圆锥曲线专题

1、全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)圆锥曲线专题1若曲线ax2 + by2= 1为焦点在x轴上的椭圆，则实数 a, b满足（八2 I 2A. a >b1 1B. a<bD. 0<b<aC. 0<a<b 答案 C解析由 ax2 + by2= 1,2 2 得 Y + y = 1,a b因为焦点在x轴上，所以11a>b>0,所以0<a<b.2 2x y2.已知椭圆-+話=1（0< b<2）的左，右焦点分别为F1, F2,过F1的直线I交椭圆于 A B两点，若I BF2| + |AF2|的最大值为5，则b的值是（）A. 1

2、B.乖 C. 3 D.书答案D解祈 由椭圆的方程，可知长半轴长仪=2§由椭圆的定义可知阿1 +汁超|=也=為所以包1=8-如1 +凹邹由椭圆的性质可知过椭圆焦点.的弦中，通径最短，即誓可求得护=兀即*=仮3已知直线AB与抛物线y2= 2x交于A, B两点，M是AB的中点，C是抛物线上的点，且使得 CA- CBX最小值，抛物线在点 C处的切线为l，则（）A. CML ABB.CML CBC. CML CAD.CML l答案 D 解析如图所示,321rCA- 6B= (AM- CM (CM =gM- (bMtam CMhAm- BMh CM- ab,4当直线AB 定时，当且仅当iCM取得

3、最小值时，使得CA- CBX最小值，只有当CML I时，I CM取得最小值,故选D.4 .已知抛物线y2= 2px( p>0) , ABC的三个顶点都在抛物线上，0为坐标原点，设 ABC三条边AB BCAC的中点分别为 M N, Q且M N, Q的纵坐标分别为 yi, y2, y 若直线AB, BC AC的斜率之和为一1,1 1 1则一+ +的值为yi y2 y3B.- pP1D环A.- 12p1C.-P答案 B解析设A(Xa, yA),B(xb, yB) , C(xc, yc),jyA= 2pxA,则 $yB= 2pXb,2 oyc= 2p xc,三个式子两两相减得fyA+ yByA-

4、yyA+ ycyA-yc=2pXa- XbyB+ ycyB-yc=2p=2pXa- XcXb- XcpyiyA - yB= 2pXa-Xb,即 f 2y3yA - yc= 2pXa-Xc,by?yB - yc= 2pxb-xc,P = g = kAB,yixa xb即< y2=xB=kBC，PyA yC= kAC,Xa Xc'y31 1 1 1 所以 y;+y;+y;=p.2 25 .若点0和点F分别为椭圆7+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则6P吊的最大值为()A. 2B. 3C. 6D. 8 答案 C解析 由题意得巩一叩)设点巩尬肿)则 y8=3(l-X-2<

5、;xo).+ 1)+ It'SjA +jco + 3(1 (0 + 2)2 + 2*2 2x y 2又因为一 2<xo<2,所以当卞0=2时，莎丽5得最大值，最大值为®故选C6.已知双曲线C a2b2 = 1(a>0, b>0)的离心率为宀A, B为左，右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点0为坐标原点，若直线PAPB,PO的斜率分别为ki,k2,k3,记m kikzks,贝Um的取值范围为答案(0,2 /2)解析 双曲线C：2 2x y_a b= 1( a>0, b>0)的离心率为羽，二 e=2=3,二 b=72a,设Rx, y)

6、 ,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,2 2x y二 f- b2= 1,且 x>0, y>0, A, B为双曲线C的左,右顶点，点 0为坐标原点，PA PB PO的斜率分别为ki, k2, k3,二 kik2=汽=2，k3= y>0,又双曲线的渐近线为y =± Q2x,二 0<k3<眾，二 0<m= kik2k3<2/2.2 27 已知A(1,2),耳1,2)，动点P满足AP1 BP若双曲线x y= 1.( a>0, b>0)的渐近线与动点 P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 答案 (1,2) 解析 设P(x，y)，

7、由题设条件, 得动点 P 的轨迹为(X 1)( x + 1) + (y 2)( y 2) = 0, 即X2+ (y 2)2= 1,它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.x2 y2b又双曲线02 b= 1(a>0, b>0)的渐近线方程为 y=±孑乂，即bx± ay= 0, 由题意，可得 J亍 2>1，即2a>1,pa + b cc所以e=Y2,a又 e>1，故 1<e<2.8 .在直线y = 2上任取一点Q过Q作抛物线x2 = 4y的切线，切点分别为A、B则直线AB恒过定点 答案 (0,2)解析 设 曲 劄Xxi.心Eg 型 抛物童

8、戋方程变为y=护则戶芬 贝恠点鼻处的切线方程为丁 -肿=务0 -血】，化简得3尸guc-冲，同理在点E处的切线方程为尸屛又点凶，-习的坐标满足这两个方程，代入得：-2二討一肿，则说明Mg 心处打堆)都满足方程-2=技一划 即直线心的方程为$-8扣，因此直线血恒过走点g.已知椭圆C：2 + b2= 1(a>b>0)的离心率为 净A(a,0),B(0 ,b),C(0,0), OAB勺面积为1.(1)求椭圆C的方程;(1)设P是椭圆C上一点，直线 PA与y轴交于点 M直线PB与x轴交于点N求证：|AN BM为定值.c y31解 由已知a=y，2ab= 1.又 a = b + c，解得 a

9、= 2,2x二椭圆方程为4 + y2= 1.b= 1, c =羽.证明由知，A(2,0),B(0,1).2设椭圆上一点 F(xo, yo)，则¥ + y0= 1.yo当xoM0时，直线PA方程为y= 厂;(X2),Xo 2-2yo令 x= 0 得 yM= xxo2从而 |BM = |1 yM = h + Xo 2j.直线PB方程为y =专X + 1.令 y=0 得 xN= I AN = |2 Xn| =2 +Xo2yoIBM =2 + yo 11 + xo 2yo 1Ian Xo|xo+ 2yo 2Xo + 2yo 2 ' Xo 2yo 1X2+ 4y0 + 4xoyo 4x

10、o 8yo + 4xoyo xo 2yo + 2|4xoyo 4xo 8yo+ 8I Xoyo Xo 2yo + 2=4.当 Xo= 0 时，yo= 1, | BM = 2, | AN = 2, I AN 丨 BM = 4.故I AN 丨BM为定值.2 210.已知椭圆M a+ 3 = 1(a>0)的一个焦点为R - hO)，左，右顶点分别为A B经过点F的直线l与椭圆M交于C, D两点.(1)求椭圆方程; 当直线I的倾斜角为45°时，求线段 CD的长; 记 ABDW ABC的面积分别为 S和S2，求| S S2|的最大值.解 因为F( 1,O)为椭圆的焦点,所以c = 1,又

11、b2= 3,所以a2= 4,2 2所以椭圆方程为x+七=1. 因为直线的倾斜角为 45 °,所以直线的斜率为1,所以直线方程为 y= x + 1, 2ix+J1和椭圆方程联立03ly=x+1,消掉 y，得到 7x2 + 8x 8 = O, 8 8所以 = 288>0, X1 + X2= 7, X1X2 = 7, 所以 | CD| = p 1 + k21 X1 X2| = I4.当直线I无斜率时，直线方程为x= 1, 此时 D( 1, 2), q 1, I), ABD ABC面积相等，I S S2| = 0.当直线I斜率存在(显然kM0)时，设C(xi, yi) , D(x2,

12、y2)，设直线方程为y = k(x + 1)( k丰0),八 2|X-+y-= 1和椭圆方程联立i43y = k X +1 ,消掉 y，得(I + 4k2)X2 + 8k2x + 4k2 12= 0.8k2显然 >0,方程有根，且 X1+ X2= _-p,I+ 4k24k 12X1X2=.此时 IS S2I = 2| y2| |y1| = 2|y2 + y1|=2| k(X2 +1) + k(xi +1)|2.=2| k(X2 + X1)+ 2k| = I?4k：因为kM0,上式=丁2<而 + 4|k|2=鼎=5( k=±乎时等号成立)，而 4|k| 所以|S1 S2|的

13、最大值为73.11.如图所示，抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),A：X1,y1),B(X2,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; 当PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1 y2的值及直线 AB的斜率.解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2= 2px(p>0).因为点P(1,2)在抛物线上，所以22= 2pX1,解得p= 2.故所求抛物线的方程是y2= 4X，准线方程是x=1.(2)设直线PA的斜率为kpA,直线PB的斜率为kpB, 则 kPA=斗(XiM 1) , kPB= j(X2工 1),Xi 1'八X2 1因为PA与

14、 PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kpA= kpB.由A：xi, yi)，0X2, y2)均在抛物线上，得2yi= 4xi,y2= 4X2, 所以 一 =1,所以 yi+ 2= (y2+ 2).1y2-14y2-1 所以 yi+ y2=- 4.由一得，yi y2 = 4(X1 X2),yi y24所以 kAB= X；= 1(Xi*X2).3R1 ,-)在椭圆 E上，且 I PFI + IPRI = 4.2 2X y12.已知Fi, F2为椭圆E： -+古=1(a>b>0)的左、右焦点，点a b(1)求椭圆E的方程;过Fi的直线I 1, I 2分别交椭圆E于A, C和B, D,且I

15、1丄I 2,1 1问是否存在常数 入，使得盒,入，篙；成| AC | BD等差数列？若存在，求出 入的值，若不存在，请说明理由.解析： I PF| + I P冋=4,2a= 4, a= 2.2 2X y椭圆 E: - +吉=1.4 b32将R1 , 2)代入可得b = 3,2 2椭圆E的方程为牛+ 3 =(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时,11117亠=丰一=；I AC 十丨 BD = 3十 4= 12 ； 当AC的斜率k存在且kM0时，AC的方程为y = k(x + 1),2 2代入椭圆方程X +卷=1,并化简得(3 + 4k2)X2 + 8k2X + 4k2 12= 0.设 A：Xi, yi) , CX2, y2),-8k24k2 12则 X1 + X2= 3W, x