不等式 fa1等价于a0,或a0,分别解不等式组后，取并集可求得a 的a2log 2 a1 1,1,取值范围 .【详解】 f a1a0,或a0,，a211,log 2 a1,解得： 4a0或 0a2的，即a4,2，故选

7、D.【点睛】 本题考查与分段函数有关的不等式，会对 a 进行分类讨论， 使 f (a) 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.- 4 -7. 已知函数f ( x)ln(| x |) cosx ，以下哪个是f ( x) 的图象（）A.B.C.D.【答案】 B【解析】【分析】由 x2时的函数值，排除C,D；由x的函数值和x3函数值的正负可排除 A.222【详解】当 x2时， f (2 ) ln 20排除 C,D，当 x时， f ( )0 ，当30,cos x0，x时， ln x2222所以 f ( x)0排除 A,故选 B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的

8、解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用 .8. 在矩形 ABCD 中， AB 4 ， AD 3 ， E 为边 AD 上的一点， DE 1，现将 ABE 沿直线 BE 折成 A BE ，使得点 A 在平面 BCDE 上的射影在四边形 BCDE 内（不含边界），设二- 5 -面角 ABEC 的大小为，直线 A B ， A'C 与平面 BCDE 所成的角分别为,，则（）A.B.C.D.【答案】 D【解析】【分析】由折叠前后图象的对比得点A 在面 BCDE 内的射影 O ' 在线段 OF 上，利用二面角、 线面有的定义，求出tan,tan,tan的表达式，再进行大小比较

9、.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过 A 作 AF BE 交于点 O ，将ABE 沿直线 BE折成A BE ，则点 A 在面 BCDE 内的射影 O ' 在线段 OF 上，设 A 到平面 BCDE 上的距离为 h，则 h' '，AO由二面角、线面角的定义得：tanhhh， tanO'， tanO '，O 'OBC显然 O'OO 'B,O'O O ' C ，所以 tan最大，所以最大，当 O ' 与 O 重合时， (tan )maxh， (tan )minh，因为 hh ，所以 (tanOBOC)max

10、(tan) min ，则 tantan，所以，OBOC所以，故选 D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切- 6 -函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9. 已知函数 f ( x)x2axb(a, b R) 有两个零点， 则 “ 2ab0 ” 是 “函数 f ( x) 至少有一个零点属于区间0，2” 的一个（）条件A. 充分不必要B.必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要【答案】 A【解析】【分析】函数 f ( x)x2axb(a,bR) 有两个零点，所以判别式a24b0 ，再从函数在 0，2上的零点个数得出相应条件，从而解出a b的

11、范围 .【详解】函数f ( x)x2ax b( a, b R) 有两个零点，所以判别式a24b0，函数 f( x) 至少有一个零点属于区间0，2 分为两种情况：（ 1）函数 f (x) 在区间 0，2 上只有一个零点0,f (0) f (2)0,f (0)f (2)b(42ab)b22ab4bb22aba 24ba 2(ab) 24ba20 ，即 (ab)2a24b又因为 a24b0 ，所以，a24baba24b ；0,（ 2）函数 f (x) 在 0，2 上有 2 个零点f (0)b0,f (2)42ab0, 解得：2ab0 ；0a2,2综上所述 “ 函数 f ( x) 至少有一个零点属于区

12、间0，2”2ab0 或a24baba24b ，所以2 a b 02 a b 0 或a24ba ba24b ，而后面推不出前面（前面是后面的子集），- 7 -所以 “2ab0 ” 是 “函数 f (x) 至少有一个零点属于区间0，2 ” 的充分不必要条件，故选 A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题 .10. 已知数列 a 满足：1a ln 2a则下列说法正确的是（）0 a1， ann 1nn121A.0a2019B.a2019122C.1a20193D.3a2019222【答案】 B【解析】分析】考察函数 f ( x)xln(2x)(0x 2

13、) ，则 f ' ( x)111x0 先根据单调性可得12x2xan 1，再利用单调性可得0a1a3LanL1 .a22【详解】考察函数f ( x)xln(2x)(0x 2)，由 f ' ( x)111x0 可得 f ( x)0,1单调递增，【222x2x由 f ' ( x)0可得 f ( x) 在1,2单调递减且 f ( x)f11，可得 an1，数列 an 为单调递增数列，如图所示：且 f (0)ln 2ln4 ln1， a2f (a1 )f (0)1e，- 8 -图象可得 0 a11a2 a3 L an L 1 ，所以 12a20191，故选 B.2【点睛】本题考

14、查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11. 复数 z(1i ) 2（ i 为虚数单位），则 z 的虚部为 _， | z | _.1i【答案】(1). -1 (2).2【解析】【分析】复数 z 进行四则运算化简得 z1i ，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1，模为2 .(1i) 22i(1i )1 ，【 详 解 】 因 为 zi(1 i)(11 i ， 所 以 z的虚部为1i )| z |( 1)2122 ，故填：1;2 .【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查

15、基本运算能力.12. 某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位： cm），则该几何体的体积为_cm3 ，表面积为 _ cm2 .- 9 -23【答案】(1).(2). 233【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积.【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2 ，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2 ，所以多面体的体积为：22211112233 ，323 cm表面积为： 62 212(5)2(2 ) 21 11 2 11 2 23 cm22222【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体

16、积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13. 若 ( x2)(2 x1)7a0a1x a2 x2L a8 x8，则 a0_， a2 _.【答案】(1). 2(2). 154【解析】【分析】令 x 0得： a02，求出两种情况下得到x2 项的系数，再相加得到答案 .【详解】令 x0得： a02 ，展开式中含2 项为：（ 1）当 ( x2) 出 x ，7 出含 x 项，即 Tx C1(2 x) ( 1)6；x(2 x 1)17（ 2）当 (x2) 出 2 ， (2 x1)7 出含 x2 项，即 T22 C72(2 x)2 (1)5；所以 a22C712C724( 1)154 ，故填：2

17、 ；154 .【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用-10-二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14. 在ABC 中，ACB90 ，点 D, E 分别在线段 BC, AB 上, ACBC 3BD 6，EDC60 ，则 BE_， cos CED _.【答案】 (1).3 26 (2).22【解析】【分析】在BDE 中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB 中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出 cosCEB ，进一步得到cosCED 的值 .【详解】如图ABC 中，因为EDC60，所以EDB120 ，所以 sinBEBDBE2EDBsinBED

18、，即sin120 osin15 o ，解得： BE33326 ，o2321sin152222在 CEB 中，由余弦定理，可得：CE 2BE 2CB 22BE CB cosB2462(4 22)2 ，所以 CE422 ，所以 cos CEBCE 2BE2CB 21 ，2CE BE2CEB60 ,CEDCEBBED45o ，所以 cosCED2 ，故答案为3 26 ；2 .22【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在-11-同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15. 某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语

19、文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_（用数字作答） 【答案】 60【解析】【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4 门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有 A41 A4496种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有A22种，则上午相当于排 4 节课，它的情况有： A31 A33 A2236 种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有方法有 96 36 60种 .【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题

20、，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16. 已知 A, B 是抛物线 y24x 上的两点， F 是焦点，直线 AF , BF 的倾斜角互补， 记 AF , AB的斜率分别为k1 , k211_.，则 22k2k1【答案】 1【解析】分析】设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，由抛物线的对称性知点(x2 ,y2 ) 在直线 AF 上，直线 AF : yk (x1) 代入2得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到k , ky4x21111( x的2,y2)在直线AF上，关系，从而求得k22k12 的值 .【详解】设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，由抛物

21、线的对称性知点-12-直线 AF : yk1(x1) 代入 y24x 得：k12 x2(2 k124) xk12x1 x22k124 ,0 ，所以k12，x1 x21,因为 k2y2y1x22x1k224k12，x2x1x1x2 2 x1x2 1 k12所以 111k1211，故填： 1.k22k12k12k12【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17. 已知非零平面向量r rr rr2r3r1 rrra, b 不共线， 且满足 a ba4 ，记 c4ab ，当 b, c 的夹角取r4得最大值时，r|ab |的值为 _【答

22、案】 4【解析】【分析】r先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得rr|ab | 的值 .【详解】由非零平面向量r rr rr24，建立如图所示的平面直角坐标a, b 不共线，且满足a ba系：rrrrr则 A(2,0), B(2, b),b 0 ，则 a(2,0), b(2, b) ，由 c3 a1 b ，则 C (2, b) ，b , b ，444则直线 OB, OC 的斜率分别为28由两直线的夹角公式可得：-13-bb333tan BOC28bb8b，28b418b22b28b ，即 b4 时取等号，此时rr当且仅当B(2,4) ，则 ab (0

23、, 4) ，b2rrb |4 ，故填： 4.所以 | a【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18. 已知函数f ( x)cos2 x3sin x cos x （ 1）求 f的值；3（ ）若f130,，求 cos的值.2,3210【答案】 (1)1；(2) cos33410【解析】【分析】（ 1）利用倍角公式、辅助角公式化简f (x)1sin 2x，再把 x代入求值；263（ 2）由 f13 ,0,3，sin64 ,cos63，利用角的配凑法得：21055，再利用两角差的余弦公式得cos33461

24、0.6【详解】解 : （ 1）因为f (x)cos2 x 3sin xcosx1cos2x3sin2 x1sin2 x6，222-14-所以 f31sin261sin 5111 .232622（ 2）由 f13 ,0,得 sin64 ,cos63 ，210355coscoscoscossinsin33466661066【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19. 在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面ABC 是等腰三角形， 且ABC 90 ，侧面 ABB1 A1是菱形， BAA1 60，平面 ABB1 A1平面 BAC，点

25、M 是AA1 的中点（ 1）求证： BB1 CM ；（ 2）求直线 BM 与平面 CB1M 所成角的正弦值【答案】 (1)证明见解析； (2)105【解析】【分析】（ 1）证明直线BB1 垂直 CM 所在的平面BCM ，从而证明 BB1CM ；uuur（ 2）以 A 为原点， BC为 x 轴正方向，uuurABC向上为 z 轴正方向AB 为 y 轴正方向，垂直平面建立平面直角坐标系，设AB2 ，线面角为，可得面 B1MC 的一个法向量-15-ruuuur33r uuuurn (2 3,3,5) ， BM0, ,，代入公式 sin| cos n, BM |进行求值 .22【详解】（ 1）证明：在

26、 Rt ABC 中， DB 是直角，即 BCAB ，平面 ABC平面 AA1 B1B ，平面 ABC I 平面 AA1 B1 BAB，BC平面 ABC ，BC 平面 AA1 B1BAB， BCB1B .在菱形 AA1B1B中，A AB60，连接 BM ，A1B1则 A1 AB 是正三角形，点 M 是 AA1中点，AA 1BM .又Q AA1 / /B1B ，BB1BM .又Q BM I BC B， BB1 平面 BMCBB1MC .（ 2）作 BGMB1 于 G，连结 CG 由（ 1）知 BC 平面 AA1 B1 B ，得到 BCMB1 ，又 BGMB1 ，且 BC I BGB ，所以 MB1

27、平面 BCG .又因为 MB 1平面 CMB1 ，所以 CMB 1BCG ，又平面 CMB1 I平面 BCGCG ,作 BHCG 于点 H，则 BH平面 CMB1，则BMH 即为所求线面角设 ABBC2 ，由已知得 BB12, BM3, BG221,BH30 ，75-16-BH3010 ，sinBMH5BM35则与平面CB1 M 所成角的正弦值为10BM5【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力 .20. 已知数列an为等差数列， Sn 是数列an 的前 n 项和，且 a55， S3a6 ，数列bn 满足 a1b1a2b2L anbn(2 n 2)

28、bn2 （ 1）求数列an ， bn的通项公式；（ 2）令 cnan ,nN * ，证明： c1c2L cn 2bn【答案】 (1)ann . bn2n . (2)证明见解析【解析】【分析】（ 1）利用a5S aa , dabn2 ，5，6 得到关于的方程，得到n ；利用临差法得到31nbn1得到 bn是等比数列，从而有bn2n ；（ 2）利用借位相减法得到111L1n2n221222n 12n2n，易证得不等式成立 .【详解】（ 1）设等差数列an的公差为 d ，a14d5，解得a113a13da1d，5d1 数列 an的通项公式为 ann .b12b2L nbn(2 n 2)bn2 ，当

29、n2 时， b12b2 L (n 1)bn 1(2 n 4)bn 12-17-(2 n4) bn 1(n2)bnbn2 ，bn 1即 bn是等比数列，且 b12 ， q2 ，bn2n .（ 2） cnannc cL c12n，n ，记 S2bn21n21222n则 2S123Ln，1222n 12S2SS111L1n2n22 1222n 1n2n22【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21. 已知抛物线 x24 y ， F 为其焦点， 椭圆 x2y21 ( a b 0)， F1 ， F2 为其左右焦a2b2点，离心率1，过 F 作 x 轴的平行线交椭圆于P,Q 两点， | PQ |4 6 .e23（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）过抛物线上一点A 作切线 l 交椭圆于 B,C 两点，设 l 与 x 轴的交点为 D ， BC 的中点为E，BC的中垂线交x 轴为 K ，KED ，FOD 的面积分别记为 S， SS118，若，12S249且点 A 在第一象限求点A 的坐标-18-【答案】 (1)x2y21. (2)2,143【解析】【分析】（ 1）由题设可知 P26126代入标圆方3,1 ，又 e2，把 a, b 均用 c 表示，并把点 P,13程，求得 c 1