勾股定理思维导图题型的总结

1、实用标准文案精彩文档实用标准文案(一)勾股定理1：勾股定理如果直角三角形 的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c, 那么 a2+b2 c2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.弦要点诠释：勾股2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中，C 90 ，则 ca2b2， bc2a 2，ac2b2）（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（ 3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图

2、的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变baa根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理ccbc常见方法如下：bcaab122DC方法一： 4SS正方形 EFGH4ab(b a)cS正方形 ABCD，2，化简可证HEGF方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积bacBAS41ab22ab2四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2ccAaD222222cb大正方形面积为 S(ab)a2abb所以 abccEa1 (a1 ab2BbCS梯形b)( ab)S梯形2S ADES ABE21 c，化简得证

3、方法三：2，22精彩文档实用标准文案4：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2b 2c2中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记住常见勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ；5,12,13 ；7,24,25 ；8,15,17 ；9,40,41 等用含字母的代数式表示n 组勾股数： n21,2n,n 21 （ n 2, n 为正整数）；2n1,2n 22n,2 n 22n1 （ n 为正整数） m2n2 ,2mn, m2n 2 （ mn, m ， n 为正整数）5、注意：（ 1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与

4、代数恒等式的关系相互转化证明的。（ 2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。（ 3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。A（ 4）推理格式： ABC为直角三角形c222222b AC +BC=AB.（或 a +b =c ）CaB（二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（ 1）首先确

5、定最大边，不妨设最长边长为： c；（ 2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2 a2+b2，则 ABC是以 C为直角的直角三角形（若 c2>a2+b2，则 ABC是以 C 为钝角的钝角三角形； 若 c2<a2+b2，则 ABC为锐角三角形） 。精彩文档实用标准文案（定理中 a ， b ， c 及 a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ， c 满足 a 2c2b2，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定

6、定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。六、随堂练习1在 Rt ABC 中，C90 ，A、B 、C 的对边分别为 a 、 b 和 c若 a2 ， b4 ，则 c =； 斜边上的高为.若 b3 ， c4 ，则 a =.斜边上的高为.a3， b_ . 斜边上的高为.若 b2 10 ，则 a =，且 cb1， b_ . 斜边上的高为.若 c2 ，且 a3 3 ，则 c =2正方形的边长为 3，则此正方形的对角线的长为

7、.3正方形的对角线的长为 4，则此正方形的边长为.4有一个边长为dm 50 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长5一旗杆离地面 6 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，求旗杆折断之前有多高？精彩文档实用标准文案6. 如图，一个 3m 长的梯子 AB斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5m ，如果梯子顶端 A沿墙下滑 0 .5m ，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰长是10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。2、已知：如图， B=D=90°， A=60

8、76;， AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD的面积。ADBC3：在ABC中， AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC的长为多少？A4：已知如图，在 ABC中，C=60°， AB=43 ，AC=4，AD是 BC边上的高，求 BC的长。CDB5、如图，在 Rt ABC中， ACB=90°， CDAB于 D，设 AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。C111求证：（ 1） a 2b2h2（2） a b chADB（ 3）以 ab， h， ch为三边的三角形是直角三角形练习6. 如图， ABC中， AB=AC， A=45o ，AC的垂直平分线分别交AB、AC于 D

9、、 E，若 CD=1，则精彩文档实用标准文案BD等于 ()A1BCD7. 已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+ 6 ，求这个三角形的面积8. 如图 Rt ABC ，C90AC3,BC4 , 分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB6. 如图， ABC中， AB=AC=20，BC=32，D 是 BC上一点，且 AD AC，求 BD的长7. 如图， ABC中， ACB=90°，AC=BC，P 是 ABC内一点，满足 PA=3，PB=1，? PC=2，求 BPC的度数8. 已知 ABC中， ACB=90°， AC=3,BC=4,（1）AD平分 BAC,交 BC于 D

10、点。求 CD长（ 2） BE平分 ABC,交 AC于 E，求 CE长BBDAECAC精彩文档实用标准文案专题二勾股定理的证明1、如图，直线 l 上有三个正方形 a， b， c ，若 a， c 的面积分别为 5b和 11，则 b 的面积为（）acl（） 4（） 6（） 16（） 552、如图是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和 EF 都是正方形 . 证： ABF DAEAEHDBFGC3、图是一个边长为( mn) 的正方形，小颖将mn m图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）n mn图图22222第 3题图A (m

11、n) (m n)4mnB (m n)(mn ) 2mnC (mn)22mnm2n2D ( m n)(m n) m2 n2专题三网格中的勾股定理1、如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（ A） CD、EF、GH （ B） AB、EF、GH （ C） AB、CD、 GH （ D） AB、CD、EFAC精彩文档B实用标准文案2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是（）AA0B 1C 2D 3B3、（ 2010 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为C1，A、B、C是

12、小正方形的顶点，则 ABC的度数为（）AA90° B 60°C 45°D 30°4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得ABC，则C边 AC上的高为（）32B.35C.35D.45A. 21055B5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、的三角形所画的三角形是直角三角形吗 ?说明理由6、如图，每个小正方形的边长是 1，在图中画出面积为 2 的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边 D 点 1.

13、5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.精彩文档实用标准文案2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 千米

14、/ 时的速度沿北偏东 30o 方向往 C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响 .（ 1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？专题五梯子问题精彩文档实用标准文案1、如果梯子的底端离建筑物9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（ 1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子 AB斜靠在墙面上

15、， ACBC，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿 AC方向下滑 x 米时，梯足 B 沿 CB方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（）A. x yx yx yAB.C.D.不能确定BC专题六最短路线1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了（）步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草A 、6B、5C 、 4D、 32、如图，一圆柱体的底面周长为20 ，高 AB为 10， BC是上底面的直径。一蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。CBAD3、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 ，高 A

16、B为 10 ，在圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？C精彩文档实用标准文案4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD 是杯底直径， C 是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A处爬到杯子的内壁到达高 CD的中点 E处，最短该走多远呢？ ( 杯BC子的厚度不计）EAD5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1 米，且封闭的正方体盒子外部的顶点A 向顶点 B 爬行，问B这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？A6、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B 到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬

17、到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？CB2010A157、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A 和 B 是台阶上两个相对的顶点， A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B 点的最短路程是多少？.B精彩文档0.22A03实用标准文案专题七 折叠三角形1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6， BC=8。现将直角边 AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE重合，求 CD的长AECDB2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A 与 B 重合，A折痕为 DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求

18、出 CE的长吗？DCEB3、如图 , ABC的三边 BC=3，AC=4、AB=5,把 ABC沿最长边 AB翻折后得到 ABC，则 CC的长等于（）AC'6121324A. 5B.5C.5D.5CB专题八折叠四边形1、折叠矩形 ABCD的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F 处, 已知 AB=8CM,BC=10CM,求（ 1）CF的长（2）EC的长 .AD精彩文档EBCF实用标准文案2、在矩形纸片 ABCD中， AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为AEBEF，求（ 1） DE的长；（ 2）EF 的长。DFCC'3. 矩形纸片 ABCD的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿 EF折叠，使点 A 与点 C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色