圆锥曲线解题技巧(附例题)汇编

1、学习必备欢迎下载圆锥曲线解题技巧及例题汇编1、定义法(1 )椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中,一2 =2a，当ri>r2时，注意2的最小值为c-a :第二定义中，ri=edi，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解

2、决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(X1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(X0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生 弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有:(1)2 2刍十爲=1(a >b A 0)与直线相交于A、a b设弦AB中点为M(Xo,yo)，则有-2 +_y 0

3、。a b(2)I相交于A、B设弦AB2 2笃-写 =1(a >0,b >0)与直线I相交于 a bfnZpx (p>0)与直线B，设弦AB中点为M(Xo,yo)则有 笃器k = 0 a b中点为 M(X0,y0),则有 2y0k=2p,即 yok=p.例1、(1)抛物线 C:y2=4x【典型例题】上一点 P到点A(3,4丿2 )与到准线的距离和最小，则点 P的坐标为2(2)抛物线C: y =4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF,则PH = PF，因而易发现,当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2) B在

4、抛物线内，如图，作 QR丄I交于R，则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。yIH e'F解：(1) (2, J2 )连PF,当A、P、F三点共线时,AP + PHI4压一 0=AP + PF最小，此时AF的方程为y =O(x-1)'3-1即 y=2 72 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,22 ),(注:另一交点为(丄厂J2)，它为直线AF与抛物线的另一交点,2舍去)1(2) ( -,1 )4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时，|BQ+2耳=|BQ+|QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入 y2=4x 得 x=-,4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”

5、互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆 d +L=1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。43(1)PA PF I的最小值为A(2)P円 +2|PF的最小值为分析:PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF'或准线作出来考虑问题。解：(1) 4-J5设另一焦点为F '，贝y F'(-1,0)连aF pF'pA +|p F| =1 pA +2aI PF =2a-(| PFj|P A)> 2a-AFf =4-75当P是F 'A的延长线与椭圆的交点时，|PA + |PF|取得最小值为4-J5。(2) 3作出右准线I，作PH

6、丄I交于H，因a2=4, b2=3 , c2=1 ,1a=2, c=1, e=,2 PF P A +2| PF| =1 PA +| PH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为2a一 Xac= 4-1=3例3、动圆M与圆C1：(x+1) +y =36内切，与圆C2：(x-1) +y =4外切,求圆心M分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线(如图中的 A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC = MD )。解：如图,MC AC| -|mA =MB - DB 即6 - MA = MB -2的轨迹方程。x MA + MB =

7、8(*)学习必备欢迎下载点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1 , b2=15轨迹方程为2+ Z=115点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出J(x+1)2+ y2 + J(x-1)2 +y2 =4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!3 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 2? sinA,求点 A 的轨迹方程。5分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R (R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=

8、35-2RSinA AB3-AC =3BC5即卜B| -|Aq =6(*)点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) 2a=6, 2c=10- a=3,c=5,b=4所求轨迹方程为2 2X y .-1(x>3)916点评:要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。A(X1,x12), B(X2, X22)，又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出yo关于Xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。分析:(1 )可直接利用抛物线设点，如设(2) M到X轴的距离是一种“点线

9、距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。2 2解法一： 设 A(X1, xi ), B(x2, X2), AB 中点 M(xo, yo)(X1 -X2)2 +(X12 -x2)2 =9 则X1 + X2 =2xox12 +x； =2yo由得(Xi-X2)1+(x 1+X2)=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(x 1+X2)2=9由、得 2x 1 x2=(2x o)2-2yo =4x o2-2y o代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9- 4y0 -4x11+4x04y0 =4x1 +-9=(4x24x04x01当 4x02+1=3 即 x0法二：如图，2mm

10、 2 M 到y。725/2 5±Y 时，(y0)min此时 M 仕亍,-)AA2 + BB2 = AF + BF >A目=33>-,即 MM2>5 ,当AB经过焦点F时取得最小值。45轴的最短距离为-4yM /BA/'、A11B111111i111AM点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消Xi, X2,从而形成y。关于X0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M到X轴的距离转化为它到准线的距1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、C、D、设 f(m)= I AB| -|CD|,(1)求 f(m),( 2)

11、求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统” ，A在准线上，B在椭圆上，同样 C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到X轴上，立即可得离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当 三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验 证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。B 一 Xa) -(Xd - Xc )|f (m) = (Xb -Xa) J2 - (Xd -Xci'y c-ci-1dF10 F2XB-A

12、= P2(Xb 十忑)(Xa +Xd) = J2(Xb +Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2m m 1解：(1)椭圆 =1 中，a2=m, b2=m-1 , c2=1，左焦点 F1(-1,0)则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x +m(x+1) -m +m=02 2 (2m-1)x +2mx+2m-m =02 im设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 X1 +X2=-(2 <m <5)2m 1f (m) = AB - CD| = J2(Xb -Xa) -(Xd -Xc)= >/2(Xi +X2)-(Xa

13、+Xc) = 42X1 +X22m 1(2)L 2m 1 +1 f(m)*22m ''2m1当m=5 时,f(m)min -12m=2 时,f(m)max点评：此题因最终需求XB +xc，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC 中点为 M(xo,yo),通过将 B、C坐标代入作差，得X+，k =0 ,将yo=xo+1 , k=1代入得呂3=0 ,m m-1m丄2mX0 =，可见 Xb +Xc = 2m T2m 1当然，解本题的关键在于对f (m) = AB - CD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f (m) = Xb +xc是解此题的要点。学习必备欢迎下载【同步练习】

14、221、已知 i，2是双曲线=1的左、右焦点，过Fi作直线交双曲线左支于点a、B，若 AB = ABF 2的周长为(A、4aB、 4a+mC、 4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小1,贝U P点的轨迹方程是a、y2=-16x2 CC=-32xc2C、 y =16xr2 ccD、y =32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且AB A AC，点B、C的坐标分别为(-1 , 0),(1 , 0)，则顶点a的轨迹方程是(2 2x-+ 432 2乞+ jx>0)432 2xy+匚=1(x <0)432 2go且円)过原

15、点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是a、(x-2)2 +y2B、(x+2)2+y2x2 +(y -2)29才)D、 x2 +(y +丄)229”-1)2-=1上一点16M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是x2已知双曲线9抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2, 0)，则弦AB中点的轨迹方程是2 2&过双曲线x -y =4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x -y =1的交点个数只有一个，则 k=2 210、设点P是椭圆 + =1上的动点，F1, F2

16、是椭圆的两个焦点，求 sin / F1PF2的最大值。25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线I与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M圆方程。2x12、已知直线l和双曲线 a2-当=1(a ：>0,b >0)及其渐近线的交点从左到右依次为 bA、B、C、D O求证:AB| =|CD o为(-2 , 1), I AB =4j3,求直线I的方程和椭【参考答案】1、CAF2 - AFt =2a, BF2 - BF = 2a， af2 +bf2-AB =4a, AF2 + BF2 + AB=4a +2m,选 C2、C点P

17、到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为 y2=i6x，选C/ AB門 AC=2咒2，且AB AC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y丰0，故选D O设中心为(X, y),则另一焦点为(2x-1 , 2y),则原点到两焦点距离和为4得1 + J(2x 1)2中(2y)2 = 4 ,- (x-1)2 +y2 =924又J(x-1)2 +y2 <2(x-1)2+y2<4 ，由，得XM -1,选 A295、 一3学习必备欢迎下载799295左准线为x=- , M到左准线距离为d =4 - 则M到左焦点的距离为 ed =-5553295

18、29-31 / 1、XpS/设弦为 AB , A(x 1, yj, B(x2, y2)AB 中点为(x, y)，则 y1=2x1 , y2=2x2 , y1-y2=2(x 1-X2 )-= 2(x1 +X2) 2=2 2x , X = !X1 X 22111将X = 代入y=2x2得y = ，轨迹方程是X =-2 2 27、y2=x+2(x>2)1(y>2)设 A(Xi, yi).B(X2, 丫2), AB 中点 M(x , y)，则2 c2y1 =2X1,722= 2x2, y12y1 y 2-y2 =2(x1 -X2), (y1 +y2)= 2X1 -X2 kAB = kiMP

19、y -0"X +2y 2 y = 2，即 y2=x+2又弦中点在已知抛物线内X +2P,即 y <2x，即 x+2<2x , x>2a2 28、4=b2 =4, C2 =8,c = 2 V2，令 X = 2 J2 代入方程得 8-y2=4y2=4，y= ± 2,弦长为 4 9、±血或± 1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=02 2 (1-k2)x2-2kx-2=0 F k HO得 4k2+8(1-k2)=0, k=±72 2=0 1-k2=0 得 k= ± 122210、解：a =2

20、5 , b =9 , c =16设 Fi、F2 为左、右焦点，贝y Fi(-4 , 0)F2(4 , 0)设PR-ri，| PFzIfNFiPF?一FiyP-：-F2则1卄2 =20卩12 +22 -212 cosG =(2c)222-得 2r1r2(1+cos 0 )=4b2 2 rir2的最大值为a24b 2b“ 2叩2叩2. 1+cOS 0 = = /1+2色2寸叩22b218 1+COS 0的最小值为一，即1+cos 0 > a25COS 0 二一257兀0 <0 <兀-arccos则当9 =时，sin0取值得最大值1,252即sin / Fi PF2的最大值为1。2X11、设椭圆方程为a=