齿轮啮合原理习题答案

1、1. 一卵形齿轮的瞬心线方程为2111(11cos 2a e r e -=+,中心距1250a a =mm ,求当0.6e =:1节曲线2的方程;2节曲线的封闭条件;3判断节曲线的凹凸性;4传动比函数12i ;解:1根据题意可知中心距:5021=a a mm ,6.0=e 为了表示方便起见可令 : 161(21=-=e a p则根据已知条件得: 211111(1161cos 21cos 210.6cos 2a e p r e e -=+(1表示齿轮1在某瞬时所转过的转角又节曲线(瞬心线2的方程与1的节曲线(瞬心线方程有以下关系:211501cos 2pr a r e =-=-+11111112

2、11120001221112111211(1(2( r =a r =a 1cos 21cos 2cos 2=-=-+=-+表示齿轮在某瞬时所转过的转角将代如得:r r d d d i r a r p p r e e pd a p ae 112arctg =即 212t gt g = 又据二倍角公式 22111cos2cos sin =-2222222222(cos (sin (cos 22cos (cos (sin 22a p ae a p ae ae a p a p ae a p ae a p ae -+-+-=-+-+将上式代入1r ,得2121(c o s (1c o s p a p a

3、 e r a e p p e -=- 最后得节曲线2方程为:22221222(12(1cos 1cos a e ap p pr a r a e p pe e -+=-=- 即 221610.6cos r =-1由已知条件知:1cos2的变化周期为,所以齿轮1回转一圈,半径1r 变化2个周期,即12n =。若齿轮2回转一圈中,半径2r 的变化周期数为2n ,则由封闭条件有以下关系式:(n r d d n i a r =- 101cos 2pd a p ae =-+222(2ea p a p -=代入 161(21=-=e a p ,5021=a a ,6.0=e 化简,得222=n 所以: 12

4、=n故当12=n 时节曲线满足封闭条件。2节曲线的凹凸性可以由其曲率半径的正负来进行确定:不出现凹形的条件是:0>有: 3222222202+=>+- dr r d dr d r r rd d即 222220dr d r r r d d +- 由节曲线方程: 121221i ai r +=, 推出 (01121221212>''-'+i i i i 由 11222(1cos 211e i e+=-,化简得 213173.52c o s 21533.648e e e +-=->-+ 即0>成立,所以节曲线是凸形的。3所求传动比函数为:1112

5、22111(1cos 22(1cos 2111(11a e e ai r a e e +=-=-=- 2. 设I ,为共轭运动12,条件下形成的共轭曲面,求证:(1在相同的运动下,I ,的等距曲面I h ,h 亦为共轭曲面。 (2且与h 的主曲率之间存在下述关系。证明:(1根据共轭曲面的相关性质可知:共轭曲面I ,必须满足啮合方程式:即就是: 0=In v (v I表示两共轭曲面I ,的相对速度或 0(00=-+-I I I n v v r r 对其等距曲面I h ,h 在相同参数下应有:n v v R R -+-I I I(00其中 n h r R +=I I ,n h r R+= 代入上式

6、得n v v n h r n h r-+-+I I I (00n n h n h n v v r r-+-+-=I I I I (00因为 0(00=-+-I I I n v v r r,0=I n n ,0=n n 所以有 0(00=-+-I I In v v R R 即 I h ,h 也满足啮合方程式所以,在相同运动下,I ,的等距曲面I h ,h 亦为共轭曲面。(1 于曲面上任一点M ,令dr 表示径矢沿的任一主方向的微分,dR表示h 在对应点M '沿同一方向径矢的微分,则由等距曲面方程 n h r R +=得 n d h r d R d+=由罗德里克方程知 r d k n d-

7、= 式中k 曲面在点M 沿该方向的主曲率代入上式得r d hk R d 1(-=由与h 为等距曲面,所以 n n h= 即 n d n d h= 再由 n d h r d R d+=得 (r d R d hn d-=1再代入 r d hk R d1(-=,得R d hkkn d n d h -=1 即曲面h 在点M '沿该方向的主曲率:hkkk h -=1 即 1111hk k k h -=;2221hk k k h -= 3. 一平行轴渐开线斜齿圆柱齿轮传动副,轮1左旋,螺旋角1,中心距a 。求:(1I , 的方程;(2接触线方程。解:斜齿轮1为渐开螺旋面,由渐开线方程+=-=uu

8、r u r u y uu r u r u x b b b b sin cos (cos sin (110110及左螺旋面方程:-=+=-=p z u y u x y u y u x x 1001001c o s (s i n(s i n (c o s ( 得,左旋渐开螺旋面齿面I 的方程式为:-=+-+=+=p z u u r u r y u u r u r x b b b b 1111111cos(sin(sin(cos( 其中 u ,为参变量,11tg r p b =又齿面上任意一点M (1x ,1y ,1z 的法线矢量I n 为k n j n i n n z y x II I I+=11

9、1其中:cos sin sin cos 111u u r u u r p n b b x +-=I(+-=u u pr b sin 1sin sin cos cos 111u u r u u r p n b b y -=I(+=u u pr b cos 1(u r x n y n pn b y x z 2111=-=I再平行轴渐开线斜齿圆柱齿轮传动属单自由度啮合,设独立参数为1,则1212=i ,00201=v v ,021=l l ,180=此时啮合方程式为:-+=-=-I I II (1(sin cos 11112112112111y x x y n x n y i W an i V an

10、 i U W V U 代入法线矢量分量,整理的:1211211(cos(b r i u a i +-=+ 即 -=u 1 故所求接触线方程为:u(+ q + rb1u s i nu(+ q ì x1 = rb1 c o s ï y = r s i nu(+ q - r u c o s u(+ q ï 1 b1 b1 í ï z1 = - p q ï îj1 = p - u - q 化简 s 1 + rb1u s i n j1 ì x1 = - rb1 c o j ï j1 + rb1u c o j s1

11、í y1 = rb1 s i n ï z = - p (p - u - j 1 î 1 利用坐标变换 æ x2 ö æ x1 ö ç ÷ ç ÷ ç y2 ÷ ç y1 ÷ ç z ÷ = M 21 ç z ÷ ç 2÷ ç 1÷ çt ÷ çt ÷ è 2ø è 1ø 及 M 21 =

12、M 20 M 01 s1 c o j s2 -s i n j1 s i n j2 æ c oj ç s1 s i n j2 - s i n j1 c o j s2 ç- c o j =ç 0 ç ç 0 è -s i n j1 c o j s2 -c oj s1 s i n j2 sin j1 s i n j2 - c o j s1 c o j s2 0 0 0 ac oj s2 ö ÷ 0 - ac oj s2 ÷ ÷ -1 0 ÷ ÷ 0 1 ø 把接

13、触线方程式变换到坐标系 S 2 中，就可以得到 å P 的方程式 ì x 2 = x1 (cosj1 cosj 2 - sin j1 sin j 2 - y1 (sin j1 cosj 2 + cosj1 sin j 2 + a cosj 2 ï y = - x (cosj sin j + sin j cosj + y (sin j sin j - cosj cosj - a cosj 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 ï 2 ï ï z 2 = - z1 í ï x1 = -rb1 cosj1 + rb

14、1u sin j1 ï y1 = rb1 sin j1 + rb1u cosj1 ï ï z1 = - p(p - u - j1 î 化简得 å P 的方程式： ì ï x = -r cosj - r u sin j + a cosj 2 b1 2 b1 2 2 ï ï y = r sin j - r u cos j - a sin j í 2 b1 2 b1 2 2 ï j ï z 2 = p (p - u - 2 ï i21 î 4. 写出滚子直动从动

15、件或滚子摆动从动件圆柱凸轮机构的凸轮廓线 方程式。 设广义传动比 解： w1 v2 v 或 2 已给定， 坐标系及有关参数符号自定。 v 1 - 2 设：直动滚子圆柱凸轮机构的传动比为： w1 v2 = f (j ， 滚子半径为： rr = r ，圆柱凸轮的中径：R 把圆柱沿中径展开，则凸轮的轮廓曲线方程为： ì x = Rj í îy = s v2 (其中 s 为当凸轮旋转 j 角时的行程 （1） ds ds 由已知： = f (j Þ dt = f (j Þ = f (j dj w1 dj dt dx ì dx ïdj = 由（1）得： í = f (j R ÞR dy ï îds = dy 实际轮廓曲线方程为： í （ 2） （3） ì x a = x m r sin a