相似三角形典型模型及例题

1、:相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（平行）（蝴蝶型）（三）母子型（四）一线三等角型:为背景，一个与等腰三三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:（五）一线三直角型:三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这

2、往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型:二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展AABC共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2:相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形如图,梯形 ABCDK AD/ BC对角线 AC BD交于点0, BE/ CD交CA延长线于E.求证:0C20A 0E .已知:如图, ABC中，点 E在中线 AD上 ,DEB ABC .DB2DE DA;(2) DCE DAC .求证:(1)例 3 :已知：如图，等腰 ABC中, AB= AC ADI BC于 D, CG/ AB BG分别交 AD AC于 E、F.求证：BE2

3、 EF EG .1、如图，已知 AD ABC勺角平分线，EF为AD的垂直平分线求证： FD 2 FB FC .2、已知：AD是 Rt ABC中/ A的平分线，/ C=90 , EF是AD的垂直平分线交 AD于 M EF、BC的延长线交于一点 No求证： AM0A NMD; （2）ND 2 =NCNB3、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , 求证：EB- DF=AE DBCDI AB于 D, E 是 AC上一点，CFI BE于 F。4.在 ABC 中，AB=AC 高 AD与 BE交于 H,EF BC，垂足为F,延长AD到G使DG=EF M是AH的中点。求证：GBM 90BG=2, AC

4、=4, P是斜边AB上的一个动点，PDL AB交5已知：如图，在 Rt ABC中，/ C=90°,边AC于点D （点D与点A C都不重合），E是射线DC上一点，且/ EPD/ A.设A P两点的距离为x, BEP的面积为y. (1)求证：AE=2PE(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当 BEP与 ABC相似时,求 BEP的面积.(2) 双垂型BD CE分别是AC AB上的高1、如图，在 ABC中，/ A=60° ,求证：() ABDA ACE (2) ADEA ABC (3)BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC AD CE分别是BC AB边上的高， A

5、BCD BDE的面积分别是 27和3,DE=6U2，求：点B到直线AC的距离。(3) 共享型相似三角形、 ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上，/ DAE=120 ,已知BD=1, CE=3求等边三角形的边长.2、已知：如图，在 Rt ABC中, AB=AC / DA匡45°.求证：(ABEA ACD(2) BC2 2BE CD .若点P在线段CB上(如图)，且BP 6，求线段CQ的长;若BP x , CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;CC(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持 APQ90

6、.当CQ 1时，求出线段BP的长.例 3 :已知在梯形 ABCDK AD/ BC AD< BC 且 AD= 5, AB= DO 2.(1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=/ A.求证； ABPA DPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点 P与点A D不重合)，且满足/ BP目/ A, PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q那么 当点Q在DC的延长线上时，设AP= X, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;当CE= 1时，写出 AP的长.C例4：如图，在梯形 ABCD中，AD 中点，以M为顶点作 EMF B , 结EF .(1) 求证： MEF

7、 BEM ;(2) 若 BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长;(3) 若 EF/ BC , AB CD BC 6 , AD 3 点 M 为边 BC 的 射线ME交腰AB于点E ,射线MF交腰CD于点F，联1、如图，在CD，求BE的长.ABC中, AB AC 8 , BC 10 , D是BC边上的一个动点，点 E在AC边上,(1)ADE求证：ABDhA DCE如果BDx, AE y，求y与x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域;当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在 ABC中, AB=A(=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上

8、一动点，联结 DE并作DEF B，射线EF交线段AC于F.(1)(2)(3)求证： DBk ECF当F是线段AC中点时，求线段 BE的长； 联结DF如果 DEF与 DBE相似，求FC的长.3、已知在梯形 ABCD中, AD/ BC AD< BC 且 BC=6 , AB=DC=4,点 E是 AB的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且 BP=2.求证：CPDAD于点M那么CD的延长线上时，设 BP=x , DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函(2) 如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合)，且满足/ EPF=/C, PF交直线CD于点 F,同时交直线 当点F在线段 数的定义域

9、；BEP时，求BP的长.9 当S DMF S44、如图，已知边长为3的等边 ABC，点F在边BC上，CF 1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边 EFG，直线EG,FG交直线AC于点M ,N写出图中与 BEF相似的三角形;证明其中一对三角形相似;设BE X，MN y，求y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围;若AE 1，试求GMN的面积.(5) 一线三直角型相似三角形 例1、已知矩形ABC中, CD=2 AD=3点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE CP , 交边AB于点E,设PD X, AE y，求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。例2

10、、在 ABC中， C 90o,AC 4,BC 3,O是AB上的一点，且AC 2A 2，点P是AC上的一个动点，PQ OP交线段BC于点Q (不与AB 5点B,C重合)，设APx,CQ y，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。1.在直角 ABC中,点E是AB边上的动点，(1) 、求AC和BC的长(2) 、当 EF/BC 时，3C 90o, AB 5,ta nB -,点 D 是 BC 的中点,4DF DE交射线AC于点F求BE的长。(3) 、连结EF,当 DEF和 ABC相似时，求BE的长。2.在直角三角形 ABC中, C 90o, AB BC,D是AB边上的一点，E是在 AC边上的一个动点,(与A,C不重合)，DF DE, DF与射线BC相交于点F.(1) 、当点D是边AB的中点时，求证:(2) 、当型 m，求匹的值DBDFAD(3)、当 AC BC 6,DBDEAEDFx,BF3.如图，在 ABC中，C一个动点,作 DEF 90 ,By,求y关于x的函数关系式，并写出定义域390 , AC 6 , tanB - , D是BC边的中点，E为AB边上的4EF交射线BC于点F .设BEBED的面积为y .求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求4.如