基本不等式学习知识梳理

1、基本不等式【考纲要求】1 .了解基本不等式 Tab a-b的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号 "方2取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2 .会用基本不等式 Tab a-b解决最大（小）值问题.23 .会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1 .重要不等式：如果a,b R,那么a2 b2 2ab （当且仅当a b时取等号“="）.2 .基本不等式：如果a,b是正数，那么ab Tab （当且仅当a b时取等号“="）.2要点诠释：a2 b2 2ab和a一-Vab两者的

2、异同：2（1）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求 a,b都是正数;(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b时取等号”。22,、22_ 、一a b a b 、一a b 2(3) a b 2ab可以变形为： ab , JOb可以变形为： ab ().2223.如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC a,BC b ,过点C作DC AB交圆于点D,连接AD、BD.易证 Rt ACD Rt DCB ,那么 CD2 CA CB ,即 CD Tab.这个圆的半径为ab,它大于或等于CD,即ab Jab,其中当且仅当点 C与圆心重合，即a b 22时，等号成

3、立.a b要点诠释：1.在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称Jab为a,b的几何平均数.因此基本不2等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,一.a b 一2.如果把a看作是正数a,b的等差中项，5ab看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以2叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项考点二：基本不等式疝b的证明21 .几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a、b,那么正方形的边长为 Ja2 b2。这样,4个直角三角形22的面积的和是2ab,正万形ABCD的面积为a b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以

4、：a2 b2 2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b时，正方形EFGH缩为一个点，这时,2,2有 a b 2ab。得到结论：如果a,b R+,那么a2 b2 2ab （当且仅当a b时取等号“二”）特别的，如果a 0, b 0,我们用 几、Jb分别代替a、b,可得：如果a 0, b 0,则a b 2。而，（当且仅当a b时取等号“="）.通常我们把上式写作：如果 a 0, b 0jab a-b ,（当且仅当a b时取等号“=”）22.代数法22_2. a b 2ab （a b） 0,2_当 a b 时，（a b） 0；. 一 .2当 a b 时，（a b） 0 .22所以（

5、a b ） 2ab,（当且仅当a b时取等号“="）.特别的，如果a 0, b 0,我们用、而分别代替a、b,可得：如果a 0, b 0,则a b 2保，（当且仅当a b时取等号“二"）.通常我们把上式写作：如果a 0, b 0,病 ab ,（当且仅当a b时取等号“="）.2a b要点三、用基本不等式 Jab 求最大（小）值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点四、几个常见的不等式 2

6、21） a b 2ab a,b R ,当且仅当a=b时取“二”号。2） - aab a,b R ,当且仅当a=b时取"="号。 2、a b13） 2 a b 0 ；特力1J地：a 2 a 0 ；b aa、a2 b24)、-2aba,b R5) a4 a,b【典型例题】类型一:基本不等式b .-的理解2例1. a 0, b 0,给出下列推导，其中正确的有（填序号）1（1） a b:的最小值为2亚； .ab,、11 ，（2） （a b）（一石）的最小值为4；1（3） a 的最小值为 2.a 4【解析】（1） ; （2）(1) a0, b 0, - a b< 2dab/一

7、ab、. ab2近（当且仅当a b及时取等号）.20, b0, .(a1b)( 一ab) 2ab W4 （当且仅当a b时取等号）(3) at 4 2(a 4)1 4 a 4a 42,3时取等号），1 rr(当且仅当a 4 即a 4 1, aa 4一，八什 r1a 0,与a 3矛盾，上式不能取等号，即 a 2a 4【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可举一反三:【变式1】给出下面四个推导过程: x,y R , . lgx lg y 2Jlg x 1g y ；2, ( x)( y) 2.y xA.B.C.D.【解析】a,b R ,R ,符合基本不

8、等式的条件，故推导正确.x, y R , xy 0,-(-)(-)y x y x其中正确的推导为()虽然x,y R，但当x (0,1)或y (0,1)时，lgx,lg y是负数，的推导是错误的4八4由a R,不符合基本不等式白条件， 一a 2卜 a 4是错误的 aa由xy 0,得丫，3均为负数，但在推导过程中，将整体 x yx y , ,xy、工提出负号后，(一)(工)均变y xyx为正数，符合基本不等式的条件，故正确.选D.【变式2】下列命题正确的是()-1 ，A.函数y x 一的最小值为2.C.函数y 2 3x 4(x 0)最大值为2 4M xB.函数y x=的最小值为2x2 2一4，一，

9、D.函数 y 2 3x -(x 0)的最小值为2x1-【解析】A选项中，.x 0,，当x 0,时由基本不等式x - 2； x，c ,1-，当x 0时x 2 .，选项A错误.xx2 3 x2 2 1 _1B 选项中,y j- Jx2 -/的取小值为 2x2 2x2 2x2 2(当且仅当Jx2 2 1时，成立)但是Jx2 2 2, .这是不可能的.，选项B错误.4 _4C 选项中，.x 0, - y 2 3x - 2 (3x -) 2 4V3 ,故选项 C 正确。xx类型二：利用基本不等式 Tab ab求最值一 .20,则aaba(a1，一的最小值是b）A. 1B.C. 3D.【解析】aba(a

10、b)abababa(a b)a(ab)a(ab)(ababa(ab)当且仅当1 a(ab)即a【解析】因为abf(x)ab0,求 f (x)0,所以x9(4x _)x、, 2, b-2时取等号24x 9的最大值. x0,由基本不等式得：(4x) ( x) 2, ( 4x)(9) x2.36 12,，9 r（当且仅当 4x 一即x.3故当x 一时，f (x) 4x23时，取等号）29取得最大值12.x【变式2】已知x 0,求f （x） 204x的最大值.x【解析】x 0, ( x)2( x) 4x4 （当且仅当，即x 2时，等号成立）f(x)2044( x) x20 44 （当且仅当4八，一，一

11、,即x 2时，等号成立）x故当x2时，f（x）的最大值为4.例3.已知a>0,1b > 0, a+ b = 2 ,则 y= 一 a的最小值是7A. 2B. 4C.D. 50,b0,答案选C【变式1】【解析】一.10,1 14、，()(a2 ab0,y 0,且 2 x0,282x y1b) 2(52(5 21,求xy的最小值.xy，2（当且仅当一 x4, y 16时，等号成立） xy64 （当且仅当x4,y 16时，等号成立）故当x4, y 16时,xy的最小值为64.【变式2】已知x>0 , y>0,且9 1,求 x+y y的最小值。-19,【解析】 一 一 1 , -

12、 x yx y(x 19v) 一 一y 9x10 -（当且仅当时，取等号）八 八 y 9x. x>0 , y> 0, . . x y9x,即y=3x y.x=4 , y=12y=12 时，x+y取最小值16。类型三：基本不等式应用例4.设x, yR ,xy 1，求证:11(x -)(y -)254【证明】2542xy25 dxy 14257xy33Txyxy8 xyQ xy成立【变式1】【例5】若a(2)求证:xy已知8 xy(当且仅当(2015 春3,求证: a东城区期末(a3)已知a2/3(a 3)a5，等号成立)0,b 0,c 0,1，1的值为 c2.4 31.(1)由题意可

13、得(2)由题意和基本不等式可得1 _一带入计算可得32Vab 0, a c0, b2.bc 01/1/1 , abc,abc,abc-1-1-111a b cabcb c a c a b 2 bc 2 , ac 2、, ab8a b c a b c举一反三:【变式】(2015 石家庄一模)已知函数f Xjx 1 |x 3|m的定义域为r.(1)求实数m的取值范围 (2)若m的最大值为n ,当正数a、b满足 一2 1 n时，求7a+4 b的最小值.3a b a 2b【解析】(1)因为函数的定义域为 R,x1x3m0恒成立设函数g x x 1 x3则m不大于g x的最小值Q x1x3x1 x 34

14、即gx的最小值为4, m 4(2)由(1)知 n=42 1 43ab a 2b1 217a 4b 6a 2b a 2b 4 3a 2b a 2b1 二 2 3a 2b 2 a 2b 1 二。3a 2b a 2b 955 2 2,4 a 2b 3a b 4，a 2b 3ab 4当且仅当a 2b 3a b时，即b2a时取等号r97a 4b的最小值为一4类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈， 平面图为矩形, 面积为112m2,预计(1)修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25% , (2)拆去1m旧墙用以改造建 成1m新

15、墙的费用是建1m新墙的50%, (3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出 1m的空缺。试问：这里 建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为 xm，则拆改成新墙的旧墙为 （12 x）m,112224于是还需要建造新墙的长为2 （x 1） （12 x） 2x 13.xx设建造1m新墙需用a元，建造围墙的总造价为y元，,224贝U y x a 25% （12 x）a 50% （2x 13）axa（7x 当 7） a（28、2 7） 4 x“ 7x 224 r-,（当且仅当 即x 842时，等号成立）4 x故拆除改造旧墙约为1