北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形(含答案)

1、期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形1四边形 ABCD是正方形，点 E是边BC上的任意一点，AE丄EF，且直线EF交正方 形外角的平分线 CF于点F.(1) 如图1，求证：AE = EF;(2) 如图2，当AB = 2，点E是边BC的中点时，请直接写出 FC的长.2如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE, BA交于点F，连接AC, DF .(1) 判断四边形ACDF的形状；(2) 当BC = 2CD时，求证：CF平分/ BCD .CF, EA, AC,延长EA交CF于点G.(1) 求证： ACE CBF ;(2) 求/ CGE的度数.4如图， ABC中，AD是角平分线，DE / A

2、C交AB于点E, DF / AB交AC于点F.(1) 试判断四边形 AEDF的形状.(2) 当厶ABC满足条件时，EF / BC;当 ABC满足条件时，EF = AD .5如图正方形 ABCD , E、F分别为BC、CD边上一点.(1) 假设/ EAF = 45°，求证：EF = BE+DF ；(2) 假设该正方形ABCD的边长为1,如果 CEF的周长为2 求/ EAF的度数.D F CB6.个六边形的花坛被分割成 7个局部，其中四边形 PRBA, RQDC, QPFE为正方形记正方形PRBA, RQDC, QPFE的面积分别为Si, S2, S3, RH丄PQ,垂足为H .(友情提

3、示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等)(1 )假设 PR丄QR, Si= 16, S2= 9，那么 S3=, RH =;(2)假设四边形 PRBA, RQDC, QPFE 的面积分别为 25m2、13m2、36m2 求 PRQ的面积； 请判断厶PRQ和厶DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；2 六边形花坛ABCDEF的面积是m2 .7，如下图，正方形 ABCD的边长为1 , G为CD边上的一个动点(点 G与C、D 不重合)，以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，连接DE交BG的延长线于 点H.(1)求证：厶BCGDCE .BH丄DE .(2 )当BH平分DE时，求GC的

4、长.DG1&如，图，过矩形 ABCD的对角线 AC的中点0做EF丄AC,交BC边于点E,交AD边于点F，分别连接AE、CF .(1) 求证：四边形 AECF是菱形；(2) 假设 AB = 二，/ DCF = 30°，求 EF 的长.9.：如图，在平行四边形 ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、0、F分别是 对角线BD上的四等分点，顺次连接 G、E、H、F .(1) 求证：四边形 GEHF是平行四边形；(2) 当平行四边形ABCD满足条件时，四边形 GEHF是菱形；(3) 假设BD = 2AB，探究四边形 GEHF的形状，并说明理由.AGDCBC的延长线交于点F，连结

5、 C E, DF .(1) 求证：四边形 CEDF为平行四边形；(2) 假设 AB = 6cm, BC= 10cm,/ B= 60 当AE=cm时，四边形 CEDF是矩形; 当AE=cm时，四边形 CEDF是菱形.11.如图，在四边形 ABCD 中，AD / BC, AB = 8, AD = 16, BC= 22 , / ABC = 90°，点 P从点A出发，以每秒1单位的速度向点 D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒.(1 )当v= 3时，假设以点P, Q和点A, B, C, D中的两个点为顶点

6、的四边形为平行四 边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求 t的值；(2)假设以点P, Q和点A, B, C, D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出 t的值.E，使得CE = DC,连接BE.(1) 求证：四边形 ABCD是菱形.(2) 填空：当/ ADC =。时，四边形 ACEB为菱形;13.如图，在矩形 ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分 AM，分别交BC, AM , AD于 点 E, O, F，连接 AE, MF .(1)求证：四边形AEMF是菱形；(2)假设AB= 6, H为AB的中点，连接OH交AE于点P, OH + OA= 9,求厶OPE的

7、周长.14在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接 AP、AQ.(1)如图(1),求证：AP = AQ ；(2)如图(2),连接PQ、AC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的 等腰三角形.为CE的中点，接 DF、BF , BG丄BF与AC交于点G ;(1 )假设AB = 2,求EF的长；(2)求证：CG - EF =二BG .n参考答案1. ( 1)证明：如图1，在AB上截取BM = BE,连接ME ,/ B= 90°,/ BME = Z BEM = 45°,/ AME = 135°=/ ECF ,/ AB= BC, BM = BE,

8、AM = EC,在厶AME和厶ECF中,ZAJIIE=ZECFAMEBA ECF (ASA), AE= EF ；(2)解：取AB中点M，连接EM , AB= BC, E为BC中点，M为AB中点，AM = CE = BE,BME = / BME = 45°,AME = 135°=/ ECF ,V/ B= 90°, / BAE+/ AEB = 90°,V/ AEF = 90°, / AEB+/ FEC = 90°, / BAE =/ FEC ,在厶AME和厶ECF中AM=EC,ZAffiE=ZECF AME ECF (ASA), EM =

9、CF,V AB= 2,点E是边BC的中点，BM = BE = 1 , CF = ME =.)、，.E2S3i2. ( 1)解：四边形 ACDF是平行四边形，理由如下：四边形ABCD是矩形， AB/ CD，/ BCD =Z B = 90°,/ FAE =Z CDE ,T E是AD的中点， AE= DE ,rZFAB=ZCDE在厶FAE和厶CDE中，他=DE,ZAEF=ZDEC FAE BA CDE (ASA), CD = FA,又 CD / AF,四边形ACDF是平行四边形；(2)证明：T BC = 2CD , AB = CD，四边形ACDF是平行四边形, AF = CD , BF =

10、 BC, BCF是等腰直角三角形， / BCF = 45 ° ,./ DCF = 45°, CF 平分/ BCD .3. ( 1)证明：t AB= AC,/ ABC = 60°, ABC是等边三角形, BC= AC,/ ACB =Z ABC,/ BE= AF , BE+BC= AF+AB,即 CE = BF,fCE=BF在厶 ace 和厶 cbf 中acb二Nabc,BC=AC ACEBA CBF (SAS)；(2)解：由(1)可知： ABC是等边三角形， ACE CBF ,/ E=/ F,/ BAE =/ FAG ,E+/ BAE = / F + / FAG ,

11、CGE=/ ABC,/ ABC= 60 ° , / CGE= 60°.4解：(1)四边形AEDF是菱形；理由如下：DE / AC 交 AB 于点 E, DF / AB 交 AC 于点 F ,四边形AEDF是平行四边形，/ EAD = / ADF ,/ AD是厶ABC的角平分线，/ EAD = / FAD ,ADF = / FAD , FA = FD ,四边形AEDF是菱形；EF(2)当厶ABC满足 AB= AC条件时，EF / BC ;当厶ABC满足/ BAC = 90°条件时,=AD .理由如下：由(1)得：四边形AEDF是菱形， AD 丄 EF, AB= AC

12、, AD是角平分线， AD丄 BC, EF / BC;当/ABC= 90。时，四边形 AEDF是正方形， EF = AD ;故答案为：AB= AC,/ BAC= 90°.5. ( 1)证明：如图，延长CD至E'，使DE'= BE,连接 AE',四边形ABCD为正方形，AB= AD = CB = CD, / BAD = / B = 90°,/ ADE' = 90°=/ ABE,在厶ADE'和厶ABE中，.乙加 =ZABE,=BE ADE' ABE (SAS), AE' = AE,/ DAE'=/ BAE

13、,/ EAF = 45°, / DAF + / BAE = 45°, / DAF + / DAE'=/ E'AF = 45°=/ EAF ,=AE 在厶 E' AF 和厶 EAF 中，* ZE，AFZE髭F,AF=AF E' AFBA EAF ( SAS), E' F= EF,/ E' F = DE ' +DF = BE+DF , EF = BE+DF ;(2)延长 CD 至 E'使 DE'= BE,连接 AE', 由(1)知， ADE' ABE (SAS), AE'

14、= AE , / DAE'= BAE ,设 BE = x , DF = y ,正方形ABCD的边长为1 , CE= 1 - x , CF = 1 - y , CEF的周长为2 , CE+CF + EF = 2 , 1 - x+1 - y+EF = 2 ,EF = x+y= BE+DF = DE'+DF = E'F ,rAEy 二AE 在厶E'AF和厶EAF中， FEF ,AF=AF E'AF EAF ( SSS,/ E'AF = Z EAF ,/ DAE'+ / DAF = Z BAE+ / DAF =Z EAF ,/ DAF + / E

15、AF+ / BAE = 90°,/ EAF = 45°.6. 解：(1)v PR丄QR,/ PRQ= 90 ° ,2 2 2 pr2+rq2= pq2,T Si = 16, S2= 9, . S3= 16+9= 25, PR= 4, RQ= 3, PQ= 5,/ RH 丄 PQ,-PR?RQ= PQ?RH, RH=12 一-,故答案为：25, 2.4;(2)设 PH = a，贝V QH = 6 - a, / RH2= PR2 - PH2= RQ2- HQ2,2 2 25 a = 13 ( 6 a),解得：a = 4,RH2= PR2 PH2=25 16=9, RH

16、= 3,二 Spqr= x 6x 3 = 9;2 Sprq= Sdqe,证明：延长 RQ到点M，使QM = RQ,连结PM ,/ QD = QM，/ DQE = Z MQP , QE = QP DQEBA MQP ( SAS),SaDQE= SaMQP ,'/ RQ= QM,-SaPRQ= SaMQP ,- SaPRQ= SaDQE；2110m2. 六边形花坛 ABCDEF的面积=25+13+36+4 x 9= 74+36 故答案为：110.7. ( 1)证明：正方形 ABCD,/ BCD = 90° , BC= CD ,同理：CG = CE ,/ GCE= 90 °

17、; ,/ BCD = Z GCE= 90° ,fBC=CD，ZBCDZGCE90fl ,CG=CE BCGBA DCE (SAS),/ GBC=Z CDE,在 Rt DCE 中/CDE + Z CED = 90°,/ GBC+ / BEH = 90°,/ BHE = 180。-(/ GBC+ / BHE)= 90° , BH 丄 DE ；(2 )假设BH垂直平分DE，连接BD , BD = BE, BD =二CG = CE= BE - BC =1.Z?ABc'E&解：(1)证明： O是AC的中点，且 EF丄AC, AF = CF , AE

18、 = CE, OA = OC ,四边形ABCD是矩形， AD / BC,./ AFO = Z CEO,在厶AOF和厶COE中，fZA?0=ZCE0 ZA0F=ZC0E,OAOC AOF COE (AAS), AF = CE,AF = CF = CE = AE,四边形AECF是菱形；(2)四边形ABCD是矩形， . CD = AB= 二，在 Rt CDF 中，cos/ DCF =.,/ DCF = 30° ,CF CF =_辺_= 2-CF = ：=2,四边形AECF是菱形,CE= CF = 2.9. ( 1)证明：连接AC,如图1所示:四边形ABCD是平行四边形， OA= OC, O

19、B = OD ,.BD的中点在AC 上,/ E、0、F分别是对角线BD上的四等分点, E、F分别为OB、0D的中点, G是AD的中点， GF AOD的中位线, GF / OA, GF = OA,2同理：EH / OC , EH = OC ,2 EH = GF , EH / GF , 四边:形GEHF是平行四边形;(2)解：当？ABCD满足AB丄BD条件时，四边形 GEHF是菱形；理由如下: 连接GH，如图2所示：那么 AG = BH , AG / BH ,四边形ABHG是平行四边形， AB / GH ,/ AB丄 BD , GH 丄 BD, GH 丄 EF ,四边形GEHF是菱形；故答案为：A

20、B丄BD ;(3)解：四边形 GEHF是矩形；理由如下:由(2)得：四边形 GEHF是平行四边形， GH = AB,/ BD = 2AB,AB= BD = EF ,2.GH = EF ,.四边形GEHF是矩形.10. (1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.CF / ED,/ FCD = Z GCD , G是CD的中点，CG = DG,fZFCG=ZEDG在厶FCG和厶EDG中，匚CGDGZCGF=ZDGE CFGEDG (ASA), FG= EG,四边形CEDF是平行四边形；(2)解：当AE= 7时，平行四边形 CEDF是矩形,理由是：过A作AM丄BC于M ,/ B= 60°,

21、AB = 6, BM = 3,四边形ABCD是平行四边形， / CDA =Z B= 60°, DC = AB= 6, BC= AD = 10,/ AE= 7, DE = 3= BM ,fBK=DE在厶 MBA 和厶 EDC 中，* ZB=NCDA，AB=rCD MBA EDC ( SAS),/ CED = Z AMB = 90°,四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是矩形，故答案为：7；当AE= 4时，四边形CEDF是菱形，理由是： AD = 10, AE = 4, DE = 6,/ CD = 6,/ CDE = 60°, CDE是等边三角形， CE= DE

22、,四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是菱形，故答案为：4.11 解：(1 )当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时,/ AP/ BQ,当AP = BQ时，四边形 APQB为平行四 边形.此时，t = 22- 3t, t=.当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时, PD / QC,当PD = QC时，四边形PQCD为平行四“边形. 此时，16 - t= 3t, t= 4, 线段PQ为平行四边形的一，边，故当t='或4时，线段PQ为平行四边形的一边.2(2)当PD = BQ= BP时，四边形PBQD能成为菱形.由 PD = BQ,得 16 - t = 22-

23、 3t,解得 t= 3,当 t = 3 时，PD = BQ= 13, AP = AD - PD = 16 - 13= 3.在Rt ABP中，AB = 8,根据勾股定理得，BP叮厂卫工13四边形PBQD不能成为菱形；如果Q点的速度改变为 vcm/s时，能够使四边形 PBQD在时刻ts为菱形，f16-t=22-vt(由题意得，解得，''./ 64+广I v=2故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形 PBQD在t= 6时为菱形.12. (1)证明： AC垂直平分BD , AB= AD , BF = DF ,/ AB/ CD ,/ ABD = Z CD B./ AFB = Z CFD

24、 , AFB CFD (ASA), AB= CD .又 AB / CD,四边形ABCD是平行四边形，/ AB= AD ,平行四边形 ABCD是菱形；(2)当/ADC = 60°,四边形 ACEB为菱形,/ ADC = 60°,/ BCE= 60 ° , BCE是等边三角形， CE= BE,四边形ACEB为菱形，故答案为：60;当/ ADC = 90°, BE = 4 时，DE = 4 二,故答案为：413. (1)证明： EF垂直平分AM , AE= EM , OA = OM .四边形ABCD是矩形， AD / BC.'ZAEO=ZMEO./ A

25、FO = Z MEO，在 0尸和厶 MOE 中，,OA=OW AOF MOE (AAS). OF = OE.四边形AEMF是平行四边形./ AE= EM .四边形AEMF是菱形；(2)解：T O、H分别为AM、AB的中点， BM = 2OH , AM = 2OA, AM+BM = 2OA+2OH = 18.设 BM = X,贝U AM = 18 - x,在Rt ABM中，由勾股定理得：62+x2=( 18 - x) 2,解得：x= 8, BM = 8, AM = 10. OA AM = 5,设 EM = m,贝V BE = 8 - m, AE= EM = m,2 2 2在Rt ABE中，由勾股定理得：62+ 8 -m = m2,95解得：m=,夕5 AE= EM =4在Rt AOE中，EO =三辽丄;./ OP/ EM,0A 1PE O