《1.1.1、2变化率问题、导数的概念》同步练习1

1、1.1.1、2变化率问题、导数的概念同步练习基础巩固练习?选择题(每小题3分,共18分)21.(2014烟台高二检测)已知函数y=f(x)=x+1,则在x=2, Ax0.1时,Ay勺值为()C.ki=k2D.无法确定A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44【解析】选B.由函数值的增量公式Ayf(X0+ Ax)-f(x0),得A yf(2+0.1)-2 2f(2)=(2+0.1) +1-(2 +1)=0.41.2.一质点运动的方程为s=5-3t2，则在一段时间1,1 + At内相应的平均速度是A.3 A+6B.-3 A+6D.-3At【解析】选D.平均速度临:嘗="心=-3 A

2、t,故选D.C.3A-6AtTA As3.直线运动的物体，从时间t到t+ 时,物体的位移为 A,那么llm为at-*o AtA.从时间t到t+ A时，物体的平均速度B.时间t时该物体的瞬时速度C.当时间为时该物体的速度D.从时间侄U t+ A时位移的平均变化率【解析】选B根据导数的意义解答.2监詈=s'(t),即为时间附该物体的瞬时速度.4.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1厂2)及附近一点(1 +酗一2 + Ay),则学A.4B.4XC.4+2AXD.4+2(Ax/【解析】选 C.Ay2(1+ AX2-4-2 1+4=4 Ax2( A2, 所以巴=MZ®严=4+2

3、 AxAx5.函数f(x)=x2在x。到X0+A之间的平均变化率为 k1,在X0- A到X0之间的平均变化率为 k2,则Axki,k2的大小关系是()A.ki<k2B.ki>k2【解析】选D.因为k1=f伽+加）-心訂=2X0+ A,k2=f斶一臥fx0-AxAxdx又可正可负且不为零，所以k1,k2的大小关系不确定.【误区警示】本题易因对平均变化率的定义式理解不透而导致错选C.6.设函数f（x）在点X0附近有定义，且有f（x0+AX-f（X0）=a Axb（AX2（a,b为常数）,则（）Af (x)=aBf (x)=bCf (X0)=aDf (X0)=b【解析】选C.因为f（x0

4、+ AX-f（x0）=a Axb（ AX2（a,b为常数）,所以耳®"*）尸（曲0=a+b AxAx所以 f'（X0）= lim 陛込djim （a+b AX=a.AktO4kAktO二？填空题（每小题4分,共12分）7. （2014 太原高二检测）若 f（X0）=i,则 lim 哄-如【解题指南】根据导数的定义式krOZk，把原式进行一系列变形，凑定义式的结构形式.【解析】hm IF J wk*02k二lim 上如丄2 k-*0-kZ答案:丄2【变式训练】（2014揭阳高二检测f （X0）=lim 住上血Jf（3）=2,f （3）=-2,则x-x。liinl凹kt

5、3k一32龙-刚X3Jim 2x7呛HSf-3魁) kYk-3x3【解析】limK3=-3血型叫 x-3k-31 -2fx3)=-3f' (3)+ lim=-3f'+2=8.答案：88.函数y=3x2在X=1处的导数为2 AyAy【解析】方法一 :Ayf(1+ A-f(1)=6 A+3( A)2,所以一=6+3 备故 Hm =6.AxAx-*O AxA.16( B.643x3X1方法二：利用极限求解，y' lx=1=IimxtI x-1=limL)=lim3(x+1)=6.x-*l X 1ktI答案：629.(2014西宁高二检测)一物体位移s和时间t的关系是s=2t-

6、3t，则物体的初速度是【解析】平均速度=忖=23,当t趋向0时,平均速度趋向2,即初速度为2.答案：2时刻的速度为7.【变式训练】已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=【解析】lim空岂上型=nm(6 A+12t-5)在 tTOAtAt-iO=12t-5=7,t=1.答案：1三？解答题(每小题10分，共20分)210.若函数f(x)=-x+x在2,2+ A( A>0)上的平均变化率不大于 -1,求的范围.【解析】因为函数f(x)在2,2+ A上的平均变化率为：巴-坐如型Ax一住也 3£严卡(2+Ax)-(- 4 +2)Ax=-3- A),Ax所以由-3- AX

7、-1,得 A X -2.又因为A X0,即的取值范围是(0,+ g).211.(2014聊城高二检测)求函数y=x +ax+b(a,b为常数)的导数.【解析】因为 Ay(x+AX+a(x+ AX+b-(x +ax+b)=2x Ax( A)+a x(2x+a) A x( A),故f2x+aAy limAx一= =(2x+a)+ A,nm n(2x+a+ AX=2x+a,所以 y' =2x+a.AkAxAx-*O ax ihctu能力提升训练一 ？选择题(每小题4分,共16分)1.(2014西安高二检测)物体的运动方程是s=-4t2 + 16t,在某一时刻的速度为零，则相应时刻为()A.t

8、=1B.t=2C.t=3D.t=4【解题指南】先求瞬时变化率，然后令瞬时变化率为零，即得相应时刻.V s(t+At)-st) 1【解析】选 B.lim =扌* 1(-4 Att+16)=-8t + 16,令-8t+16=0,得t=2.At-*0 AtMtOC.(a+8D.16Aa( 【解析】选 D.ASS(8+ aS(8)=(8+ a-82=16 a+( .故选 D.23.(2014福州高二检测)一物体运动的方程是s=2t,则从2s到 (2+d)s这段时间内位移的增量为()A.8B.8+2dC.8d+2d2D.4d+2d2【解析】选 C.A s2(2+d)2-2 忽2=8d+2d2._2314

9、.在x=1附近取 x0.3,在四个函数y=x;y=x ;y=x ;yh中平均变化率最大的是()KA.B.C.D.【解析】选C.根据定义判断，也可根据函数的增长趋势的快慢来判断二？填空题(每小题5分,共10分)5.(2014天水高二检测)水经过吸管从容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的体积V(t)=5 >2"0.1t(单位:cm3),则第一个10s内V的平均变化率为 cm3/s.10-0【解析】第一个10s内V的平均变化率=-0.25(cm3/s).答案:-0.256.(2014上饶高二检测)当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是AV 一【解题指南】先求一，再求瞬时变化率

10、.Ar【解析】巴=辿竺並ArAr4=4 冗务4 n r T n ，当趋于0时,瞬时变化率为4 n 2.答案：4 n r三？解答题(每小题12分，共24分)，取XE为Z,哪一点附近的平均变化率最大fl+iKl®1【解析】在x=1附近的平均变化率为 ki= =2+ 在x=2附近的平均变化率为7.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率Axk2= =4+ x在x=3附近的平均变化率为 k3=6+ x 若 x-,则'3AxAx1 71 131 19ki=2+?=?,k2=4+孑丁;k3=6+孑丁,由于ki<k2<k3,所以在x=3附近的平均变化率最大 .【举一反三】

11、已知函数f(x)=x3+x证明函数f(x)在任意区间x,x+ X上的平均变化率都是正【证明】巴=妙上?蝕(X+Ax) +(3C+Kk)沖-XAxAx2 2=3x +1+3x A+( AX2 2=3x +3 Axx+( AX +1由于方程 3x2+3 Axx+( A)2+1=O 的判别式为(3 A)2-4 >3( A)2+1=-3( A)2-12<0,me 22f(x+dx)-f(x)则3x +3 Axx+( Ax) +1>0对一切x R恒成立，所以>0,故f(x)在任意区间x,x+ A x上的平均变化率都是正数【拓展延伸】1.比较平均变化率的方法步骤(1)求出两不同点处的平均变化率(2)作差(作商),并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与1的大小).(3)下结论.2.比较平均变化率的意义平均变化率的大小可说明函数图象的陡峭程度8.(2014南充高二检测)某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离f(x)x3+x2+2x.(单位:m)是(1)求在第1S内的平均速度.(2)求在1S末的瞬时速度.经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s?【解析】(1)物体在第"内的平均变化率(即平均速度)为譬斗m/s.(2)=Ak加血尸 +(1+Ax)= +2(1 + 4 町一一AxZ 2=6+3 +(