中学生数学认知错误归因分析及对策研究

1、中学生数学认知错误归因分析及对策研究一、 数学学习中认知的错误类型学习过程是一个螺旋上升的发展方式，一个数学概念的建立有时是困难而漫长的，需要多次反复，循序渐进，直到真正理解。与传统观念相比，我们应该认为许多概念错误是相对的，是发展的，具有一定合理性，是可以通过改造成为一个科学概念。基于这样的认识，我们在对待学生数学学习错误时会努力去发现学生错误中的合理成分，分清其错误的性质，而不是采取简单的态度，这对我们采取有效的教学对策有十分积极的意义。在相关的一些文献里都有关于数学学习错误的特点或分析成因，但不够系统或全面。李善梁先生对数学学习错误的研究对我们正确理解、防范并克服学生在学习数学概念的过程

2、中有可能出现的各类错误具有原则性和策略性的启发作用，他提出了两种类型的错误：（1）过程性错误。（2）“合理”性错误。周友士从建构主义视角分析，认为日常概念的干扰、概念意象的替代、迁移的惯性等是形成错误概念的典型和普遍的原因。这样的分析有助于我们了解学生出现数学学习错误的心理和类型。目前对这方面的研究为数不多，而且以心理学家和教育学家为主，理论多于实践。本文意在将理论与实践相结合，从更为一般的角度对相关问题作出进一步分析，探索数学学习中认知错误的类型，分析揭示成因，寻找帮助学生学习数学的有效办法及教学策略。二、中学生数学学习的心理过程分析实践表明，数学概念学习是学生数学学习中感觉最困难的。（一）

3、学生的概念形成水平学生掌握概念的难易顺序是：识别概念优于说明概念的特征，对概念外延的掌握优于对概念内涵的掌握；对概念内涵的掌握，要看概念的内涵（本质属性）的多少，以几个本质属性之间的结构是怎样的。一般地说，本质属性越多的概念，形成越容易；非本质属性越多，概念形成难度越大。析取概念比合取概念难于形成，蕴涵概念比析取概念难于形成。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念；先掌握形式概念后掌握辩证概念。例如函数概念的学习。首先，函数概念包含的本质属性是变量；其次，定义的文字表示是个蕴涵式；最后，纵观中学数学内容，在函数概念学习之前，基本上是常量数学时期的内容，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。

4、函数研究变量，变量的本质是辩证法在数学中的运用，即函数是一个辩证概念。结论必然是：函数是个较难形成的概念。当学生的概念形成水平较低时，不理解它或在认识上感觉困难是非常正常的。学生只有通过大量客观事例，认识变量的概念，理解量与量的相异关系，才能形成函数概念的描述性定义，获得朴素、直观的认识；通过描点法绘制图象。建立起数形之间的联系：积累一些具体经验素材后，才能建立起函数概念较准确的定义，从而达到较深刻的理解。（二）不同的数学气质类型上的影响许多数学家与心理学家（如庞加菜、阿达玛、克鲁捷茨基等）都认为存在不同的数学气质类型。一般分为分析型、几何型、和调和型三种。分析型特点是“高度发展的语言逻辑成分

5、，比微弱的视觉形象成分明显地占优势。很容易运用抽象模式进行运算，在问题解答中，不需要形象化的东西或模型的支持，即使是在问题的已知数量关系中，已经暗示出视觉概念时，也是如此”。几何型特点是“发展得非常好的视觉形象成分比语言逻辑成分占优势常感觉需要形象地解释抽象的数量关系，并在此表现出巨大的独创性，常用图形表示取代逻辑。当以形象化方式解答问题失败时，用抽象的方案进行运算就更困难了。总是坚持用视觉的图式、表象和具体的概念进行运算，甚至当问题依靠推理很容易解决，使用想象的方法显得多余或困难时也是如此”。调和型特点是“在语言逻辑成分的主导下，语言逻辑成分和视觉形象成分发展的相对平衡”学生数学气质类型上的

6、差异在函数概念学习中表现得尤为显著。几何型学生善于使用形象表示。（图象、表格），理解形象化方式的函数关系，且当函数关系或解析式能给予几何图形上的解释时，才感到踏实清楚、可信的，进行纯粹解析表示运算时，感觉困难。相反地，分析型学生虽也能做简单函数的图象，但常把图象置于函数本身之外，不把它看作函数的一部分，在函数问题解答中，只靠解析法处理信息，不善于依靠已有图象去理解函数，解释与理解图象的能力差。调和型学生也在实现数与形的有机结合，符号语言与图形语言的灵活转换过程中存在障碍。三、中学生数学学习中的错误类型分析数学学习是一个受各种因素影响的复杂过程，产生错误的原因也是多方面的，通过对数学学习心理过程

7、和影响数学学习的因素的分析，笔者试着对一些在学生学习数学中的常见的错误进行分类和分析。（一）有原有认知的干扰引起的错误概念1、许多日常概念是从日常生活概念中抽象发展而来的，是学生进一步学习数学概念的基础。但是日常概念的多义性、和模糊性，容易使学生学习数学概念造成错误理解。特别是科学概念和日常概念的意义不同时，会使学生在掌握数学概念的过程中发生困难，产生误解，形成错误概念。2、学生已有的经验和知识在新的学习活动中造成负面影响而形成的概念错误。“如果学生不能从已有的数学概念中找出与新概念的关系就会受到原有概念的干扰，产生错误的概念。”表现在如下方面：一方面：用原来的思维或方法来思考和解释新的概念，

8、不自觉的对思维进行限制，表现出一定的合理性。例如：y=2x-1等。有些学生一直不接受利用函数的图象分析问题，因为学生还没有建立起函数概念的“对应说”。另一面：按过去的经验、结论、方法对概念作推广，这是与学生的认知发展水平密切相关的一种错误，数学学习中产生这种错误的机会比较多。（二）用概念意象替代概念定义引起的错误概念表象是人脑对当前没有作用于感官，而以前感知过的事物的形象地反映，是过去感知痕迹的再现。概念意象（Concept Image）指与概念直接联系的各种心理成分的总和，包括相应图形的直观形象、心智图像、对其性质及相关过程的记忆等。它是与概念定义相对等的一种内部表示，它与定义共同生成概念，

9、在概念形成与理解中起着至关重要的作用，但是概念意象与概念定义是有区别的，如果用概念意象代替概念就会造成许多错误，因为概念意象具有不一致性、变化性、歪曲性、不精确等特征。例，关于“函数”的概念意象就有以下错误：函数一定要有对应关系，分段函数不是函数；函数自变量的变化必定会引起因变量的变化。概念混同于表象，学习了概念的定义后就不再理会它，对概念的理解停留在表象上，模糊，似是而非。（三）缺乏抽象概括能力引起的错误影响数学学习的因素分析可以知道抽象与概括是人们形成和掌握知识的直接前提。对实例进行概括，抽象出本质属性，是数学学习的关键一步。如果学生的抽象概括能力差，就不能抓住事物的本质属性，不能明确知识

10、的内涵和外延，就容易出现错误。例. 调查表明在学习了函数的定义给出其表示法y=f(x后，有学生认为f 和x 是乘的关系，没有真正理解函数的意义。一个重要的原因是：从变量到函数抽象符号跨越了多个抽象层次。（四）由概念过程和对象相分离引起的错误概念一个抽象的代数概念具有二重性：操作意义_作为一个过程，结构意义_作为一个对象。同一个代数概念的这两个不同侧面，就好比同一枚硬币的两面，要真正认识它，两面都要了解。形成一个概念，往往要经过由过程开始，然后转变为对象的认知过程。（五）由忽视知识间的联系引起的错误由于数学知识是相互联系的，具有一定的结构关系，所以在数学学习中，学习者必须清楚哪些是已有的概念，哪

11、些是新概念以及这些概念之间是什么关系，相关程度是什么等。如果没有掌握知识体系，孤立、凌乱的知识体系会影响函数知识的有效掌握，也是出现错误的原因之一。例. 已知二次函数 y=x2(2m+4x+m24 (x为自变量 的图像与y 轴的交点在原点的下方，与x 轴交于A, B 两点，点A 在点B 的左边，且A, B 两点到原点的距离AO, OB 满足3(OB-AO=2AO?OB.求这个二次函数的解析式。这道题是函数与方程的综合题，从学生的错误中可以看出忽视知识间的联系，不善于总结已学过的数学知识，不善于寻找知识间的联系。（六）由教学引起的错误教学具有双面性，一方面通过我们的教学帮助学生掌握科学的知识；另

12、一方面也会由于教学的不合理或不科学使学生不能很好的理解数学知识。认知心理学家罗斯认为，记忆中的种种概念，是以这些知识的具体例子来表示的，而不是以某些抽象的规则或一些相关特征来表示的。数学教学中，对于某一个知识如果只采用一两个范例，学生对数学对象的本质属性可能造成误解。一些教师常常是教定义、教公式，不是通过对学生一接触到的恰当的实例进行组织，分析归纳，分类抽象来形成数学知识。四、教师对待学生学习错误的基本态度教师在对待学生学习中的错误问题上，不能知识有错就改错，而应从更高的或更广泛的角度对问题作出进一步的分析，它包括两个方面：一是态度，即教师看待错误的态度：二是方法，如何对学生的错误作出诊断和进

13、行纠正。（一）教师在对待概念学习中的错误问题上的一些误区心理学家阿瑟. 柯伯斯在研究教师观念时说，影响教育成败的因 素也许莫过于教师他自己相信的是什么。相对传统的观念而言，先进观念对于学生的学习错误采取了更为“宽容”的态度，即认为应努力去发现学生的错误中的合理成分。张奠宙先生在文章数学美与课堂教学就持一种学生在错误中创造的美“对称”，“和谐”，犯这种错误的学生从某种意义上是从美学观点出发的一种本性的体现。我们实在不应该太多地责备这样的学生，相反应该珍惜这种审美意想。当然我们要告诉他们，美观的东西不一定就是好东西，金玉其外可能败絮其中。但在现实生活中，在对待教学中，在对待学生概念学习中的错误问题

14、上笔者认为还存在一些误区：1、粗暴对待错误。我们许多数学教师的口头禅“刚刚给你讲过这个问题（或方法），怎么又错了! ”；一些老师更为偏激的做法是惩罚数学学习中常犯错误的同学，并保证下次不再犯类似的错误。2、没有足够耐心，急功近利，立竿见影，希望立即以正确代替错误，不管学生如何想的就直接给出正确答案，认为只要通过传授数学知识，正确的概念就会自然代替学生的错误概念。3、害怕学生出错。允许学生出错是部分教师传统做法中忽视的，有些老师怕学生出错，怕他们浪费时间，总想搀扶着他们，甚至去代替学生思维。4、通过反复训练纠正错误，以确保学生不再犯类似的错误。在纠正学生的错误概念时效果不够理想，有的老师认为是学

15、生记忆不牢固，于是对新概念进行大量重复性训练，而事实上效果并不理想。（二）教师的基本态度差错人皆有之，笔者认为作为教师对学生的错误应该有一些基本的认识和态度。1、尊重学生的见解传统教学中，教师是权威的代言人。他以专家的状态，将各种经验、概念、法则与理论强制地灌输给学生，学生记忆、背诵这些现成的知识。然而，教学是一宗沟通现象，我们所教的学生不像是在一张白纸上画画，学生有其自身的认知结构，对每一个新的内容，他们自有他们的理解，所以有正确，也有错误。教师要善待学生的“错误”，保护学生的自尊，树立其自信。要把探索研究的机会留给学生。尊重学生的见解，让学生具体说出他们的想法，挖掘有价值的见解。对学生所具

16、有的观念给予暴露的机会。2、帮助学生比较不同观念帮助学生对不同的观念作比较，通过观念冲突，迫使学生去面对他们的错误并作出正确的选择。这样的认知冲突可以打破学生的心理平衡，激发学生弥补“心理缺口”的动力。产生认知冲突的方式是多样的，教师可以明确指出学生的错误，让他认识到自己的问题；也可以要学生自己反思；还可以使同学之间的观念进行比较，发挥合作学习的优越性，重视学生之间的互相作用，组织学生对问题进行讨论。3、要有足够的耐心研究表明学习一个新的数学概念比扩展一个旧概念出错率要低得多，所以在教学实践中教师有时感到要修正学生的一个错误观念比教一个正确的知识都难，因为它具有反复性, 多样性，个性等特点，而

17、且有时操作较困难，如集体讲解很难有针对性，但分别讲解又花时间。这确实需要教师有足够的耐心。在学习概念时，教师不可急于求成，“消灭错误”的做法或想法是不可取的，因为学生就是在这样的反复过程中，不断修正自己对概念的理解与认识，学生才能不断达到概念的更高层次。如果学生对某概念总是出现不同程度错误，这时教师应考虑改变自己的教学方法。对一些过程性的概念的错误，有时后面的知识对前面的知识有正迁移作用。有些错误，等待或许也是一种方法。例如函数概念的学习，学生往往在学习了复合函数后，才会将函数看成一个对象。4、要懂得学生的心理一个人努力做事失败了，如果得到的只有指责，任何人心里都会不愉快，会产生反感，作为教师

18、要善于把自己置于学生的心理角度去体会和思考问题，激发学生的学习欲望和提高学习能力。在如何对待学生的错误上，我们如果急于改变它，学生会从我们的眼中看到不耐心，不信任，对他不抱希望。心理实验皮格马利翁效应证明教师对学生的期待会影响学生的发展，我们应该以发展的眼光对待学生成长中的错误，建立积极的教师期待。5、帮助学生形成对待学习错误的积极态度调查表明 部分学生对自己错误的冷漠，认为学数学就是寻找唯一正确的答案，不懂得如何发现问题有效纠正自己的错误，不习惯反思等。这些观念对学生的数学学习产生消极影响。学生数学观的形成并非一朝一夕，跟平时的学与教密切相关，教师正确的数学观是学生正确数学观形成的重要条件。

19、作为教师应让学生明白一个道理 学习是一个过程，错误的出现是不可避免的，错误是有意义的学习所必不可少的，每个人要想想为什么会出现错误，错在什么地方，如何纠正，这样就会有进步，但如果 没有及时补救与矫正，问题越积越多，就会出现学习困难，丧失学习信心。就如在现实中一样不要在困难 面前低头，有一句话说的好“不经风雨怎能见彩虹” . 我相信这些态度的形成不仅对数学学习有益，而且可以增强学生的自我意识和培养社会责任心，对学 生形成良好的人生态度也有积极的意义。 五、 对中学生数学学习中认知错误应采取的教学策略 （一）培养学生学习数学的兴趣 兴趣是推动学生学习的动力，学生如果能在学习数学中产生兴趣，就会形成

20、较强的求知欲，就能 积极主动地学习。培养学生数学学习兴趣的途径很多，如让学生积极参与教学活动，并让其体验到成功的 愉悦；创设一个适度的学习竞赛环境；发挥趣味数学的作用；提高教师自身的教学艺术等等。 （二）教会学生学习 有一部分学生在数学上费工夫不少，但学习成绩总不理想，这是学习不适应性的重要表现之一。 教师要加强对学生的学习指导，一方面要有意识地培养学生正确的数学学习观念；另一方面是在教学过程 中加强学法指导和学习心理辅导。 （三）在数学教学过程中加强抽象逻辑思维的训练和培养 加强抽象逻辑能力训练，把教学过程设计成学生在教师指导下主动探求知识的过程。这样学生不 仅学会了知识，还学到了数学的基本

21、思想和基本方法，培养了学生逻辑思维能力，为进一步学习奠定较好 的基础。 （四）建立和谐的师生关系 心理学认为，人的情感与认识过程是相联系的，任何认识过程都伴随着情感。初中生对某一学科的学 习兴趣与学习情感密不可分，他们往往不是从理性上认为某学科重要而去学好它，常常因为不喜欢某课任 老师而放弃该科的学习。和谐的师生关系是保证和促进学习的重要因素，特别要对后进生热情辅导，真诚 帮助，从精神上多鼓励，学法上多指导，树立他们的自信心，提高学习能力。 波利亚说： “教师最重要的任务之一是帮助他的学生，这个任务并不容易，它需要时间、奉献和正确 的原则。 ” 对于学习的过程，有两种基本的见解：一种是以桑代克

22、等为代表的行为主义学说，认为学习的过程是 盲目的、渐进的、尝试与错误直至取得成功的过程；一种是以布鲁纳、奥苏贝尔、维果斯基等为代表的认 知学说， 认为学习构成是原有认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用， 形成新的认知结构的过程。 本文从教育学和现代认知心理学的角度，运用建构主义的有关学习理论去研究学生函数学习中的错误及相 关的教学对策。 关心孩子成长的每一个细节 ！ 第6页 共7页 （五）教会学生在错误中学习 教师可以经常组织学生对错误的问题进行思考，不直接奉送正确答案，给予学生足够的时间让他对自 己的错误进行反思，调整认知活动，吸取教训逐步进步。对于函数中的错误可以提示学生问自己一些反思 的问题：这个问题我为什么错了？错误的原因是什么？这个概念的含义是什么？这个内