概率论与数理统计练习册问题详解

1、实用标准文案第一章概率论的基本概念一、选择题1答案：（ B）2.答案：（ B）解： AUB表示 A 与 B 至少有一个发生 ,-AB 表示 A 与 B 不能同时发生 , 因此(AUB)(-AB) 表示 A 与 B 恰有一个发生3答案：（ C）4. 答案：（ C）注:C 成立的条件 :A 与 B 互不相容 .5.答案：（ C）注:C 成立的条件 :A 与 B 互不相容 , 即 AB.6. 答案：（ D）注: 由 C得出 A+B= .7. 答案：（ C）8. 答案：（ D）注：选项 B 由于nnnnnP( Ai ) 1 P( Ai ) 1 P(Ai ) 1P( Ai ) 1(1 P( Ai )i

2、1i 1i 1i 1i 19. 答案：（ C）注：古典概型中事件 A 发生的概率为 P( A)N(A) .N ( )10. 答案：（ A）解：用 A 来表示事件“此 r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对 立事 件 A “ 此 r 个 人 的 生 日各 不 相 同 ” 利 用上 一题 的结 论可 知rPrPrC365 r !365365P( A)365r365r ，故 P( A) 1365r .11. 答案：（ C）12. 答案：（ B）解：“事件 A 与 B 同时发生时 , 事件 C 也随之发生”，说明 ABC ，故 P( AB)P(C) ；而 P( AB) P(A) P(B) P(

3、AB)1,故 P(A)P(B) 1P( AB)P(C) .13. 答案：（ D）解：由 P(A|B)P(A B)1可知精彩文档实用标准文案P(AB) P(AB) P(AB) 1 P( A B)P( B)P( B)P( B)1P( B)P( AB)(1P( B)P(B)(1P( A)P( B)P( AB )1P(B)(1 P(B)P( AB)(1P(B) P( B)(1P( A)P( B)P( AB )P(B)(1 P( B)P( AB)P( AB) P( B) P( B)P( A) P(B)(P(B)2P(B) P( AB) P( B) ( P(B)2P( AB)P( A) P(B)故 A与

4、B独立.14. 答案：（ A）解：由于事件 A,B 是互不相容的，故 P( AB )0，因此P(A|B)= P( AB)00 .P( B)P( B)15. 答案：（ D）解：用 A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件 A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件 A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故P( A) (1 1)(11 )(11)(11)1P( A)2 .54363316. 答案：（ B）

5、解：所求的概率为P( ABC )1P(ABC)1P( A)P(B)P(C)P(AB)P(BC) P( AC) P(ABC)11110110344416168注： ABC AB0P(ABC )P( AB) 0P(ABC) 0.17. 答案：（ A）精彩文档实用标准文案解：用 A 表示事件“取到白球”，用 Bi 表示事件“取到第 i 箱” i 1.2.3 ，则由全概率公式知P( A) P(B1) P( A | B1)P(B2) P( A | B2) P(B3) P( A | B3)1 11 31 553.3 53 63 812018. 答案：（ C）解：用 A 表示事件“取到白球”，用Bi 表示事

6、件“取到第 i 类箱子” i1.2.3 ，则由全概率公式知P( A) P(B1) P( A | B1) P(B2) P( A | B2) P(B3) P( A | B3)2 13 21 27.6 56 36 51519. 答案：（ C）解：即求条件概率 P( B2 | A) . 由 Bayes 公式知P(B2)P( A| B2)3 26 3P(B2 | A)7P(B1)P( A| B1 ) P(B2 )P( A | B2 ) P(B3)P( A| B3)155 .7二、填空题1. （正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（

7、正，反，正）2. ABC; ABCABCABCABC 或 ABBCAC3 0.3 ， 0.5解：若 A 与 B 互斥，则 P（A+B）=P（ A） +P（B），于是P（ B）=P（A+B）-P （A）=0.7-0.4=0.3 ；若 A 与 B 独立，则 P（AB）=P（ A）P（B），于是由 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） -P （ AB） =P（ A） +P（ B） -P （ A） P（ B），得P(B )P( AB) P( A)0.70.4 0.5.1P(A )10.44.0.7解：由题设 P（AB）=P（ A） P（ B|A） =0.4 ，于是P（ AUB） =P（A）+P（

8、B）-P（ AB）=0.5+0.6-0.4=0.7.精彩文档实用标准文案5.0.3解：因为P（AUB） =P（A）+P（B）-P（AB），又 P( AB)P( AB)P( A) ，所以P(AB)P(AB)P(B)0.60.30.3.6.0.6解：由题设 P（A）=0.7 ，P（ AB ） =0.3 ，利用公式AB ABA 知P(AB)P( A)P( AB) =0.7-0.3=0.4 ，故 P( AB)1P( AB)1 0.40.6.7.7/12解：因为 P（AB） =0，所以 P（ABC） =0，于是P( ABC)P( ABC)1 P(AB C )1 P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC

9、)P(AC)P( ABC ) .13/ 42 / 67 /128.1/4解：因为 P( ABC)P( A)P(B) P(C)P( AB)P(BC )P(AC)P( ABC)由题设P(A)P(B)P(C), P(AC)P(A)P(C) P2 ( A), P( AB) P( A)P(B)P2( A) ，P(BC)P(B)P(C)P2 ( A), P( ABC) 0 ，因此有 93P( A) 3P2 ( A) ，解得16P（ A）=3/4 或 P（A）=1/4 ，又题设 P（A）<1/2, 故 P（A）=1/4.9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6 ，另外，用全概率

10、公式也可求解 .110.1260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12 121 1 14 ，故所求的概率为 41 .7!126011.3/7解：设事件 A=抽取的产品为工厂 A 生产的 ，B=抽取的产品为工厂 B 生产的 ，C=抽取的是次品 ，则 P（A）=0.6 ，P（B）=0.4 ，P（C|A）=0.01 ，P（C|B）=0.02 ，故有贝叶斯公式知精彩文档实用标准文案P(A |C)P(AC)P( A)P(C | A)0.60.013 .P(C )P( A)P(C | A) P(B) P(C | B)0.6 0.010.

11、4 0.02712.6/11解：设 A=甲射击 ， B=乙射击 ，C=目标被击中 ，则 P（A）=P（ B） =1/2 ， P（ C|A）=0.6 ， P（ C|B）=0.5 ，故 P(A |C)P(AC)P( A) P(C | A)0.50.66 .P(C )P( A) P(C | A) P(B) P(C | B) 0.50.60.50.5 11三、设 A，B，C是三事件，且 P( A) P( B) P(C)1 ,P(AB)P(BC)0 P(AC)1.4，8求 A，B，C 至少有一个发生的概率。解： P ( A， B， C至少有一个发生 )= P ( A+B+C)= P ( A)+ P (

12、B)+ P ( C) P( AB)P( BC) P( AC)+ P ( ABC)=3105488四、111,() 。P( A)4 , P(B|A)3 , P(A|B)2求PA B定义 P(AB)P( A)P(B | A)1111由已知条件有43P(B)解：由 P(A| B)P(B)2P(B)6P(B)由乘法公式，得 P( AB)P( A)P(B | A)112由加法公式，得 P( A B)P( A) P(B)P( AB)111146123五、已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解： A1

13、= 男人 ， A2 = 女人 ， B=色盲 ，显然 A1A2=S，A1 A 2=由已知条件知 P( A1 ) P( A2 )1P( B | A1) 5%, P(B | A2) 0.25%2由贝叶斯公式，有精彩文档实用标准文案P(A1 | B)P( A1B)P(A1)P(B | A1 )P( B)P( A1 )P(B | A1) P(A2 )P(B | A2)1520210015125212100210000六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m只红球，乙袋中装有 N 只白球 M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三

14、版19 题(1) ）记 A1 ，A2 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记 B 表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B 且 A1，A2互斥 P( B)=P( A1) P(B| A1)+ P ( A2) P ( B| A2)=nN1mNn mNM 1n mN M 1第二章随机变量及其分布一、选择题1. 答案：（ B）注：对于连续型随机变量 X 来说，它取任一指定实数值 a 的概率均为 0，但事件 X=a 未必是不可能事件 .2. 答案：（ B）解：由于X 服从参数为的泊松分布，故P Xkke0,1, 2, . 又, kk !PX 11e2e2 ，因此PX 2, 故2!1!P X21

15、P X21P X0PX 1P X2 .1 20 e 221 e 222 e 2150!1!2!e2精彩文档实用标准文案3. 答案：（ D）解：由于 X 服从 1,5 上的均匀分布 , 故随机变量 X 的概率密度为f (x)41 , x1,5. 因此，若点a,b 1,5，则 P aXbb a .0, x1,54P3X6P3X52，P0 X4 P1X43 ，44P 1X3P1X3214.24 答案：（ C）解：由于 X N ( ,4),故 X N (0,1);2由于PX0P X0(), 而(0)1 ，故只有当0 时，1 ；2222才有PX02P X2P X21 PX21P X2 1(1);22正态

16、分布中的参数只要求0 ，对没有要求 .5. 答案：（ A）解：由于 X B(2, p) ，故P X11P X11P X01C20 p0 (1p) 21 (1p)22 p p2 ，而PX15，故 2 pp251或 p59p3（舍）；93由于 Y B(3, p) ，故P Y11PY11P Y01 C30( 1) 0(11) 31 (2)319 .333276. 答案：（ B）解：这里g( x)2x 3 ， g( x)处处可导且恒有 g ( x )2 0，其反函数为x h( y)y3 ，直接套用教材64 页的公式（ 5.2 ），得出 Y 的密度函数为2精彩文档实用标准文案f Y ( y) fX (y

17、 3)11 f X (y 3) .22227. 答案：（ D）注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质. 见教材 51 页.8. 答案：（ C）1x(t 1)21( x 1) 2解：因为 X N (1,1)，所以 F ( x)e2e2 .2dt ， f (x)2P X0P X101(1)1(1)10.84310.1569,11P X01P X01P X01 (1)(1)0.8431;P X1P X111(0)0.5,11P X11P X11P X11(0) 0.5;9. 答案：（ B）解：由于 f (x) f ( x) ，所以 X 的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于 y 轴对称，因此

18、随机变量 X 落在 x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出 F (0)P(X 0)1 . 我们可以画出函数 f (x) 的图形，借助图形来选出答案 B.2也可以直接推导如下：F ( a)ax ，则有f ( x) dx ，令 uF ( a)af (u)duf ( x)dxf ( x) dxa1af ( u) duf ( x)dx2f (x)dx.aa00010. 答案：（ A）111解：PXf ( x)dx411443317x2.xdx|182411. 答案：（ B）2 1X 121解：PX 21PX 21P2 X 21P2221(0.5)( 1.5)1(0.5)1(1.

19、5)0.3753 .精彩文档实用标准文案12. 答案：（ D）解：对任意的x0, 1 1( )1 (1x)x；选项P X xP X xF xeeC描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0 .13. 答案：（ A）解：选项 A 改为 X N (0,1)，才是正确的；P X(a, b)F (b)F ( a)( a)( b) ；P| X| k PkXk P kXkPkXk(k)( k )2 ( k).1,(k 0)14. 答案：（ B）解：由于随机变量X 服从 (1,6)上的均匀分布, 所以 X 的概率密度函数为f (x)1, x1,6.而方程x2Xx 1 0有实根

20、，当且仅当51,60, xX 240X2或 X2，因此方程 x2Xx 1 0 有实根的概率为p P X2P X620.8.216二、填空题1. X x .2.解：由规范性知 1111115c15 .2c4c8c16c16c163.解：由规范性知 1a( 2) ka12/ 32aa1 .k 132/ 324.解：因为 P X xP X xP Xx F (x)F (x 0) ，所以只有在 F（X）的不连续点（ x=-1,1,2 ）上 PX=x 不为 0, 且 P（X=-1）=F（ -1 ）-F（ -1-0 ）=a，PX=1=F（1）-F （ 1-0 ）=2/3-2a ，PX=2=F（2）-F （

21、2-0 ）=2a+b-2/3, 由规范性知 1=a+2/3-2a+2a+b-2/3 得 a+b=1,又 1/2=PX=2=2a+b-2/3 ，故 a=1/6 ，b=5/6.精彩文档实用标准文案5. 解：由于 X U 1,5 ，所以 X 的概率密度为 f ( x)1 ,1x54，0,其它故 p(x1X x2 )f (x)dxx2 1 dx1 ( x21) .1441( x) 21 ey 26. f (x)22x； f ( y)2 ,y2e,27.解：P2X7 P23X373222.(2)(2.5)(2)(2.5) 1 0.99720.993810.9910p( Xc)p( Xc)p( Xc)1p

22、( Xc)8.解:由(0)1p(Xc)p( X3c3)( c 3) .2222c30c321390.50.50解： FY ( y)PYyP Xyy 11y 4)dxy,(0022故 fY ( y) FY ( y)14(0 y 4) .y三、一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律解：X 可以取值3， ， ，分布律为4 5P( X3)P(一球为号两球为号1 C2213,1,2)10C53P( X4)P(一球为号再在中任取两球)1C3234,1,2,3C5310P( X5)P(一球为 号再在中任取两球1C42

23、65,1,2,3,4)C5310精彩文档实用标准文案也可列为下表X： 3， 4，5P：1,3,6101010四、 设随机变量 X 的分布函数为 FX ( x)0, x1,ln x,1x e, ，1, xe.求（ ）P(X<P0<X3,P(2<X<5；（ ）求概率密度f X(x).12),2 )2解：（ 1）P ( X2)= FX (2)= ln2，P(0< X 3)= F X (3) FX (0)=1，P(2 X5FX(5)FX (2)ln 5ln 2ln 52224（2） f ( x)F '( x)1 ,1 xe,x0, 其它五、设随机变量X 的概率密度

24、f (x) 为x0x1f ( x)2x1x20 其他求 X 的分布函数 F ( x) 。解： F ( x)P( X x)xf (t )dt当时xx,F ( x)0 dt 000xx2当时0 dtt dt0 x 1 , F ( x)2001xx2当时0 dtt dt(2 t) dt 2 x11 x 2 , F ( x)201021x当2时,F ( x)0 dtt dt(2 t) dt0 dt1x102故分布函数为0x0x 20x1F ( x)2x22xx21 112x2精彩文档实用标准文案六、设 K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程 4x 24xK K 2 0 有实根的概率 K 的分布密度为：

25、 f ( K )10K55 00其他要方程有根，就是要K 满足 (4 K) 24×4× (K+2) 0。解不等式，得 K2 时，方程有实根。P(K 2)f ( x) dx51dx0 dx355225七、设随机变量X 在（ ， ）上服从均匀分布0 1（1）求 Y=eX 的分布密度X 的分布密度为：f ( x)10 x10x为其他Y=g ( X) =e X 是单调增函数又X=h ( Y)= lnY ，反函数存在且 =ming(0),g(1)=min(1,e)=1max g(0),g(1)=maxee(1,)=Y 的分布密度为： ( y)f h( y) | h' ( y)

26、 |1 11 y e0yy为其他八、设 X 的概率密度为2xf ( x)20x0 x为其他求 Y=sin X 的概率密度。 FY ( y)= P ( Yy)= P (sin Xy)当y<时： FY(y)=00yPXyPXy 或当 y1时： F() =(sin) =(0arc sinarc0Ysin yX)=arcsin y 2x2dx2x2dxy时： FYy0 arcsin y 当()=11< Y 的概率密度 ( y ) 为：精彩文档实用标准文案y0 时， (y )=F Y (y)' = (0 )' = 00<y<1 时， (y )=F(y)'

27、=arcsin y 2xdx2 xdxY02 arcsin y 2=2 1y 2y时，(y)=F(y)' =(1)= 01Y第三章多维随机变量及其分布一、选择题1. 答案：（ A）解：要使 F ( x)aF1 (x)bF2 ( x) 是某个随机变量的分布函数, 该函数必须满足分布函数 的性质，在这里利用 F() 1这一性质可以得到 aF1( ) bF2 ( ) a b 1 ，只有选型 A 满足条件 .2. 答案：（ A）解：由 P X1X201可知 P X1X201 P X1X200 ，故P X1 1,X21P X11,X21P X11,X21P X11,X210P X11,X21P

28、X11,X21 P X1 1,X21 P X1 1,X 21 0又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：11P X11,X21P X11, X20P X11, X21P X141P X11,X 20411P X11,X 21P X1 1,X 2 0P X1 1,X 21P X14P X11,X 2104精彩文档实用标准文案10P X11,X 20P X10, X20P X11,X 20P X22P X10, X2011,X 2 0P X11,X 2 00P X12故PX1X 2P X11, X21P X11, X21P X10, X20 0.3. 答案：（ D）解：联合分布可以唯一确定边缘分

29、布 ，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量 X 与 Y 是相互独立的，则由 X 与 Y 的边缘分布可以唯一确定 X与 Y的联合分布 .4. 答案：（ A）解：由问题的实际意义可知，随机事件 Xi与 Yj 相互独立，故P Xi, YjP Xi PYj111, i, j1,2,6；C61 C61366611 ； XY Xk,YkP XYP Xk,Y k6k1k1366PX Y1 PXY115 ；66X Y X Y X Y，而事件 X Y 又可以分解为 15 个两两不相容的事件之和，即X Y Xk,Yk1 Xk,Yk2 Xk ,Y6, k1,2,3,4,5故PXY15P XYP XYP

30、 XY151736366.125. 答案：（ B）解：当 (X,Y)N(1,2, 12, 22,)时， X N( 1,12) ，Y N( 2, 22 )，且 X和Y相互独立的充要条件是0 ；单由关于 S 和关于 T 的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S 和 T 的联合分布的 .6. 答案：（ C）解：（方法 1）首先证明一个结论，若T N( ,2) ，则 ST N (,2) . 证精彩文档实用标准文案明过程如下（这里采用分布函数法来求ST 的概率密度函数，也可以直接套用教材 64 页的定理结论（ 5.2 ）式）：由于FS (s) P SsPTsP Ts1P Ts1P Ts 1FT ( s)

31、,1(s)21(s() 2故 f S ( s)fT ( s)(1)fT (s)e22e22, 这表明T 也22服从正态分布，且 STN(,2 ) .所以这里 YN(2, 22) . 再利用结论：若 X1与 X2 相互独立，且Xi N ( i ,i2 ), i1,2 ，则 X1X2N(12 ,1222 ) . 便可得出X YN( 12, 1222)； XYN( 12, 1222) ；X 2Y (X Y) YN( 122,124 22);2X Y X (X Y)N(2 12,4 1222) .（方法 2）我们还可以证明： 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若 Xi N (

32、i ,i2 ), i1,2, n ，则nnnYki Xi N ( kii , ki2i2 )i 1i1i1故X YN( 12, 1222)； XYN( 12, 1222) ；X 2YN( 122,124 22);2X YN(2 12,4 1222) .7. 答案：（ A）解：由于 XN(3 , 1，) Y N(2,1)，所以 ZX3( X3) N (0,1)11，Z2Y 2(Y 2)N (0,1) ，故 Z32Z2 2(Y2)N (0,(2)21) N (0,4) ，1而 ZZ1Z3 ，所以 Z N (0,5) .8. 答案：（ D）解：由联合概率密度函数的规范性知精彩文档实用标准文案4441f (x, y) dxdyCdx sin(xy)dyCcos x cos(x4)dx000.Csin x sin(x)042 1C21