知识讲解不等关系与不等式

1、编稿：张希勇审稿：李霞学习目标】1了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系；2会用差值法比较两实数的大小；3掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题 【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R，则x 0（ x为正数）、x 0或x 0（ x为负数）三种情况有且只有一种成立两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变符号语言： a 0,b0 a 两个同号实数相乘，积是正数符号语言： a 0,b0 ab0； 两个异号实数相乘，积是负数符号语言： a 0,b0ab任何实数的平方为非负数，0 的平方为符号语言： x R x2x20.a、比较两个

2、实数大小的法则：ab0ab；ab0ab；ab0ab.对任意两个实数. 它是本章的基础，也是对于任意实数a、b, a b, a b, a b三种关系有且只有一种成立要点诠释： 这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系 证明不等式与解不等式的主要依据要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：a>bb<a(2)传递性：a>b, b>c a>c(3)可加性：a b acbc(c e R)c0acbc(4)可乘性：a>b，c0acbcc0acbc运算性质有：(1) 可加法则：ab,cdac可乘法则：ab>

3、0, cd>0*an可乘万性：ab0,nNa可开方性：ab0,nN,n1c要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据b d.d>0要点三、比较两代数式大小的方法作差法:任意两个代数式b.作商法:任意两个值为正的代数式bab中间量法:若 a>b且 b>c，贝y a>c利用函数的单调性比较大小bnvaVb可以作差a b后比较a b与0的关系，进一步比较 a与b的大小.aa、b，可以作商a b后比较一与1的关系，进一步比较a与b的大b(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小作差比较法的步骤:

4、第一步：作差;第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化为“积”；第二步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面22积为18m2，可住游客5人，每名游客每天住宿费每天住宿费50元；装修大房间每间需要小房间每间面积为 15m2，可住游客3人，每名游客1000元，装修小房间每间需要 600元，如果他只能筹款 800040元;试写岀满足上述所有不等关系的不等式元用于装修，

5、把已知条件用等式或不等式列岀来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目【思路点拨】标的关系。【解析】假设装修大、小客房分别为x间，y间，根据题意，应由下列不等关系:【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型,只要把模型中的量具体化，就可以得到相(1)总费用不超过8000 元(2)总面积不超过180m2 ；(3)大、小客房的房间数都为非负数且为正整数即有：1000x 600y 80005x 3y 4018x15y 1806x 5y 60*即*x 0(X N )X 0 (X N )y 0(y N*)y 0 (y N )此即为所求满足题意的不等式组.在解决实际问题时，要注意变量的应的数学问

6、题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题 取值范围.举一反三:【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的数量不能超过 500mm钢管的3倍.怎样写岀满足所有上述不等关系的不等式呢?【答案】假设截得 500 mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3 倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示:类型二：不等式性质的应用例2.已知 一22，求二

7、厂的取值范围.【解析】因为，所以2因为 4，所以-4424两式相加,223，所以【总结升华】求含字母的数(式)的取值范围，一是要注意题设中的条件,充分利用条件，二是在变换过程中要注意利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等举一反三:【变式1】【变式】已知 2 a3 ,1 b4，求(1)?a b,(2)-的取值范围.b【答案】(1)2 a b 2 ；(2) 2387156a 3b题型三不等式性质的应用】【高清课堂：不等关系与不等式【变式2】已知函数f(x) = ax2 + bx，且 K f( 1) < 2,2 < f (1) < 4.求f( 2)的取值范围.【答案】f(

8、1) = a b, f(1) = a+ ( 2) = 4a 2b.设 m a+ b) + n( a b) = 4a 2b.-f ( 2) = (a + b) + 3( a b) = f (1) + 3f ( 1)./ K f ( 1) < 2,2 < f (1) < 4, 5< f ( 2) < 10.例3.对于实数a,b,c判断以下命题的真假(1)若a>b,贝U ac<bc;(2)若(3)若2 2ac >bc，贝U a>b;2 2a<b<0,则 a >ab>b ;(4)若a<b<0,则 |a|>|

9、b|;1 1a>b, > 一，贝U a>0, b<0 .a b【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。(5)若【解析】(1)因为c的符号不定，所以无法判定 ac和bc的大小，故原命题为假命题(2)因为ac2>bc2,所以C工0,从而c2>0,故原命题为真命题.(3)因为b,所以a2>ab0b，所以ab>b20综合得a2>ab>b2，故原命题为真命题.(4)两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题.a(5)因为 1a b 0，所以 11-0a bb i所以bab0，从而ab<00又因a>b,所以a>0,

10、 b<0，故原命题为真命题.【总结升华】题目中要注意不等式变形的等价性，性质的应用要合理举一反三:【高清课堂：不等关系与不等式 387156题型二不等式的性质】【变式1】若a> 0> b> a, cv d< 0,则下列命题:a b(1) ad> bc； (2) -0 ； (3) a- c> bd ca (d-c) >b(d c)中能成立的个数是（）.【答案】C;【变式2】若a<b<0 ,则下列结论正确的是（A.1a1和丄 b |a|均不成立|b|B.a-b1和丄a |a|b|均不成立C.一和（aab)21（b丄）2均不成立aD.|a|

11、b)21 2(b+ )2均不成立a【答案】B；【解析】特殊值法:b 0, 取 a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.例4.船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否 相等，为什么?U,水流速度为v（u>v>0），【解析】设甲地与乙地的距离为 S,船在静水中的速度为则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间2uS2 2u v u v平均速度u竺tu2 v2因此,船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度.【总结升华】 恰当的设出变量，禾U用了做差比较大小是本例的关键举一反三:【变式】甲乙两车从

12、A地沿同一路线到达 B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a b，试判断哪辆车先到达B地.【答案】甲车先到达B地;【解析】设从B的路程为S,甲车用的时间为t1，乙车用的时间为t2 ,则一a -b2 2所以，甲车先到达S,2S . Sa b, 2 2aB地.t1S SJ(2b 2 a类型三：作差比较大小【高清课堂:例5.已知不等关系与不等式387156a，b，c是实数，试比较 a题型一比较大小】+ b2 + C 与 ab+ bc+ ca 的大小.【思路点拨】 合并同类项之后， 据实数运算的符号法则来得岀两个代数式的大小。 题。此

13、题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，判断差值正负 （注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）。根比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问【解析】 a2 b2 c2 (ab bc ca)= 2(a b)2 (b c)2(c a)2 0，当且仅当a= b= c时取等号.2 2 2a + b + cab+ bc+ ca.【总结升华】用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为:第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式;第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论;第三步：得岀结论。【总结升华】用作差

14、法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为:第一步:作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式;第二步:判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论;第三步:得岀结论.举一反三:【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号:怎 72)2(2)（舅问2血 1)2;(3)145 2当 a b 0 时，log1 a2log b.2【答案】（1） <(2)< ;(4)<【变式2】比较下列两代数式的大小:(1)(X5)(x 9)与(X7)2 ; (2) 2a2 2b2 2ab与 2a 2b 3.【答案】(1)（X5)(x 9) (X7)2(2)2 2(2 a 2b

15、2ab)(2 a2b 3)(a2 21) (b 1)(ab)2110 ,二 2a2 2b22ab2a2b3.例6.已知ab( ab0),试比较丄和1的大小.a b1b a b 即 b a【解析】-aab0,当ab 0时 abb a当ab 0时aba【总结升华】变形一步最为关键,b直至变形到能判断符号为止;另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论举一反三:【变式】已知a 0,b>0且ab2b，比较二与a b的大小aa22 b2【答案】Q( 1)(a b)b a类型四：作商比较大小例7.已知：a、b R ,且a b,比较aabb与abba的大小.很明显很难判断符号，由指数式是正【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法, 项可以联想到作商法.【解析】/a、bRa b，二 a b0， abba 0a. b 作商：ab a(a)a(b)b(a)a(-)b (里)ab (*)abbabab bb(1)若 a>b>0,则a1，aa-b>0,()a b 1,此时aabb abba成立；bb若b>a>0,则0a1 , a-b<0 ，(a)ab1,此时aabbabba成立bb综上，aabbabba总成立.【总结升华】1、作商比较法