小学五年级数学因数与倍数讲义-非常经典的讲义

1、龙文教育学科讲义教师:学生二日期:2013-03-09星期:之时段:08:0010:00课题因数、倍数年级五年级学习目标与 考点分析1、掌握因数、倍数、质数、合数、公因数、公倍数的概念2、掌握2、3、5倍数的特征3、会找最大公因数和最小公倍数学习重点重点：2、3、5倍数的特征难点：找公因数、公倍数的特征学习方法讲练结合学习内容与过程一、倍数与因数的关系【知识点1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。例如：6是倍数、3和2是因数。（X）改正：6是3和2的倍数，3和2是6的因数。练习：（1） 8X5=40 ,（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。（2）因为36 + 9=4,所以（

2、）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数。（3）在 18 + 6=3 中，18 是 6 的（），3 和 6 是（）的（）。（4）在14 + 7=2中，（）能被（）整除，（）能整除（），（）是（）的倍数，（）是（）的因数。（5）若A+ B=C （A、B、C都是非零自然数），则A是B的（）数，B是A的（）数。（6）如果 A、B是两个整数（BW0）,且A + B = 2,那么 A是B的, B是A的。（7）判断并改正：因为 7X6=42,所以42是倍数，7是因数。 （）因为15+5=3 ,所以15和5是3的因数，5和3是15的倍数。（）5是因数，15是倍数。（）甲数除以乙数，商是 15,那么甲数一

3、定是乙数的倍数。（）（8）甲数X 3=乙数，乙数是甲数的（）。A 、倍数B 、因数 C 、自然数【知识点2】倍数因数只考虑正数，小数、分数等小讨论倍数、因数的问题。例如：0.6 5=3 ,虽然可以表示 0.6的5倍是3但是，0.6是小数是不讨论倍数因数问题。因此类似的：因为 0.6 X5=3，所以3是0.6和5的倍数。是错误的说法。练习：（1）有 5+2=2.5 可知（）A、5能被2除尽 B、2能被5整除 C、5能被2整除 D、2是5的因数，5是2的倍数（2） 36 +5=71可知（）A、5和7是36的因数 B、5能整除36C、36能被5除尽 D、36是5的倍数（3）属于因数和倍数关系的等式是

4、（）A、2X0.25=0.5 B、2X 25=50C、2X0=0【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数例如：36的因数有（）。确定一个数的所有因数， 我们应该从1的乘法口诀一次找出。 如：1 X36=36、2X 18=36、3X 12=36、4X 9=36、 6X6=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36重复的和相同的只算一个因数。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是他本身。例如：7的倍数（）。确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如： 1X7=7、2X7=14、3X7=21、4X7=28、5X7=35还有很多。因此7的倍数有：7、14、21、28、

5、35、42一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。练习：（1） 20的因数有：（2） 45的因数有：（3） 24的倍数有：（4） 17的倍数有：（5）下面的数，因数个数最多的是（）。A 、 18 B 、 36 C 、 40（6）判断并改正：14比12大，所以14的因数比12的因数多（）1是1, 2, 3, 4, 5的因数（）一个数的最小因数是 1,最大因数是它本身。（）一个数的最小倍数是它本身（）12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。（）凡是8的倍数也-一定是 2的倍数。（）（7）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人

6、数可能是多少？（8）小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本同样的日记本，售货员阿姨说应付35元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数例如：25以内5的倍数有（5、10、15、20、25 ）。特别注意前提条件是 25以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2以上各数中，是20的因数的数有（）；是20的倍数的数有（）；既是20的倍数又是20的因数的数有（）。首先我们应该明确 20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！练习：（1） 100以内19的倍数有：（2）在 4, 6,

7、 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 32, 36 中 4 的倍数： 36的因数：（3） 一个数既是 6的倍数，又是60的因数，这个数可能是 （4）用1、5、6、8、9组成的数中，是 3的倍数的数有是2的倍数的数有 。【知识点3】关于倍数因数的一些概念性问题一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是他本身。1是任一自然数（0除外）的因数。也是任一自然数 （0除外）的最小因数。一个数的因数最少有1个，这个数是1。除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。一个数的最小倍数=一个数的最大因数=

8、这个数练习：（1） 一个数的倍数个数是（），最小的倍数是（），（）最大的倍数。（2） 一个数的因数的个数是（），最小的因数是（），最大的因数是（）。（3）在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是（）。（4）判断并改正：一个数的因数都比他的倍数小。（）1是所有的自然数的因数。（）一个数的因数一定小于他本身。（）一个数的倍数一定比他的因数大。（）任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。（）二、2、3、5的倍数的特征【知识点1】2、3、5的倍数特征个位上是0, 2, 4, 6, 8的数都是2的倍数。例如：202、480、304,都能被2整除。个位上是0或5的数，是5的倍数。例如：5、30、405都能

9、被5整除。一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是 3的倍数。例如：12、108、204都能被3整除。个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。例如：80、20、70、130等。个位上是0且各位数字的和是 3的倍数，那么这个数既是 2的倍数又是3和5的倍数。例如：120、90、180、270 等。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是2的倍数的数也叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数也叫做奇数。（因此在自然数中，除了奇数就是偶数）偶数十偶数=偶数偶数-偶数=偶数偶数X偶数=偶数偶数十奇数=奇数偶数-奇数=奇数偶数X奇数=偶数奇数+奇数=偶数奇数-偶数=奇数奇数X奇数=奇

10、数奇数-奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数 练习：（1）在27、68、44、72、587、602、431、800中，把奇数和偶数分别填在相应的圈内。3 的倍数：E , 3 口，臼，口 4 口 , 8 口6 , 4 口 6。2 和3的倍数： 4 口,日，6口 ,日，9 口，5 口 口6。2 、3和5的倍数：匚0 , 口2匚| 。（3）写出5个3的倍数的偶数： 写出3个5的倍数的奇数： （4我比10小，是3的倍数，我可能是（）。我在10和20之间，又是3和5的倍数，我是（）。我是一个两位数且是奇数，十位数字和个位数字的和是18,我是（）。（5） 一个六位数

11、548 口h同日被3、4、5整除，这样的六位数中最小的一个是（）。一个四位数698 如果在个位上填上数字（）。那么这个数既是 2的倍数，又是5的倍数。117 既是3的倍数，又是5的倍数；249 既是2的倍数，又是3的倍数。（6）把下面的数按要求填到合适的位置。435、 27、 65、 105、 216、 720、 18、 35、 402 的倍数（）；3的倍数（）;3 的倍数（）；2、5的倍数（）;2、3的倍数（）；2、3、5的倍数（）。（7）同时是2和3的倍数中，最小的是（），两位数中最大的是（）。（8）能同时被2、3和5整除的最小三位数是，最大两位数是，最小两位数是，最大三位数是 。（9）三

12、个连续偶数的和是 72,这三个偶数分别是（）、（）和（）。（10） 226至少增加（）就是3的倍数，至少减少（）就是5的倍数。（11）用5、6、8排成一个三位数且是 2的倍数，再排成一个三位数，使他有因数5,各有几种排法？这些数中有3的倍数吗？（12）在（）里填上一个数，使 87 （）是3的倍数，共有（）种填法。A、1 B、2 C、3 D、4最小的四位奇数比最大的三位偶数大（）。A 、113 B 、13 C 、3A匚目是一个三位数，已知 A+B=14,且A巴 是3的倍数，口中可能填的数有（）个。A、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4（13）判断并改正：两个奇数的和，可能是偶数。（）最小的

13、奇数是1,最小的偶数是2.（）一个自然数不是奇数就是偶数。（）个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（）是3的倍数的数-一定是 9的倍数，是9的倍数的数-一定是 3的倍数。（）偶数的因数一定比奇数的因数多。（）【知识点2】一些特殊数的倍数的特征 一个数各位数上的和能被 9整除，这个数就是 9的倍数。但是，能被3整除的数不一定能被 9整除；能被9整除的数一定能被 3整除。一个数的末两位数能被 4整除，这个数就是 4的倍数。例如：16、404、1256都是4的倍数。一个数的末两位数能被 25整除，这个数就是 25的倍数。例如：50、325、500、1675都是25的倍数。一个数的末三位数能被8 （或

14、125）整除，这个数就是8（或125）的倍数。例如：1168、4600、5000、12344都是8的倍数，1125、13375、5000都是125的倍数。如果a和b都是c的倍数，那么a b和a+ b 一定也是c的倍数如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是 c的倍数练习：（1）五位数口150|归同日被5和9整除，这样的六位数有（）、（）。（2）六位数口5760归同日被55整除，这样的六位数有（）、（）。（3） 一个比20小的偶数，他有因数 3,又是4的倍数，这个数是（）。【知识点3】最大公因数与最小公倍数1.因此，几个数公共的由于一个数的因数个数是有限的而且最大的因数是这个数本身

15、，最小的因数都是 因数也只考虑其最大的公共因数，而不考虑最小的公共因数。例如：12、16、18的最大公因数12 的因数有：1、2、3、4、6、1216 的因数有：1、2、4、8、161公共得因数有：1、218 的因数有：1、2、3、6、9、18 J因此12、16、18的最大的公共因数即最大公因数是：2练习：（1） 12的约数有（）；18的约数有（）；其中（）是12和18的公约数；它们的最大公约数是（）。（2）求下面数的最大公约数24 和 3654 和 727 和 6312、 18、 36（3）长180厘米，宽45厘米，高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块 （不余料）多少块？（4）动物园

16、的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子，每只可得多少粒.同样由于一个数的倍数个数是无限的，但其最小的倍数是他本身，因此在求几个数的公倍数时只能考虑其最小的公共倍数。例如：2、4、5的最小公倍数2 的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、 4 的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、5 的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、公共的倍数有：20、40 所以

17、2、4、5的最小公倍数是：20练习：（1）写出100以内的4的倍数有（）；100以内的6的倍数有（）；它们的公倍数有（）；它们的最小公倍数是（）。（2） 210与330的最小公倍数是最大公约数的 倍.（3）是2、3、5的倍数的最小三位数是（）。一个数是5的倍数，又有因数 3,也是7的倍数，这个数最小是（）。（4）求下面数的最小公倍数12 和 1813 和 1113.和 656、 7、21（5） 一串珠子，5粒5粒数，6粒6粒数，7粒7粒数，8粒8粒数都正好数完，这串珠子至少有多少粒？（6）在11999中的自然数中，是 3的倍数，又是5的倍数的数一共有多少个？（7）能被3、7、8、11四个数同时

18、整除的最大六位数是多少？（8） 一堆棋子，6个6个地数余4个，9个9个地数余4个，10个10个地数余8个，这堆棋子至少有多少个？（10）判断并改正：有因数 2,同时又是5的倍数的数一定是10的倍数。（）三、质数和合数【知识点1】质数和合数的相关定义一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1不是质数也不是合数，自然数除了 1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数） 、合数（大于两个因数）和 1 （1个因数）。 100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23

19、、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89、97。共 25 个。除1以外所有的质数都是奇数。= 除1以外任意两个质数的和都是偶数最小的质数是2,最小的合数是 4质数X质数=合数合数x合数=合数质数x合数=合数练习：（1）像2、3、5、7这样的数都是（），像10、6、30、15这样的数都是（）。（2） 20以内的质数有（），合数有（ ）。（3）自然数（）除外，按因数的个数可以分为（）、（）和（）。（4）在 16、23、169、31、27、54、102、111、97、121 这些数中，（）是质数，（）是合数。（5）用A表示一个大于1的自然数，A2必

20、定是（）。A+A必定是（）。（6） 一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最小的合数，这个数是（）。（7）两个连续的质数是（）和（）；两个连续的合数是（）和（）（8）两个质数的和是 12,积是35,这两个质数是（）A. 3 和 8 B. 2 和 9 C. 5 和 7（9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。（）所有偶数都是合数。（）一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。（）所有质数都是奇数。（）两个不同质数的和一定是偶数。 （）三个连续自然数中，至少有一个合数。（）大于2的两个质数的积是合数。（）7的倍数都是合数。（）20以内最大

21、的质数乘以 10以内最大的奇数，积是 171。（）2是偶数也是合数。（）1是最小的自然数，也是最小的质数。（）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（）(10)下面是一道有余数的整数除法算式：A + B=C- R(11)1既不是质数也不是合数。所有的偶数都是合数。两个数相乘的积一定是合数。写出一些三位数，这些数都同时是（ ）（ ）（ ）2、3、5的倍数。个位上是3的数一定是3的倍数。 所有的质数都是奇数。（每种写两个数）（6%）有两个数字是质数：有两个数字是合数：有两个数字是奇数：【知识点2】分解质因数（相加和相乘）把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。每个合数都可以写成几

22、个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数,例如15=3X 5, 3和5叫做15的质因数。分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。例如：24=2X 1224=3X8一C2X,因此 24=2X2X2X32人2X32X242=（2） + （40） = （3） + （39） = （5） + （37）练习:(1)把48、51、28用几个质数相乘的形式分别表示出来。(2)下列的数可以用那两个质数的和表示，并总结规律。9= () + ()42=( )+ ()38= () + ()80=( )+ ()50= () + ()62=( )+ ()(3)用质数填空，质数不能重复18= () + ()=()+ ()=()+ (12= () X () X ()30=()x ()x (4) 100以内的哪些数是三个不同质数的积？【知识点3】确定数字8= ( ) X ( ) X ()这类题关键在于准确掌握有关倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数以及一些特殊的数。例如：两个质数的和是 25,这两个质数的差是多少？首先将 25 分解成两个质数的和的形式：25=2+23=3+22=5+20=7+18=11 + 14=13+12=17+8=19+6,XXX X X XX通过分解只有2和23 一种情况，因此这两个质数的差是23-2=2