第五节 傅立叶级数

1、第五节 傅立叶级数傅立叶级数最初应用在天文学中，这是由于太阳系的行星运动是周期性，欧拉于1729年解行星问题时就得出了这方面的一些结果，到1829年狄里赫莱第一次论证了傅立叶级数收敛的充分条件。教学目的：什么是函数的傅立叶级数，给出函数展为傅立叶级数的充分条件，求函数的傅立叶级数展开式的方法教学重点：了解傅立叶级数的概念和狄立克莱收敛定理。教学难点：如何将上的函数展开为傅立叶级数教学内容：一、三角级数及三角函数系的正交性正弦函数是一种常见的而简单的函数，例如描述简谐振动的函数y=Asin(t+)就是一个以为周期的正弦函数。其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，为角频率，为初相。在实际问题

2、中，除了正弦函数外，还回遇到非正弦函数，它们反映了叫复杂的周期运动。例如电子技术中常用的周期为的矩形波。具体的说将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数组成的级数来表示，记为 （1）其中都是常数。将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明显的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成许多不同运动 的叠加，为了 以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角公式变形得 并令则（1）式右端的级数就可以写成 （2）一般的，型如（2）的式的级数叫三角级数，其中都是常数。如同讨论幂级数是一样，我们必须讨论三角级数（2）的收敛问题，以及给定周期为2的周期函数如何把 它展开成三角级数（2）为此，我们首先介绍三角

3、函数系的正交性。所谓三角函数系 （3）在区间上正交，就是指在三角函数系（3）中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零，即 以上等式，都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下利用三角学中积化合差的公式当kn时，有 其余不证。在三角函数系（3）中，两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零，即二、傅立叶级数1若以为周期的函数可展为三角函数，即， （4）我们假设上式可以逐项积分。先求,对上式从到逐项积分：根据三角函数（3）的正交性，等式右除第一项，其余都为零，所以于是得其次求用乘（4）式两端，再从到逐项积分，我们得到根据三角函数系（3）的正交性等式右端除k=n的一项处，其余各项均为零，所以

4、于是得如果（5）式的积分都存在，这时它们的系数叫函数的傅立叶系数，将这些系数代入（4）式右，所得的三角级数叫做傅立叶级数。2（Diriclilet收敛定理） 设是周期为的周期函数，如果它满足： 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内至多只有有限个极值点，则的傅立叶级数收敛，且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于例1 已知，求 设的周期为，将展开为傅立叶级数； 证明解 从而有 令，有令，有注：利用周期函数的定积分性质，有3正弦级数和余弦级数当为奇函数时，是奇函数，是偶函数，故 （5）即知奇函数的傅立叶级数是含有正弦项的正弦级数 （6）当为偶函数时，是偶函数是奇函

5、数故 （7）即知偶函数的 傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数 （8）例2 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。解 先求正弦级数。为此对函数进行奇延拓。按公式（5）有将求得的代入（6）得在端点及处级数的和显然为零，它不代表原来函数的值再求余弦级数。为此对进行偶延拓。按公式（7）有将所求得的代入余弦级数（8）得4若的周期为，则有，其中 （只需作变量代换，由2可得）5当为奇函数时，其中当为偶函数时，其中6当定义在上时要先对进行奇偶延拓，再周期延拓可将展开成正弦级数或余弦级数。小结：函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的，对非周期函数，甚至只是定义在上的函数，当它在上满足狄氏条件时，它的傅立叶级数在上收敛，而且由于其各项都有周期，故在上都收敛，其和函数是上的以为周期的函数。在之外与一般是不同的。但是，如果把定义在上的函数按周期延拓到数轴所有点上去，得到一个以为周期的新的函数，并且仍用表示这个新的函数，那么在整个数轴上就应有展开式：，若是的连续点，上式左边即是。傅立叶级数，作为一种函数的解析表达式，消除了初等函数和用几个式子联合分段表达的函数之间的界限他们都融合成为一类无穷