倒立摆研究报告DOC

1、基于 LQR控制的二级倒立摆系统研究者：牛 娟 031210308王晨琳 031210307王鹤彬 031210312院：自动化指导老师：王晶、陆宁云摘要首先简要介 其次对二级倒立摆MATLAB进行了仿倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论 研究的典型实验平台。 本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。 绍了倒立摆以及倒立摆的几种常见控制方法， 着重介绍了最优控制理论， 系统进行了数学建模，最后对线性二次型最优控制原理进行了分析并使用 真。 关键词：二级倒立摆，最优控制目录绪论1.1、倒立摆系统简介1.2、倒立摆系统的控制算法1.3、小结二、直线

2、倒立摆的建模2.1、直线二级倒立摆的建模2.2、直线二级倒立摆的定性分析三、基于MATLAB的LQR仿真3.1、最优控制（LQR简介3.2、线性二次型最有调节器原理3.3、MATLAB仿真103.4、SIMULINK仿真11四、结束语134.1、小结134.2、未解决问题展望13五、附录13、绪论1.1 、倒立摆系统简介某种控制理论倒立摆倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论 研究的典型实验平台。 许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、 可控性和系统抗干扰能力等 等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。 在控制理论发展的过程中， 的正确性及可行性需要通过

3、设计一个控制器去控制一个典型的控制对象去加以验证。 系统正是这样一种比较典型的控制对象。倒立摆的最简单的倒立摆可由一个可在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链组成。 种类繁多，分类方法也多种多样：按结构来分有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆；按 级数来分有一级摆， 二级摆，三级摆乃至更高级摆；按运动轨道来分有水平轨道倒立摆，倾 斜轨道倒立摆；按控制电机数目来分有单电机倒立摆，多电机倒立摆。本文所研究的是直线二级倒立摆系统。 正因为倒立摆是一个复杂的多变量、 高度非线性、 强耦合和快速运动的不稳定的系统，必须采取有效的控制方法才能使其稳定在平衡位置附 近。倒立摆的控制过程能有效地反映许多控制中

4、的关键问题， 如系统的非线性问题， 鲁棒性 问题， 跟踪问题等等。因此，对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论意义。倒立摆的研究 也具有深厚的工程背景。 任何重心在上， 支点在下的控制问题都可近似化为一种倒立摆模型。 例如， 火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制， 飞机着陆时的稳定控制， 机器人 行走过程中的平衡控制， 各类伺服云台的稳定控制等等。 因此对倒立摆的研究也具有重要的 应用价值。1.2 、倒立摆系统的控制算法从上世纪五十年代起，国外科学家开始了对倒立摆系统的研究。 1966 年 Schaefer 和 cannon 就应用 Bang Bang 控制理论， 将一个曲轴稳定于倒置位

5、置， 实现了单级倒立摆的 稳定控制。 此后， 各国科学家提出了各种不同的控制方法实现对倒立摆的控制。 早期的倒立 摆控制大多采用状态反馈， 随着智能控制理论的发展， 人们逐渐将模糊控制算法、 神经网络 理论等智能控制理论用于控制倒立摆。目前，倒立摆常见的控制方法有如下几种：(1) 经典控制理论的方法一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入两输出的非最小相位系 统，提供了用经典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法。 根据对系统的力学分析， 用牛顿第二定律，建立倒立摆非线性的运动方程，并进行线性化，拉氏变换，获得传递 函数，从而得到零、极点分布情况，使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器。为此， 引入

6、适当的反馈，使得闭环系统特征方程的根都位于左平面上。由于经典控制理论本身 的局限性，只能用来控制一级倒立摆，于复杂的二级、三级倒立摆却无能为力。(2) 现代理论控制方法用现代控制理论方法的前提是倒立摆在平衡点附近，偏移小，系统可 以近似用线性模型来描述。 将倒立摆系统的非线性化的模型在系统平衡点附近进行近似 线性化处理得到线性化的模型，然后再利用线性系统控制器设计方法得到控制器。用这 类控制方法对于一、二级倒立摆进行稳定控制，可以得到较好的效果，但对于三级及三 级以上的倒立摆系统，有很大局限性。现代控制的典型方法有：状态反馈控制、LQR 控制算法等。(3) 神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线

7、性关系， 能够学习与适应严重不确定性的系统 的动态特性，所有定量与定性的信息都等势分布贮存在网络内的各种神经元，故有很强 的鲁棒性和容错性。 但神经网络控制方法的局限性在于缺乏一种专门适合于控制问题的 动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指 导性原则。神经网络的权系数常采用反向传播算法来学习， BP 算法是沿着梯度下降来 指导搜索，易于陷入局部极小值点，且求解精度不高。(4) 模糊控制理论是智能控制中常用的一种算法，其产生于二十世纪六十年代，是美国加利 福尼亚 U.C.Berkkley 学校的自动控制理论专家扎德教授首先提出的， 主要是为了克服过 程本身的

8、不确定性、不精确性。因此在处理复杂系统的大时滞、时变及非线性方面显示 出了极大的优越性。经典的模糊控制器利用模糊集合理论，其设计不依靠对象精确数学 模型。模糊控制的方法对一级、二级倒立摆有较好的控制效果。多级倒立摆是一个多变 量系统，一般采用多个模糊控制器来实现。但这样的控制方法，控制器多，控制规则复 杂，可调参数也多，实现困难。1.3、小结本文主要研究二级倒立摆的数学模型的建立与分析， 个问题进行了论述。(1)对倒立摆系统进行 LQR仿真。就以下几(2)(3)(4)二级倒立摆的数学模型的建立与分析。在建模部分，首先采用拉格朗日方程推导数学模 型，对系统的可控性可观性进行分析。二级倒立摆的控制

9、原理及方法的研究。 本文主要研究用线性二次型最优控制对系统的稳 定性进行控制。利用 Matlab 进行仿真，分析仿真结果。 对论文所作的工作进行总结，并提出该研究课题未来可能的发展方向。直线倒立摆的建模2.1 、直线二级倒立摆的建模并在平衡位置附近进行然后应用线性系统相本章利用拉格朗日方程方法建立了直线二级倒立摆系统的微分方程， 线性化处理， 推导出两种直线二级倒立摆系统的状态方程和输出方程， 关理论对直线二级倒立摆系统进行了定性分析。为了数学模型上的推导和处理问题方便， 们忽略了系统的一些次要因素， 具体可表示为以下 几个假设：1、2、3、4、摆杆 1、 2都是在运动中不变形的刚体，没有在与

10、滑轨成垂直方向上的前后运动 带轮与传动带之间无相对滑动，动带无伸长现象 忽略导轨与车轮之间的摩擦，摩擦阻力等假设杆的质心在均质杆的中点 所采用的系统参数如下表：m0小车质量：1.32kgm1摆杆1质量:0.06kgl1摆杆1转动中心到质心的距离:100mmm2摆杆2质量:0.13kgl2摆杆2转动中心到质心的距离:250mmm3质量块质量:0.27kgF作用在小车上的加速度91摆杆1和垂直方向夹角92摆杆2和垂直方向夹角利用拉格朗日方程推倒运动学方程：L =T -V小车的动能:To1 -m0X杆1的动能:TiJm1V12 + 1j/2 2杆2的动能:T2其中L为拉格朗日算子，T为系统动能，V为

11、系统的势能连接块的动能:系统的总动能:T =T0 +Ti +丁2 壮系统的势能：V =m1 gl1 co<2m3gl1 co<(2gl1 co<l2 gco2)m2/2*2FT2其中：w =7x1 +y1、V2 =Vx2 +y2P2*2、V3 = Vx3 + yJ1 =1/ 3口1 h、J2 =1/ 3m 212x, =x +14nq、 Tcos®X2=x+2l1sinq+bs丽2、y2=2l1 cosq +I2 co2X3 =x + 2I1 sin 日 1、y3 =2l1 cosQF=u =Xd宀-根据拉格朗日定理已知：_°L=udxexd(毛-昱=0C

12、01dxd(毛池dx得出:L(m0 + +m2 + m3)x +(mJ +2 m2l1 + 2+ m 2,2 =uL_U2 2 2(m1 l<H2m2l<H2m3l1)(4/ 3m 111 +4m2l1 +4m3l1L2 -m2l22m2l ,2 81 +4/ 3m2l2 82 = m2l2g?2在角度很小的情况下进行线性化:sinT止日cos日止1)91 + 2m2l ,2 日 2 = (mj h + 2 m2l1 + 2 m3l Jg 6直线二级倒立摆系统表示为状态空间方程形式为*日1日1 日2*x0.01340.00210.0860.00560.003510.0325 丿x日

13、2*x/ 、y1y2=2.2、直线二级倒立摆的定性分析在建立系统的数学模型后，需要对系统的特性进行进一步的分析，主要的是系统的稳定性、 能控性、能观性。2.2.1、能控性：考虑连续定常系统*(1.1)X = AX+ BU若存在无约束的分段连续控制函数u (t )，在有限时间间隔t壬t0,tf 内，能使系统从任意状态x(t0)转移至Xtf)-0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。定理1 (能控性判据)：对系统式-n 1.A b(1.1)，其状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵S = b Ab 川的秩为n。等价于S的行列式的值不等于零。'01.00000000、00.08600

14、0.00120000.032500.0006001.0000000000.086000.001200011 0.032500.0006000丿该系统的能控性矩阵为：S -矩阵的秩为：rank( Sc)=62.2.2、能观性：对于系统式(1.1)，若已知输入")及有限时间间隔to, tf内测量到的输出y(t)，能唯一确定初始状态 x(t0)，则称系统是完全能观测的，简称系统能观测。定理2 (能观性判据)：对于多输入多输出连续定常系统*X = AX+ BUY = C X + DU其状态完全能观测的充分必要条件是能观测性矩阵CA的秩为n。该系统的能观性矩阵为:0Qo =矩阵的秩为:0.01

15、340.00560.00020.0001rank( SO )=60.00210.00350.01340.00560.00020.00010.00210.003500.00000.0000本文研究的系统既能控又能观。2.2.3、李式意义下的稳定性:域s( 6)内，即初始状态满足设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心，半径为6的闭球x0 - xe| < 6，如果系统稳定，则状态方程的解x(t,x 0,t 0)在t T 比的过程中，都位于以 Xe为球心，任意小的呂> 0为半径的闭球域内，则称该平衡状态Xe是李式意义下稳定的。定理3 (间接法)：对于线性定常系统X =AX系统稳定的充要条

16、件是：矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。用函数eig(A)来计算系统矩阵的特征值，系统的特征值为1.7848、0.0157、0.0059由此可知该系统不稳定。因此需要加入控制器调节系统是系统稳定。、基于MATLAB的LQR仿真3.1、最优控制（LQR）简介最优控制理是现代控制理论的核心。其研究的主要问题是，根据已经建立的被控对象的数学模型，在一定的限制条件下， 选择一个容许的控制规律完成所要求的控制任务，使系统规定的评价函数具有最优值的一种控制。这里的限制条件即约束条件是物理上对系统所施加的一些限制；评价函数即性能指标，是为评价系统的优劣所规定的标准，也称为目标函数； 要寻找的控制规律也就是

17、综合控制器。一般来讲，达到一个目标的控制方法很多，但实际上的经济、时间、环境、制造等方面油各种限制，因此可实现的控制方法是有限的。在实行具 体的控制时，有必要选择某一种控制方式，是性能指标达到最优值，这就是最优控制。3.2、线性二次型最有调节器原理被控对象yJn*X = AX +BU最优控制率u = -RBTKx最优控制系统结构图在系统方程*X = AX+ BU中，如果满足CY 二 CX=I，理想输出 yd = 0 ,则有e(t) = - x(t)1 ,J = 2XT(tf)Px(t f)2 J xT(t)Q(t)x(t)+ uT(t)R(t)u(t)2 t0dt这时，线性二次型最优控制问题描

18、述为：当系统受偏离平衡状态时，要求寻找最优控制量, 使得系统的状态恢复到平衡状态附近，并使性能指标极小，这就是LQR问题。由于倒立摆系统是tf = 时线性定常系统的状态调节问题，所以指标函数可以等价为cJ = J(XtQX UTRUdt0采用反馈控制U = -KX,最优反馈增益矩阵 K = _RBT P，其中Ra0 ； Q>0 ； P为满足下列方程的唯一正定对称解K,在 MATLABPA + ATP - PBrVP + Q = 0求解该方程，若正定矩阵P存在，则系统稳定。继而解得最优反馈增益矩阵中，使用指令 K=Iqr（ A，B，Q，R），可轻松解得 K阵。3.3、MATLAB 仿真K阵

19、计算程序如下A=0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 00 0 ； 0 0.0056 0.0035 0 0 0B=0 ； 0 ； 0 ； 1 ；C=1 0 0 0 0 0D=0 ； 0 ； 0R=1;0 0.0134 0.0021 00.086; 0.0325;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0Q=C'*CG=lqr(A,B,Q,R)得出：-0.16810.4614K=1.0e+03 *0.0010分析：在没有摩擦情况下，当初始状态为0.0586 -4.14659.2219(0.1 0.1 0.1 0 0 0 0)T时，所得信号的波形为:01020307080904

20、05060时间轴t100由波形分析可知：基于 LQR控制的二级倒立摆最终平衡在 Xe=(000000)，基于LQR的倒立摆控制最中实现了很好的控制效果，是的倒立摆稳定的平衡状态。3.4、SIMULINK 仿真仿真模型:5-OOp-B-I 乂 Ax-H-u k I -y = Oc-*DbJ-"S-LhE/HS-oop-lOo-inR.t« n背参数表：state SpaceState-space model: dx/dt = Ak + Bu y = Cz + DuParameteraA:l;0 0 0 0 0 0:0 0. 0134 0.0021 0 0 0:0 0. 005

21、S 0*0035 0 0 0B:L0;0;0; 1 jO. 086:0. 0325C:Ij Oj 0, 0,0:0, 0, 1, 0| Oj 0 ; 0, Oj 0, I, 0, 0; 0,0, 0, 0, 1, 0,0j Cl, 0, Oj Oj 1n：E0.0;0;0;0;0Initial conditions：Lo.l;0,1jO.l;0;0;0Absolute tolerance:autoSt at e Name: Ce. g., ' position )Gain ilemenl-wise gain (y = K. *u) or matrix gain (y = K*u or

22、y = u*K).Main | Signal Attributes Parameter AttributZIam:L0e+03*EO. 0010-0. 1681 0.46L4 0- 0580 -4* USE 9.2219ult ipl 1匚 a±ion:Matrix (K*u)Iample tine (一1for inherited :输出波形:个仿真的波形一致，也验证的结果的正确性。H-t四、 结 束语4.1 、小结本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。 首先简要介绍了倒立摆以及倒 立摆的几种常见控制方法， 着重介绍了最优控制理论， 其次对线性二次型最优控制原理进行 了分析。然后根据第二章所建数学模型，选取合理的Q、R,计算出反馈增益矩阵 K,设计出LQR控制器并进行了仿真。最后用LQR法进行控制，从仿真中可以看出，控制取得了较好的效果。4.2 、未解决问题展望1、针对直线二级倒立摆这样比较复杂的模型，论文中在平衡点附近对系统的非线性模型进 行线性化处理， 然后根据线性化模型进行控制器设计。 但是线性化处理不能够完全代表系统 的真实模型。 所以对倒立摆系统进行控制还需深入研究， 可以针对倒立摆系统的非线性模型 运用非线性系统理论进行控制系统的设计。2、对最优控制进行更深入的研究，针对优缺点，对算法进行改进研究，或与其他控制方法 比较，分析