多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

1、多面体外接球、内切球半径常见的 5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体， 这个球称为多面体的外接球 .有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考 考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识， 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为-,底面周长为3,则这个球的体积为.8解设正六棱柱的底面边长为X，咼为h，则有 986

2、x 3,43 2.x h,41x 2,h 43.正六棱柱的底面圆的半径丄，球心到底面的距离2逅外接球的半径2d21. V 球3小结本题是运用公式R22 2r d求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式例2积是A. 16多面体几何性质法已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为B. 20C.24D.解 设正四棱柱的底面边长为外接球的半径为4，体积为32R，则有4x216,则这个球的表面16，解得x 2. 2R 屉 22422晶,R屆. 这个球的表面积是24 R 24 .选 C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径” 补形法这一性质来求解的.例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且

3、侧棱长均为J3，则其外接球的表面积是解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直,把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球设其外接球的半径为 R，则有2R 2J3 29. R2故其外接球的表面积 S 4 R29 .C,则就a、b、小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直且其长度分别为径.设其外接球的半径为 R，则有2R Ja2 b2 c2寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 罷，点S、A B、C、D 都在同一球面上，则此球的体积为.解 设正四棱锥的

4、底面中心为0i，外接球的球心为 0，如图3所示.由球的截面的性质，可得 001 平面ABCD .又S0i 平面ABCD，球心0必在SO所在的直线上.C ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就 是外接球的半径.在 ASC 中，由 SA SCAC 2，得 SA2 SC2AC2. ASC是以AC为斜边的Rt .AC4- 1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球 .23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截 面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，

5、从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4,BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125125A. B. C. 1296D.125解 设矩形对角线的交点为 0，则由矩形对角线互相平分，可知0A 0B 0C 0D. 点0到四面体的四个顶点 A、B、C、D的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心， 如图2 所示.外接球的半543 125-.故V球一R .选C.236出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解径R 0AC【例题】：已知在三棱锥

6、A BCD中，AD 面ABC， BAC 120，AB ADAC 2，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系由平面知识得设球心坐标为0(x4限A0x2 y2 z2 (x 2)2 y2 z2C( 1,3,0)B0 C0DBx2公式知(z 2)2空间两点间距解得 x 1 y1所以半径为R(f)2 12【结论】：空间两点间距离公式:PQ V(x1(y1 y2)2 (z1 Z2)2径。四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点, 根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半径为孕。内切球的半径正方体的内切球:设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；

7、（3）与棱相切的球半（1 ）截面图为正方形 EFGH的内切圆，得R a2（2）与正方体各棱相切的球： 球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图4作截巧 棱 球 合 正 的面图，圆0为正方形EFGH的外接圆，易得 R正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上,V2如图A105,以对角面AAi作截面造 角 解 柱 的 问 棱 外图得，圆0为矩形AA1C1C的外接圆，易得CC1|正与组题柱接底面中心及底面一顶点构球，其球心定在上下底面中心连线的中点处， 由球心、 成的直角三角形便可得球半径。例题：已知底面边长为 a正三棱柱 ABC A1B1C1的六个顶点在球 01上，又知球02与此正三棱柱的5个

8、面都相切，求球 Oj与球02的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6，由题意得两球心 0i、O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱12RiS1 ： S2R12 : R225:1，Vi : V2二棱锥的内切、外接球问题4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图,通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为对称性知，点 0也是外接球的球心.设内切球半径为r，外接球半径为 R .Vs2/口 CV6a r ,得R a ,34a .由图形的在 Rt BEO 中，B02 BE2 E02，即 R2得R 3r【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体