圆锥曲线讲义一

1、课题：小结与复习（一） 教学目的：1 通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它 们之间的区别与联系，2通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是 解析几何的基本方法一一坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思 想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识 .三种曲线的标准方程和图形、性质.做好思路分析，弓I导学生找到解题的落足点 新授课*1课时*3结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育*教学重点： 教学难点： 授课类型： 课时安排： 教 具：多媒体、实物投影仪* 内容分析：?在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习，可以

2、梳理 知识要点，使学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线；同时也可以 对前面所学的各种解析几何的基本方法进行归纳整理.所以本节在全章教学中起着复习、巩固和提高的作用 *椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过 程以及简单的几何性质都存在着巨大的相似之处，也有着一定的区别.而前面只是它节逐个学完了三种曲线，还缺少对它们归类比较，为了提高水平，使同学 们能够完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系*本章介绍使用了较多的思想方法，其中的重点是数形结合的思想，转化与 化归思想，坐标法等，这些都是培养学生解决解析几何问题的基本技能和能力 的基础+解析几何

3、是最终能体现运动与变化、对立与统一的思想观点的内容之一 ，点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材， 我们应该给予充分的利用，达到应有的教学效果本小结与复习可分为二个课时进行教学*第一课时主要讲解课本上内容，即：一、内容提要；二、学习要求和需要注意的问题.第二课时则针对本章的训练重点，讲解例题，进行巩固和提高*教学过程： 一、复习引入：_椭yx平面内到两定点 F1, F2的距离的和为常数（大于F1F ）的动点的轨迹叫椭圆*即MF1平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小）的动点的轨迹叫双标准方 程a,b,c的关系渐近线|MF22a当2 a > 2 c

4、时，轨迹是椭圆，当2 a =2 c时，轨迹是一条线段FiF2当2a < 2c时，轨迹不存在2焦点在x轴上时：笃a2焦点在y轴上时：芯a曲线.即 |MFJ |MF2|2a当2a < 2c时，轨迹是双曲 线当2 a =2 c时，轨迹是两条 射线当2a > 2c时，轨迹不存在2 y b2隹八'、点在x轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点 在哪一坐标轴上a2 c2 b2, a b 0,a 最大，c b, c b, c b2x""2a2y_2ac2点在y轴上时：a2b, a焦点在X y a b 焦点在b2, c a 0b, a bx轴上时:y轴上时:00椭

5、圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以 求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质.1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距 离）的动点的轨迹*22.椭圆的标准方程： 笃a2y2a(a b 0)2x3.椭圆的性质：由椭圆方程笃a0)（1）范围：a x a, b y b，椭圆落在xa,yb组成的矩形中.图象关于原点对称*原点对称性：图象关于y轴对称.图象关于x轴对称.叫椭圆的 对称中心，简称中心.x轴、y轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方 程中直接可以看出它的范围，对称的截距.（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点+椭圆共

6、有四个顶点：A （ a,0）, A2（a,0） , B （0, b）,B2（0,b）*加两焦点Fi（ c,0）, F2（c,0）共有六个特殊点AiA2叫椭圆的长轴，Bi B2叫椭圆的短轴.长分别为2a,2b*a,b分别为椭圆的 长半轴长和短半轴长椭圆的顶点 即为椭圆与对称轴的交点离心率：椭圆焦距与长轴长之比*e - e1（b）20 e 1.a¥ a椭圆形状与e的关系：e 0,c0 ,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在 e 0时的特例*e1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线段Fi F2，此时也可认为圆为椭圆在e 1时的特例*4椭圆的第二定义*： 一动点到定点的距离和

7、它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 *其中定点叫做焦点，定直线叫做准 线，常数e就是离心率*它是椭圆两种不同的定义方式椭圆的第二定义与第一定义是等价的,5.椭圆的准线方程27十X对于二a2 y b21，左准线11 : x2；右准线12 : Xc1,下准线11:2；上准线丨2: yca2焦点到准线的距离 Pa2a22.2cb一 （焦参数）c椭圆的准线方程有两条, 轴对称.这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短6.椭圆的焦半径公式：（左焦半径）r1 a ex0,（右焦半径）其中e是离心率焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:MF1 aMF2ey0（其中ey。F

8、1,F2分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 -X a cos7*椭圆的参数方程（为参数）*y bsi n2a这两个定点叫做双曲线焦点在x轴上时双曲线的标准方程为:2X2a2詁1（a0, b 0）；2焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：a1（a 0,b 0）2（2） a,b,c有关系式c2 2 、 a b成立,0,b 0,c0*其中a与b的大小关系:可以为a b, ab,a b*10*焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字2 2母X、y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦

9、点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即X2项的系数是正的，那么焦点在X轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在11.双曲线的几何性质:（1）范围、对称性X2由标准方程令a2与 1 ,从横的方向来看，直线X=-a,X=a之间没有图象, b2从纵的方向来看，随着上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线的中心*（2）顶点X的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向.双曲线不封闭，但仍称其对称中心为8 .双曲线的定义： 平面内到两定点 F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线*即MFiMF2的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 *在同样的差下，两定点间距

10、离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（ 两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭 窄（ 两条射线）.双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9.双曲线的标准方程及特点：x轴上和焦点y轴上两种:（1）双曲线的标准方程有焦点在顶点：A1（a,0）,A2a,0，特殊点：B1（0, b）, B2 0, b实轴：A,A2长为2a, a 叫做半实轴长”虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长*双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线2过双曲线41的渐近线yb2（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比2c2a-，叫做双曲线的离心率*范围：e 1a双曲线形状与

11、 e的关系：kJc2 a21 Je21，e 越大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 它的开口就越阔 .即渐近线的斜率的绝对值就大， 此可知，双曲线的离心率越大，12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, 双曲线*等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为:这样的双曲线叫做等轴y X ；（ 2）渐近线互相垂直；（3）离心率e13.共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为kbx（k 0），那么此双曲ka线方程就一定是:X22y(kb)21(k0）或写成2x2a14.共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴， 线的共轭双曲线*区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）

12、双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 法：这样得到的双曲线称为原双曲c相同*共用一对渐近线.确定双曲线的共轭双曲线的方将1变为-1双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线 I的距离之比为常数定直C（c a 0）的点的轨迹是双曲线*其中，定点叫做双曲线的焦点， a线叫做双曲线的准线-常数e是双曲线的离心率.16.双曲线的准线方程：2 2对于 务 每 1来说，相对于左焦点F1（ c,0）对应着左准线l1：xa b2 a 相对于右焦点F2（c,0）对应着右准线l2 :x 一 c焦点到准线的距离 Pb2（也叫焦参数）c2对于a2x 1来说，相对于上焦点 Fi（0, c）对应着上准线li : yba

13、2相对于下焦点F2（0,c）对应着下准线l2: y c17双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点Fi,F2的连线段，叫做双曲线的焦半 径*焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:MF1a ex)mf2a exo焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:MF1a eyoMF2a eyo（其中Fi,F2分另惺双曲线的下上焦点）18.双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左支交于两点时:过右焦点与右支交于两点时:当双曲线焦点在y轴上时,过左焦点与左支交于两点时:过右焦点与右支交于两点时:aB2ae(X1X2)AB2ae(X1X2)AB2a

14、e(y1AB2ae(y119.双曲线的通径:2b2定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.d a20.抛物线定义：平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线*定 点F叫做抛物线的 焦点，定直线I叫做抛物线的21 准线*(1) y22p x(p0）,焦点：（号,0），准线I :x22P y(P0）,焦点：（0,号），准线I :y22P x( p0）,焦点：（-P ,0），准线x22P y(p0）,焦点：（0,吕），准线抛物线的准线方程:i:l:P*2_P2卫2P2（3）准线都与对称轴垂相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴； 垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 绝对

15、值的1，即空卫442不同点：（1）图形关于X轴对称时，X为一次项，丫为二次项，方程右端为直,'它们到原点的距离都等于一次项系数22px、左端为y ；图形关于丫轴对称时，X为二次项，丫为一次项，方程右端为2py，左端为X2* （2）开口方向在X轴（或 Y轴）正向时，焦点在 X轴Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 X轴（或丫轴）负半轴时，方程右端取负号（或点在22 抛物线的几何性质 （1）范围X轴（或丫轴）负向时，焦因为p>0,由方程y2 2px p 0可知,这条抛物线上的点M的坐标（X，y）满足不等式x>0,所以这条抛物线在 y轴的右侧；当X的值增大时，|y|也 增大，

16、这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.（2）对称性2以y代y，方程y 2 px p 0不变，所以这条抛物线关于 x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程y2 2px P 0中，当y=0时，x=0,因此抛物线y2 2px P 0的顶点就是坐标原点.（4）离心率抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心 率，用e表示.由抛物线的定义可知，23抛物线的焦半径公式：抛物线2p x(pPFX0卫20),Xo抛物线 y22px(p 0),PFX0号2Xo抛物线2P y(pPFP y0 20),P.2yo抛物线X22py（p24.直线与抛物线：0),PFy。f卫2y。（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相目离（无公共点）；相切（一个公共点）将l : y kx b代入C:Ax2Cy2DxEy F0，消去y，得到关于X的二次方程ax2bxc 0.(*)若0，相交；0，相切；0，相离*综上，得:联立kX b，得关于2pxX的方程2axbx c 000，则0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点） 0，无公共点（2）相交弦长：（二次项系数为零），唯个公共点（交点）（相离）-弦长公式：dlal(3)焦点弦公式:抛物线2px( p0),AB(X