2019-2020年高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷

1、A1围成一个正六边形A2B2c2D2E2F2,如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是B1A：F：F1B2E；a：3一,2.已知正整数 a1, a2,| ,a10满足:>一，1 wi < j w 10,贝U 加a 2C2C1D：E12019-2020年高中数学联赛（上海）赛区竞赛试卷、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.如图，正六边形AB1GD1E1F1的边长为1,它的6条对角线又D1的最小可能值是cot P cot cot cot ：17,贝U tan I) '=17-4-3 .右tana+tanP+tan,cota+cotP+cot/=-

2、,cotacotPan,n = 1,2,|l| .若4 .已知关于x的方程均（4）=2刈（乂+1）仅有一个实数解，则实数k的取值范围是5 .如图，MEF是边长为x的正方形ABCD的内接三角形，已知/AEF=900,AE=a,EF=b,a>b.贝Ux=6 .方程2m3n3n+2m=13的非负整数解（m,n尸7 .一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率（用数字作答）8 .数列定义如下：ai=1,a2=2,an+2="n-"an+-nn12n2n2n1n22011一，一.>

3、x + y+z22.+右,则正整数m的最小值为二、解答题9 .(本题满分14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=x,BC=1,对角线AC与BD的夹角ZBOC=45%记直线AB与CD的距离为h(x).求h(x)的表达式，并写出x的取值范围.10 .(本题满分14分)给定实数a>1,求函数f(x)=(a+Sinx)(4+sinx)的最小值.1sinx11 .(本题满分16分)正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz+zx=4,求证:/、4(1) xy+yz+zx之一;3212 .(本题满分16分)给定整数n(占3),记f(n)为集合1,2,川，2n-1的满足如下两个条件的子集A的元素个数

4、的最小值：(a) 1wa,2n_1wA；(b) A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和.(1)求f(3)的值；(2)求证：f(100)<108.2012年上海市高中数学竞赛答案1、9.34、923、11-二,0IJa5、2a,a2(a-b)2、3,0,2,27、40259.解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得OB2+OC2(AB2+BC2)=；(x2+1).(2分)在AOBC中,由余弦定理_222BC=OB+OC2OBOCcos/BOC,所以OB2+OC2-V2OBOC=1,由，得(5分)一一1.所以ABCDx -1OB OC =.2,2:OBC42OBOCi

5、n一一一x27&OBOC=,x27ABh(x)一12，所以h(x)=x2-12x(10分)由可得，x2-1>0,故xA1.因为OB2+OC2之2OBOC,结合，可得1,2x2-1(x2+1)>2.,22,2解得（结合x>1）x2-1(14 分)综上所述，h(x)=,1<xwV2+1.2x10.解f(x)=(asinx)(4sinx),.3(a-1)-=1+sinx+a+2.1sinx1sinx当1ca<7时，0<J3(a1)E2,止匕时33(a-1)f(x)=1+sinx+a+2>2j3(a-1)+a+2,1sinx'且当sinx=/(

6、a-1)一1华(一1,1)时不等式等号成立，故fmin(x)=2j3(a1)+a+2.(6分)J3(a-1)=2,此时“耐克”函数y=t+3(a；1)在(0,3(a1)内是递减，故此时fmin(x)=f(1)=23(a2-1).a2=5(a1)2综上所述,72.3(a-1)a2,1:a_-;fmin(x)=35(a1)a7,a-.23(14分)11.证（1）记1=Jxy+yz+zx由平均不等式:33/xyzn1：3(xy)(yz)(zx)2一过所以yzzx3(4分)3.24=9xyz+xy+yz+zxW9t+3t,2(3t-2X3t+3t+2)20,一22而3t+3t+2>0,所以3t-

7、220,即t之一，从而(10 分)3所以(x+y+z)244,故x+y+zA2.(16分)12.解(1)设集合A三1,2,111,231,且A满足(a),(b).则1亡A,7wA.由于l,m,7(m=2,3,|,6)不满足(b),故|Aa3.又；1,2,3,7小：1,2,4,7),；1,2,5,7),；1,2,6,7),；1,3,4,71,；1,3,5,71,；1,3,6,7)，1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足(b),故A>4.而集合1,2,4,6,7满足(a),(b),所以f(3)=5.(6分)(2)首先证明f(n+1)<f(n)+2,n=3,4,用.事实上

8、，若A£1,2j|,2n-1,满足(a),(b),且A的元素个数为f(n).令B=Alj2n42,2n41,由于2n*2>2n1,故B=f(n)+2.又2"-2=2(2n-1),2n噌-1=1+(2e-2),所以，集合B1,2,|,2n+-1,且B满足(a),(b).从而f(n+1)<|B=f(n)+2.(10分)其次证明：f(2n)<f(n)+n+1,n=3,4,|.事实上，设A£1,2，川,2n-1满足(a),(b),且A的元素个数为f(n),令B=AU2(2n-1),22(2n-1)，,2n(2n1),22n-1),由于2(2n-1)<22(2n-1)<111<2n(2n-1)<22n-1,所以B三1,2,|,22n1,且B=f(n)+n+1.而2k书Qn1)=2k(2n-1)+2k(2n-1),k=0,1,|,n-1,22n-1=2n(2n-1)+(2n-1),从而B满足(a),(b),于是f(2n)<|=f(n)+n+1.(14分)由，得f(2n+