立体几何二面角问题

1、立体证明题(2)1如图，直二面角 D- AB- E中，四边形 ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且 BF丄平面ACE(1) 求证：AE丄平面BCE(2) 求二面角 B-AC- E的余弦值.2等腰 ABC中, AC=BC= ! , AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将 EFC沿EF折起，使 得C到P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP=W.(1) 求证：平面 EFP1平面 ABFE(2) 求二面角 B-AP- E的大小.图1囹2PADL底面ABCD且3如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面是正方形，侧面PA=PD=2AD,若E、F分别为PC BD的中点.(I) 求证：EF

2、/平面PAD(n) 求证:CEF丄平面PDC4如图：正 ABC与Rt BCD所在平面互相垂直，且/BCD=90°,Z CBD=30°(1) 求证：AB丄CD(2) 求二面角 D- AB- C的正切值.ABCD(1)求证：平面 PADL平面 PBD5如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面PADL平面ABCD PAD是等边三角形，四边形是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD6如图，在直三棱柱 ABC- AiBQ 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是 AB中点.(I)求证：AB丄平面AiCE(H)求直线 AG与平面AiCE所成角的正弦值.8如

3、图，在四棱锥7如图，在四棱锥 P- ABCD中, PA丄平面 ABCD / DAB为直角，AB/ CD, AD=CD=2AB=2E, F分别为PC, CD的中点.(I)证明：AB丄平面BEF;(H)若 PA=，求二面角 E- BD- C.5P-ABCD 中，PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2，四边形 ABCD 满足AB 丄 AD , BC / AD 且 BC=4，点 M 为 PC 中点.(1)求证:DM丄平面PBC ；be(2)若点E为BC边上的动点，且=-，是否存在实数 人使得二面角 P- DE - B的余弦值为-?若存在，求出实数3入的值；若不存在，请说明理由.EC9如图，AB

4、ED是长方形，平面 ABEDL平面 ABC AB=AC=5 BC=BE=6且 M是BC的中点(I) 求证：AML平面BEC(H) 求三棱锥B- ACE的体积；(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面 QECL平面BEC求线段AQ的长.10.如图，直角梯形 ABCD与等腰直角三角形AB=2CD=2B, EAL EB(1) 求证：EAL平面EBC(2) 求二面角 C- BE- D的余弦值.ABE所在的平面互相垂直,AB/ CD, AB丄 BC,11.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD/ BC, / ADC=90°,平面PADL底面ABCD O为AD中点，M是棱

5、PC上的点，AD=2BC(1)求证：平面 POBL平面 PAD12.如图，三棱柱 ABC- ABC中，侧棱AA丄平面ABC ABC为等腰直角三角形，/BAC=90，且 AB=AA, E、F 分别是 CC, BC的中点.(1)求证：平面 ABF丄平面 AEF;(2 )求二面角 B1- AE- F的余弦值.13.如图，在菱形 ABCD中，/ ABC=60°, AC与BD相交于点 Q AE丄平面ABCD CF/ AE,AB=AE=2(I )求证：BD丄平面ACFE(II )当直线FQ与平面BDE所成的角为45°时，求二面角 B- EF- D的余弦角.14.如图所示，该几何体是由一

6、个直三棱柱ADE- BCF和一个正四棱锥 P- ABCD组合而成,ADL AF, AE=AD=2(1)证明：平面 PADL平面 ABFE(2)求正四棱锥 P- ABCD的高h，使得二面角 C- AF- P的余弦值是 213AC的中点D,且BALAG./ BCA=90°, AC=BC=2 A在底面ABC上的射影恰为(I)求证：AC丄平面AiBC;(H)求二面角 A- AiB- C的平面角的余弦值.在 Rt BFG中,_GF 二_価 二GBp 二 3试卷答案1.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）由已知中直二面角 D- AB- E中，四边形 ABCD

7、是正方形，且 BF丄平面ACE 我们可以证得 BF丄AE CB丄AE进而由线面垂直的判定定理可得AE!平面BCE（2）连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角 的平面角的定义，可得/ BGF是二面角B- AC- E的平面角，解 Rt BFG即可得到答案.【解答】证明：（1）v BF丄平面ACE BF 丄 AE二面角 D- AB- E为直二面角，且 CBL AB, CB丄平面ABE CB丄AE AE丄平面BCE解：（2）连接BD与AC交于G连接FG设正方形 ABCD勺边长为2, BG丄 AC, BG= 一，/ BF垂直于平面 ACE由三垂线定理逆定理得 FG

8、L AC Z BGF是二面角 B- AC- E的平面角由（1） AE!平面 BCE 得 AE! EB,/ AE=EB BE=在 Rt BCE中 , EC=Jh】，= 7:,由等面积法求得二-I,则nW -汀'故二面角B- AC- E的余弦值为2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )用分析法找思路，用综合法证明取EF中点0,连接OR OC等腰三角形CEF中有COL EF,即卩ORL EF.根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF,且POL EF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可利用面面垂直的判定定理

9、证得平面EFP丄平面ABFE(2)根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AER的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.【解答】解：(1)证明：在厶ABC中，D为AB中点，0为EF中点.由 AC=BC=7, AB=2 E、F分别为AC BC的中点， EF 为中位线，得 C0=0D=1 COL EF四棱锥 P ABFE中，POL EF,2分OC丄 AB, AD=OD=1 AO=,又 AP= T, OP=1,四棱锥 P- ABFE中，有AFaO+oP,即卩OPL AQ4分又 AOH EF=Q EF、AO?平面 ABFE OP丄平面ABFE5分又OF?平

10、面EFP,平面 EFP!平面 ABFE 6分(2 )由(1)知OD OF, OP两两垂直，以 0为原点，建立空间直角坐标系(如图)：则 A (1 , - 1 , 0), B ( 1,1, 0), E ( 0,： , 0), P (0, 0, 1 )-7 分八、I -=：，丄 1，1 1 设y, £,二=(，, £ )分别为平面AEP平面ABP的一个法向量,则巴丄f? * *2 尸。取 x=1，得 y=2 , z= - 11 PAlir s - y - z=0；：【T 9 分同理可得一丄：.!.；，11分由于：|-：-. ' I 'I : - - I=0,所以

11、二面角 B- AP- E为90°.12分【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】对于（I）,要证EF/平面PAD只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC BD的中点，所以连接 AC, EF为中位线，从而得证；对于（H）要证明 EF丄平面PDQ由第一问的结论， EF/ PA只需证PA!平面PDC即可, 已知PA=PD= ：AD,可得PA丄PD,只需再证明 PA丄CD,而这需要再证明 CDL平面2PAD由于ABCD是正方形，面 PADL底面ABCD由面面垂直的性质可以证明，从而得证.【解答】证明：（1）连接 AC则F是AC的中点，在 CPA

12、中，EF/ PA （ 3分） 且PA?平面PAD EF?平面PAD EF/平面 PAD（ 6 分）（H）因为平面 PADL平面 ABCD平面 PADT平面 ABCD=AD又CDL AD所以 CDL平面 PAD CD丄 PA （9 分）又 PA=PD=AD,2所以 PAD是等腰直角三角形，且/ APD=_,即PA丄PD（ 12分）而 CDA PD=D PA丄平面PDC 又EF/ PA 所以EF丄平面 PDC（ 14 分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注 意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时, 往往还要通过线面垂直

13、来进行.4.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】（1 ）利用平面 ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC可得DCL平面ABC利 用线面垂直的性质，可得 DCL AB;（2）过C作CE! AB于E ,连接ED,可证/ CED是二面角D- AB- C的平面角.设 CD=a则BC =忑匕 从而 EC=BCsin60 二耍,在 Rt DEC中 ,可求 tan / DECtan302【解答】（1）证明：T DCL BC,且平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC DC丄平面ABC又AB?平面ABC DCL AB.（2）解：过 C作CEL AB于E

14、,连接ED,/ AB丄 CD AB丄 EC, CDH EC=C AB丄平面ECD又 DE?平面 ECD - AB丄 ED,/ CED是二面角 D- AB- C的平面角,设 CD=a 则 BC= J =：,tan30 ABC是正三角形， EC=BCs in60 =,2DC _ a _2在 Rt DEC中 , tan / DEC= .【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】（1 ）令AD=1,求出BD=,从而AD± BD,进而BD丄平面PAD由此能证明平面PADL平面 PBD（2 ）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD的直线为z

15、轴，建 立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A- PB- C的余弦值.【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中 ,令AD=1,则 BD= . ； =:,在厶 ABD中,AD+Bj=AB, AD丄 BD又平面PADL平面ABCD BD丄平面PAD BD?平面PBD平面PADL平面PBD解：（2）由（1）得AD丄BD,以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令 AD=1,则 A （1, 0 , 0） , B （0 ,二,0） , C （- 1 ,二,0） , PC., 0,号），.-= (- 1， 一，0)，；=(-= ： 匸)，厂

16、=(-JO, 0),£匕设平面PAB的法向量为 =(x, y, z),AB*n=-x+V3y=0则一i厂五，取y=1，得匚=(负匚1)，| PB - n= x-hyz=O设平面PBC的法向量.=(a, b, c),np BC=-a=O二陆令卡匕誓口取b=1，得;=(0,1,2), cos= ；， 由图形知二面角 A- PB- C的平面角为钝角,面角A- PB- C的余弦值为- 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【分析】(I)由 ABC- A1B1C1是直三棱柱，可知 CC丄AC, CC丄BC / ACB=90 , ACLBC建立空间直角坐标系 C-xyz .则A, B

17、i, E, A,可得，AB,玉，CA可知， 根据 画甲 尿Q,瓦 =C,推断出AB丄CE AB丄CA,根据线面垂直的判定定理可知 AB丄平面 ACE(n)由(I)知 J 是平面AiCE的法向量；：二 11 ；-,进而利用 向量数量积求得直线 AC与平面ACE所成角的正弦值【解答】(I)证明：T ABC- A BC是直三棱柱， CC! AC, CC! BC,又/ ACB=90 ,即 ACL BC如图所示，建立空间直角坐标系C- xyz . A (2, 0, 0), Bi (0, 2, 2), E (1, 1, 0),A (2, 0, 2),二” V,' I .|,、二：丄 U.-.门又因

18、为厂E I,i., AB丄CE AB丄CA, AB丄平面 ACE(H)解：由(I)知，丿 d. -二 '二 二是平面ACE的法向量， 厂;.TT u c / o：, =IC A 】 AB i |cos v I, n： , . i . > F_ 1-=-1 11 15町丨|佝丨3sin 0 =|cos v 匸 j 益，二 | > |=辛设直线AQ与平面ACE所成的角为0，则所以直线AC与平面ACE所成角的正弦值为7.V3【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】(I)只需证明 AB丄BF. AB丄EF即可.(H)以A为原点，以AB, AD AP为x轴，y轴，

19、z轴正向建立空间直角坐标系，求出平面CDB的法向量为 门j r 丄:.-,平面EDB的法向量为* 门设二面角E- BD- C的大小为0，贝U cos 9 二 IcosCnj,Vs _V2 lx710= 2【解答】解：(I)证：由已知DF/ AB且/ DAB为直角，故 ABFD是矩形,从而AB丄BF.又PA丄底面 ABCD二平面 PADL平面 ABCD/ AB丄AD,故AB丄平面PAD AB丄PD在厶PCD内，E、F分别是PC CD的中点，EF/ PD, AB丄EF.由此得AB丄平面BEFy轴，z轴正向建立空间直角坐标系,则石-；-一二工：i，厂龙设平面CDB的法向量为:-,平面EDB的法向量为

20、：.y, Z),(H)以 A为原点，以 AB, AD AP为x轴,一灶2尸0一则届可取吋Q 1,-晶)巴诬二0|汁亍设二面角E- BD- C的大小为0，贝U口_丨 ”* 、|一 5n 1 *n21VsV2- .；-，： . 二. 1' |ni Hln21 ixVio 28.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】(1 )取PB中点N，连结MN , AN 由三角形中位线定理可得四边形 ADMN为 平行四边形由 AP丄AD , AB丄AD，由线面垂直的判定可得 AD丄平面PAB 进一步得 到 AN丄MN .再由 AP=AB，得 AN丄PB,贝U AN丄平面PBC .又

21、AN / DM，得 DM丄平 面 PBC;(2)以A为原点，.吓方向为x轴的正方向， 汀方向为y轴的正方向，方向为z轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设E (2, t, 0)( 0Wt吟4,再求得 P, D , B的坐标，得到玮.亘的坐标，求出平面 PDE的法向量，再由题意得到平面 DEB的一个法 向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数 入的值.【解答】(1)证明：如图，取 PB中点N，连结MN , AN ./ M 是 PC 中点， MN / BC , MN=BC=2 .又 BC / AD , AD=2 , MN / AD , MN=AD ,四边形ADMN为平行四边形./ AP 丄 A

22、D , AB 丄 AD , APA AB=A , AD丄平面PAB ./ AN ?平面 PAB, AD 丄 AN，贝AN 丄 MN ./ AP=AB , AN 丄 PB，又 MNA PB=N , AN丄平面PBC ./ AN / DM , DM 丄平面 PBC；(2)解：存在符合条件的入以A为原点，：；方向为x轴的正方向，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系.设 E ( 2, t, 0)( OW t 吟4, P (0, 0, 2), D ( 0, 2, 0), B (2, 0, 0),.r 则，：儿-二小 设平面PDE的法向量! I. = (x, y, z),

23、n, PI>=2y-2z=0则一ni *DE=2x+(t-2)y=0令 y=2，贝U z=2 , x=t - 2,取平面PDE的一个法向量为:,.=(2- t, 2, 2)又平面 DEB即为xAy平面,故其一个法向量为打尸(0, 0, 1),一 一 叶匕22cos= 解得t=3或t=1 ,入=3或9.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.【分析】(I)推导出 BE丄AM BC丄AM由此能证明 AML平面BEC(H)由 V ac=Ve abc,能求出三棱锥 B- ACE的体积.(川)在平面 QEC内作QNL EC QN交CE于点N QN与AM共面，设该平面为 a，推导出四

24、边形AMN健平行四方形，由此能求出 AQ【解答】证明：(I)：平面ABEDL平面ABC平面ABECT平面ABC=ABBE! AB, BE?平面 ABED BE丄平面 ABC 又 AM?平面 ABC 二 BEX AM又AB=AQ M是BC的中点， BC丄AM又 BOA BE=B BC?平面 BEC BE?平面 BEC AM!平面 BEC解：（n）由（I）知，BE丄平面 ABC - h=BE=6在 RtABM中，；_【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明EA丄平面EBC（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.【解答】（1 ）平面 A

25、BE!平面ABCD且AB丄BC, BC丄平面ABE/ EA?平面 ABE EAL BC,/ EAL EB, EBA BC=B EA丄平面EBC.'' 'J!，又._；- :二"'z亠上 h 亠 ；匸一（川）在平面 QEC内作QN丄EC QN交CE于点N平面 QECL平面 BEC平面 QE6平面BEC- EC QN!平面 BEC 又 AML平面 BEC QN/ AM QN与AM共面，设该平面为 a, / ABED是长方形， AQ/ BE又Q?平面BEC BE?平面BEC AQ/平面BEC又 AC? a , a A平面 BEC=MN AQ/ MN 又 QN

26、/ AM四边形AMNd平行四方形. AQ=MN AQ/ BE, AQ/ MN MN/ BE,又 M是 BC的中点丄 AQ=MN=,3(2 )取AB中0,连接EQ DO/ EB=EA 二 EQL AB平面 ABEL平面 ABCD E0丄平面 ABCD/ AB=2CD AB/ CD, AB丄 BC, DOL AB,建立如图的空间直角坐标系O- xyz如图:设 CD=1,则 A (0 , 1 , 0) , B0) , C ( 1, - 1 , 0) , D (1 , 0 , 0) , E (0 ,由（1）得平面EBC的法向量为1, - 1),设平面BED的法向量为 =（x ,y , z),则丁生&#

27、176; ,即id*BD=Oy+z=Ox+y=0设 x=1,则 y= - 1, z=1,则 = (1, - 1,V6iwizr血 s 丁故二面角C- BE- D的余弦值是厶【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】（1）证明四边形 BCDO平行四边形，得出 OBLAD再证明BOL平面PAD从而 证明平面POL平面PAD（2）解法一PJI':由 .，M为PC中点,证明 N是AC的中点,MIN/ PA PA/平面BMO解法二：由卩MPA/平面BMO证明N是AC的中点,M是PC的中点,得 士Ml【解答】解:(1)证明： AD/ BC, : - : .,： , O为 AD的中

28、点，四边形BCDO为平行四边形, CD/ BQ又/ ADC=90 ,/ AOB=90，即 OBL AD又平面 PADL平面 ABCD且平面 PADA平面 ABCD=A, BO丄平面PAD又 BO?平面POB平面POBL平面PAD(2)解法一：/-.，即卩M为PC中点，以下证明：连结AC,交BO于 N连结MN/ AD/ BC, O为 AD中点，AD=2BC N是AC的中点，又点M是棱PC的中点， MN/ PA/ PA?平面 BMO MN 平面 BMO PA/平面 BMO解法二：连接 AC,交BO于N,连结MN/ PA/平面 BMO 平面 BMOA平面 PAC=MN PA/ MN又 AD/ BC

29、O为 AD中点，AD=2BC N是AC的中点， M是PC的中点，则'"-ime12.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连结AF,由已知条件推导出面 ABCL面BBCC,从而AF丄BiF,由勾股定理 得BF丄EF.由此能证明平面 ABF丄平面 AEF(2)以F为坐标原点，FA, FB分别为x, y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B - AE- F的余弦值.【解答】(1)证明：连结 AF,v F是等腰直角三角形 ABC斜边BC的中点， AFL BC.又.三棱柱 ABC- A1B1C1为直三棱柱，面 ABCL面 BBCC, AF丄面

30、BBGC, AFL BF.设 AB=AA=1，则."讦匸=，二 BiF 丄 EF.又 AFn EF=F, BF丄平面 AEF.而BiF?面ABF，故：平面 ABF丄平面 AEF.（2）解：以F为坐标原点，FA, FB分别为x, y轴建立直角坐标系如图,设 AB=AA=1，0）, A （乎.|）爭汕=,B （0,-：，1）, E （0,2（-；1）.2 2-I）,由（1）知，BF丄平面AEF,取平面=（0,厂，1）.AEF的法向量:设平面BiAE的法向量为z=0由np ABz=0取 x=3,得一 1 I .-.：.-设二面角Bi - AE- F的大小为0 ,贝U cos 0 =|cos

31、 V .由图可知0为锐角，所求二面角B1 - AE- F的余弦值为13.【考点】MT二面角的平面角及求法；LW直线与平面垂直的判定.【分析】（I ）只需证明DB丄AC, BD丄AE,即可得BD丄平面ACFE（II ）取EF的中点为 M以0为坐标原点，以 0A为x轴，以0B为y轴，以0M为z轴，建立空间直角坐标系，贝则 卜,工 U）, D（0,- 二0）, F （- 1, 0, h）, E（1, 0, 2,则h 技"，一 .，利用向量法求解【解答】（I ）证明：在菱形 ABCD中，可得DB丄AC,又因为 AE!平面 ABCD - BDLAE,且 AEn AC=A BD丄平面 ACFE（

32、II ）解：取EF的中点为 M以O为坐标原点，以 OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，则Li：', D （0, - 一，0）, F （- 1, 0, h）, E （ 1, 0, 2），贝VDB=（0, 23，0）, DE=（K 血，2）,设平面BDE的法向量产（X, yf z）,由、ni *DB=2V3y=0 L，可取 m 二艸 2 畫二 0孑一百、_ 纣门 _应_|cos、蔦.i.i 1=.：-'_：, ? h=3,1V5><Vl+h2 2故 F (- 1, 0, 3),.机乂二(弘r J ,n2 *BE=a-V5b+ 2c=0DE=(1，

33、后，2), DF=(-1* DE = x+V3y+ 23=0一,一 一，可取 n3=(V3* 込 2価),也 DF=-x+V3y3z=01.0 12+h.,设平面BFE的法向量为可取：；-.,设平面DFE的法向量为：.； 厂门由*二面角B-EF- D的余弦值为J.14.【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】(I)证明：AD丄平面ABFE即可证明平面 PADL平面 ABFE(H)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P-ABCD的高.【解答】(I)证明：直三棱柱ADE- BCF中, AE丄平面ADE所以：AB丄AD,又 ADL AF,所以：AD丄平面ABFE AD?平面PAD所以：平面 PADL平面 ABFE-.(n)T ADL平面ABFE 建立以A为坐标原点，AB