《自动控制理论教学》二数学模型

1、1/21/2022整理课件1自动控制理论第二讲 控制系统的数学模型1/21/2022整理课件2本章主要包括以下内容l建立系统数学模型的目的建立系统数学模型的目的l物理系统的动态描述数学模型物理系统的动态描述数学模型l建立系统数学模型的一般步骤建立系统数学模型的一般步骤l非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化l传递函数传递函数l控制系统的传递函数控制系统的传递函数l系统方块图及其变换系统方块图及其变换l系统信号流图与梅逊公式系统信号流图与梅逊公式1/21/2022整理课件3建立控制系统数学模型的目的l用于对现存控制系统的研究用于对现存控制系统的研究：控制系统的数学模控制系统的数学模型代表了

2、对系统特性的认识，在对系统知道的更型代表了对系统特性的认识，在对系统知道的更多时还可以修改和扩展模型。多时还可以修改和扩展模型。l在实际系统尚不存在时，可以借助模型来预测设在实际系统尚不存在时，可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果计思想和不同控制策略的效果：从而避免建造试从而避免建造试验系统所带来的费用浪费，以及由此所带来的危验系统所带来的费用浪费，以及由此所带来的危险。险。l控制系统数学模型的建立对控制系统的研究（分析）与设计（综合）具有重要意义。1/21/2022整理课件4物理系统的动态描述数学模型l每一个自动控制系统都是由若干元件组成的。每个元件每一个自动控制系统都是由若干元件

3、组成的。每个元件在系统中都有各自的功能，它们相互配合，就构成了一在系统中都有各自的功能，它们相互配合，就构成了一个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（被控制量被控制量）的控制，而满足所要求的特定规律。的控制，而满足所要求的特定规律。l如果把控制系统中各物理量（如果把控制系统中各物理量（变量变量）之间的关系用数学）之间的关系用数学表达式描述出来，就得到了此控制系统的表达式描述出来，就得到了此控制系统的数学模型数学模型。l在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程称为之间关系的数学方程

4、称为静态模型静态模型。l各变量在动态过程中的数学方程，称为各变量在动态过程中的数学方程，称为动态模型动态模型。在自。在自动控制系统的分析中，主要是研究动态模型。动控制系统的分析中，主要是研究动态模型。1/21/2022整理课件5l在自然界里，许多物理系统，无论是机械的、电气的、在自然界里，许多物理系统，无论是机械的、电气的、液压的，还是气动的、热力的，都可以通过微分方程来液压的，还是气动的、热力的，都可以通过微分方程来加以描述。加以描述。l在微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的在微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的特性，如一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度等。特性，如一阶

5、导数表示速度，二阶导数表示加速度等。因此微分方程完全可以描述系统的动态特性。因此微分方程完全可以描述系统的动态特性。l微分方程微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种。是物理系统数学模型中最基本的一种。1/21/2022整理课件6l系统的数学模型可以用系统的数学模型可以用实验法实验法和和分析法分析法建立。建立。l试验法试验法：对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统的输出响应，然后对这些输入输出数据进行处理，从而的输出响应，然后对这些输入输出数据进行处理，从而获得系统的数学模型。获得系统的数学模型。l分析法分析法：根据系统内部的变化机理，从元件或系统

6、所依据根据系统内部的变化机理，从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。l机械系统的牛顿定律、能量守恒定律，电学系统的基尔霍机械系统的牛顿定律、能量守恒定律，电学系统的基尔霍夫定律等，都是建立系统数学模型所依据的基础。夫定律等，都是建立系统数学模型所依据的基础。l对系统的微分方程求解，就可以获得系统在外部控制作用对系统的微分方程求解，就可以获得系统在外部控制作用下的动态响应。下的动态响应。1/21/2022整理课件7l同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式。如对连同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式。如对连续

7、系统，除了续系统，除了微分方程微分方程外，还有外，还有传递函数传递函数、频率特性频率特性等。等。l各种数学模型之间可以互相转换，采用那种数学模型取决于各种数学模型之间可以互相转换，采用那种数学模型取决于建立数学模型的目的和控制方法。建立数学模型的目的和控制方法。l对于一个具体的系统，其内部结构、元件参数、特性以及外对于一个具体的系统，其内部结构、元件参数、特性以及外部干扰等，总是错综复杂的，为了在分析系统中，既不包罗部干扰等，总是错综复杂的，为了在分析系统中，既不包罗万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不忽略主要因素，而万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不忽略主要因素，而失去系统的准确性，必须对

8、系统有全面透彻的了解。失去系统的准确性，必须对系统有全面透彻的了解。l一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性，一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。又具有较简单的形式。1/21/2022整理课件8l为了建立合理的数学模型，通常都进行一定的简化和线性为了建立合理的数学模型，通常都进行一定的简化和线性化。应当特别重视在建立数学模型过程中所作的化。应当特别重视在建立数学模型过程中所作的假设假设。l实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性，如实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性，如果这些因素对系统特性的影响不大时，可将其忽略不计。果这些因素

9、对系统特性的影响不大时，可将其忽略不计。例如：例如：在低频工作时，可不计弹簧质量、导线的分布电容等；但在高频工作时就不能忽略这些因素的影响。当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时，可将它们看做线性的；但当工作点在大范围内变动超出线性段时，采用线性化的模型就会带来较大误差。l必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围，否则可能必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围，否则可能得出错误的结论。得出错误的结论。1/21/2022整理课件9系统数学模型建立实例1/21/2022整理课件10RLC串联电路示意图由电阻R、电感L、电容C组成的R-L-C电路，输入量为ur（t），输出量为uc（t），求该电路

10、的微分方程（数学模型）1/21/2022整理课件11RLC串联电路的数学模型l根据基尔霍夫定律：根据基尔霍夫定律：l消去中间变量：消去中间变量：l此即此即R-L-C电路的数学模型（输入输出模型），它描述了电路的数学模型（输入输出模型），它描述了输入输入ur（t）和输出和输出uC（t）之间的动态关系。之间的动态关系。dttiCtutututRidttdiLCrC)(1)()()()()()()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC1/21/2022整理课件12机械平移系统示意图l由弹簧质量阻尼器组成的机由弹簧质量阻尼器组成的机械平移系统，外力械平移系统，外力f（t）为输入信为

11、输入信号，位移号，位移y（t）为输出信号，列写为输出信号，列写其运动方程式。其运动方程式。lk弹簧的弹性系数；弹簧的弹性系数；m运动部运动部件的质量；件的质量； 阻尼器的粘性摩擦阻尼器的粘性摩擦系数；系数；1/21/2022整理课件13机械平移系统的特点l在机械系统中，通常研究在机械系统中，通常研究力（或转矩）与位移（或角力（或转矩）与位移（或角位移）位移）的因果关系。的因果关系。l组成机械系统的基本元件有：组成机械系统的基本元件有：弹簧（或弹性轴）、阻弹簧（或弹性轴）、阻尼器和运动部件尼器和运动部件。l阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置，所产生的阻力阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置，所产生的阻

12、力与运动速度成正比。阻尼器不储存能量，它将动能转与运动速度成正比。阻尼器不储存能量，它将动能转化为热能消耗掉。化为热能消耗掉。 1/21/2022整理课件14机械平移系统的基本关系l假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：l设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：l阻尼器的阻尼力为：阻尼器的阻尼力为：221dtydmf kyf 2dtdyf31/21/2022整理课件15机械平移系统的数学模型l根据牛顿定律：根据牛顿

13、定律：可得可得l此即机械平移系统以外力此即机械平移系统以外力f（t）为输入信号，位移为输入信号，位移y（t）为输出信号的运动方程式，即数学模型为输出信号的运动方程式，即数学模型)()(tftmakydtdyfdtydm22fkydtdydtydm221/21/2022整理课件16相似系统l电系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统，但它电系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统，但它们的微分方程却具有相同的形式，称为们的微分方程却具有相同的形式，称为相似系统相似系统。l相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路的动态特性研究机械系统的动态特性。的动

14、态特性研究机械系统的动态特性。l由于电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因此由于电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因此常采用电子电路来模拟其它实际系统，这种方法称为常采用电子电路来模拟其它实际系统，这种方法称为电子模拟技术电子模拟技术。l通过数字计算机求解系统的微分方程（或状态方程）通过数字计算机求解系统的微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性，称为来研究实际系统的动态特性，称为计算机仿真技术计算机仿真技术。1/21/2022整理课件17恒定磁场他激直流电动机示意图u（t）电枢电压，为控制输入；ml（t）作用在电动机轴上的总负载转矩，为扰动输入；（t）电动机的转角，为输出量。假设

15、电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传输轴是刚性轴，电动机电枢电路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。1/21/2022整理课件18恒定磁场他激直流电动机的基本关系l根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：R，L电枢回路总电阻和总电感，电枢回路总电阻和总电感， ，H；i电枢电流，电枢电流，A；e电动机反电势，电动机反电势，V；u电枢电压，电枢电压，V；Ce电势系数，电势系数，V.s/rad；J2；m，ml电磁转矩、负载转矩，电磁转矩、负载转矩，N.m；Cm转矩系数，转矩系数，N.m/A。ueRidtdiLdtdeC

16、e122mmdtdJiCmm1/21/2022整理课件19恒定磁场他激直流电动机的数学模型l方程联立求解，消去中间变量方程联立求解，消去中间变量i，e，m：l 电动机的机电时间常数，电动机的机电时间常数，s；l 电动机的电磁时间常数，电动机的电磁时间常数，s；l 电枢电压作用系数，电枢电压作用系数，rad/(V.s)l 负载转矩作用系数，负载转矩作用系数，rad/(N.m.s)。)(12233llmemlmmdtdmTKuKdtddtdTdtdTTmemCCRJT RLTleeCK1memCCRK1/21/2022整理课件20l若系统的输出量为转速若系统的输出量为转速n（r/min），）， ：

17、l则则l不同物理系统可以有相同形式的数学模型；不同物理系统可以有相同形式的数学模型；l同一系统如果所选的输入量、输出量不同时，数学模同一系统如果所选的输入量、输出量不同时，数学模型会不同。型会不同。602 ndtdmmeellmemmKKKKmdtdmTKuKndtdnTdtndTT2602601221,)(式中1/21/2022整理课件21建立系统数学模型的一般方法l由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统

18、中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等。相互联系时的彼此影响等。l在列写系统和各元件的运动方程式时，一般需将系统在列写系统和各元件的运动方程式时，一般需将系统划分成若干环节以使问题简化。划分成若干环节以使问题简化。l所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某一部所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元件的一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元件的一部分或者由几个元件组成。分或者由几个元件组成。1/21/2022整理课件22建立系统数学模型的一般步骤l分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定分析系统的工作原理和

19、系统中各变量间的关系，确定待研究系统的待研究系统的输入量输入量和和输出量输出量。l将系统划分为将系统划分为单向环节单向环节，并确定各个环节的输入量和，并确定各个环节的输入量和输出量。输出量。（所谓单向环节是指其后面的环节无负载效（所谓单向环节是指其后面的环节无负载效应，即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有应，即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有影响）影响）l根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，依次列写组成系统依次列写组成系统各环节的运动方程式各环节的运动方程式，组成联立方，组成联立方程组。程组。1/21/2022整理课件2

20、3l对联立方程组进行对联立方程组进行简化简化、线性化和增量化线性化和增量化，并消去中，并消去中间变量，得到只包含系统输入量和输出量的方程式，间变量，得到只包含系统输入量和输出量的方程式，即系统的输出模型。即系统的输出模型。l将该方程式化为标准形式。即将与输入量有关的各项将该方程式化为标准形式。即将与输入量有关的各项放在方程的右边，而与输出量有关的各项放在方程的放在方程的右边，而与输出量有关的各项放在方程的左边，并将各导数项按降幂排列。左边，并将各导数项按降幂排列。1/21/2022整理课件24非线性数学模型的线性化l工程实践中遇到的系统和元件的输入输出特工程实践中遇到的系统和元件的输入输出特性

21、或多或少存在着非线性。例如：性或多或少存在着非线性。例如：放大器在大信号输入时输出出现饱和；放大器在大信号输入时输出出现饱和；磁化曲线有饱和和磁滞回环；磁化曲线有饱和和磁滞回环；齿轮传动中有间隙。齿轮传动中有间隙。l为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型。线性模型。1/21/2022整理课件25应用小偏差线性化方法应注意的问题l所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性。内才能保证线性化的

22、准确性。l通过小偏差线性化方法，通常得到的是经过简化、线性通过小偏差线性化方法，通常得到的是经过简化、线性化、增量化的微分方程，即使变量前省去了化、增量化的微分方程，即使变量前省去了“ ”，也应，也应将变量理解为增量。经过增量化以后，相当于把坐标原将变量理解为增量。经过增量化以后，相当于把坐标原点移到平衡工作点这时各变量的初始条件为零。点移到平衡工作点这时各变量的初始条件为零。l当系统有本质非线性特性时（非线性特性有间断点、转当系统有本质非线性特性时（非线性特性有间断点、转折点和非单值关系），不能采用小偏差线性化方法。折点和非单值关系），不能采用小偏差线性化方法。1/21/2022整理课件26

23、微分方程的求解与不足l微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型。微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型。l在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出特性。这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机，输出特性。这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机，可迅速准确地求得结果。然而不用计算机，则求解微分方程，可迅速准确地求得结果。然而不用计算机，则求解微分方程，特别是高阶微分方程的计算工作相当复杂。特别是高阶微分方程的计算工作相当复杂。l在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数在时间域里直接求解微分方程，

24、难于找出微分方程的系数（由组成系统的元件的参数决定）对方程解（一般为系统的（由组成系统的元件的参数决定）对方程解（一般为系统的被控制量被控制量输出量）的影响的一般规律，一旦求得的结果不输出量）的影响的一般规律，一旦求得的结果不满足要求，便无法从解中找出改进方案。因此这种方法不便满足要求，便无法从解中找出改进方案。因此这种方法不便于对系统进行分析和设计。于对系统进行分析和设计。1/21/2022整理课件27传递函数传递函数l在在拉氏变换拉氏变换的基础上，引入描述线性定常系统的基础上，引入描述线性定常系统（或元件）在（或元件）在复数域中的数学模型传递函数复数域中的数学模型传递函数，不仅可以表征系统

25、的动态性能，而且可以借以研不仅可以表征系统的动态性能，而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。l在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，都是在传递函数基础上建立起来的。都是在传递函数基础上建立起来的。1/21/2022整理课件28拉普拉斯变换l工程技术上常用傅立叶方法分析线性系统，因为任何周期工程技术上常用傅立叶方法分析线性系统，因为任何周期函数都可展开为含有许多正弦分量的傅氏级数，而任何非函数都可展开为含有许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周期函数可表示为傅氏积分，从而可将一个时间域的函数周期

26、函数可表示为傅氏积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数傅立叶变换。变换为频率域的函数傅立叶变换。l工程实践中，常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不工程实践中，常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换的条件，如果对这种函数稍加处理，一般能满足傅氏变换的条件，如果对这种函数稍加处理，一般都能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普拉斯变换。都能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普拉斯变换。l拉氏变换是求解线性微分方程的简捷工具，同时也是建立拉氏变换是求解线性微分方程的简捷工具，同时也是建立系统传递函数的数学基础。系统传递函数的数学基础。1/21/2022整理课件29拉普拉斯变换的定义l

27、以时间以时间t为自变量、定义域为为自变量、定义域为t 0的的函数函数f（t）的拉氏变换）的拉氏变换定义为：定义为：式中：式中：s为复变量，为复变量，s j ；l一个函数一个函数f（t）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利条件）是：条件）是： 在在t0时，时，f（t）0； 在在t 0的任一有限区间内，的任一有限区间内，f（t）是分段连续的；）是分段连续的； 积分积分 。l在工程实际中，上述条件通常是满足的。在工程实际中，上述条件通常是满足的。F（s）称为象函）称为象函数，数，f（t）称为原函数。）称为原函数。 dtetfsFtfLst0 dtetfst01/

28、21/2022整理课件30常用函数的拉普拉斯变换l单位阶跃函数：单位阶跃函数：l单位阶跃函数的拉氏变换：单位阶跃函数的拉氏变换：l幅度为幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为：的阶跃函数的拉氏变换为：0, 10, 0)(tttussedtedtetutuLsFststst1)()()(000sAdtetAutAuLsFst0)()()(1/21/2022整理课件31l单位脉冲函数单位脉冲函数：（幅值：（幅值1/t0与作用时间与作用时间t0的乘积等于的乘积等于1）l单位脉冲函数的拉氏变换：单位脉冲函数的拉氏变换：000001limtt00)(0tttttt和11lim11lim1lim1lim)()(0

29、0000000000000000000ssstdtdedtdestsetdtettLsFsttstttstttstt1/21/2022整理课件32l当冲击函数的幅值为当冲击函数的幅值为A/t0，与作用时间的乘积，与作用时间的乘积等于等于A时：时：AtALsF)()(1/21/2022整理课件33l单位斜坡函数单位斜坡函数：l单位斜坡函数的拉氏变换：单位斜坡函数的拉氏变换：l斜率为斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为：的斜坡函数的拉氏变换为：0,0, 0)(ttttf2000011|)()(sdtesstedestdttetfLsFstststst20)()(sAdtAtetAfLsFst1/21/2

30、022整理课件34l指数函数指数函数：l指数函数的拉氏变换：指数函数的拉氏变换：atetf)(asdtedteeeLsFtasstatat1)(0)(01/21/2022整理课件35l正弦函数正弦函数：l正弦函数的拉氏变换：正弦函数的拉氏变换：l余弦函数余弦函数的拉氏变换：的拉氏变换：ttfsin)(220)(0)(011212121sinsin)(sjsjsjdtejdtejdttetLsFtjstjsst220coscos)(ssdttetLsFsttjtetjtetjtjsincossincos1/21/2022整理课件36拉普拉斯变换的性质-线性定理线性定理 若若g（t）f1（t）f2

31、（t） 则则G（s）F1（s）F2（s）即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。 若若g（t）Af（t） 则则G（s）AF（s）即函数的即函数的A（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的A倍。倍。1/21/2022整理课件37拉普拉斯变换的性质-衰减定理衰减定理l若g（t）f（t）eat 则G（s）F（sa）。A为实数)()()()(0)(0asFdtetfdtetfetfeLtasstatat1/21/2022整理课件38拉普拉斯变换的性质-延迟定理延迟定理l若g（t）f（ta），则G（s）easF（s）。即

32、一个函数是另一个函数延时即一个函数是另一个函数延时a后再现，则它的象后再现，则它的象函数是另一个函数象函数的函数是另一个函数象函数的eas倍。倍。)()()()()()(00sFeadefatdteatfatfLasasst1/21/2022整理课件39拉普拉斯变换的性质-比例定理比例定理l若若g（t）f（t/a），则），则G（s）aF（as）。）。即若一个函数在时间上展宽（或压缩）即若一个函数在时间上展宽（或压缩）a倍，则它的象函数在复平倍，则它的象函数在复平面上向原点将收缩（或伸展）面上向原点将收缩（或伸展）a倍。当倍。当a1时，时， g（t）将被压缩。）将被压缩。)()()/()/(00

33、asaFdaefatdteatfatfLsast1/21/2022整理课件40拉普拉斯变换的性质-时间时间t乘函数乘函数f（t） dssdFttfL)()()()()()()(000ttfLdtettfdttfesdtetfdsddssdFststst1/21/2022整理课件41拉普拉斯变换的性质-微分定理微分定理若若 则则 。当初始条件当初始条件f（0）0时，时，G（s）sF（s）。）。dttdftg)()()0()()(fssFsGssGsfdtetfdtdssftdfsesetfdestfdtetfsFststststst)()0()(1)0()(|)(1)()()(000001/21

34、/2022整理课件42拉普拉斯变换的性质-微分定理微分定理l若若 则则l当当f（0）0，f（1）（0）0，f（n1）（0）0时，时，nndttfdtg)()()0()0(.)0()()()1()2(1nnnnfsffssFssG)()(sFssGn1/21/2022整理课件43拉普拉斯变换的性质-积分定理积分定理l若若 则则 。当初始条件当初始条件g（0）0时，时， 。dttftg)()(sgssFsG)0()()(ssFsG)()( 01000)()0()(|)(1)()()(ssFsfdttfsesedttfdesdttfdtedttfdttfLstststst1/21/2022整理课件4

35、4拉普拉斯变换的性质-积分定理积分定理l若若 则则 f1（0） 在在t0处的值；处的值； f2（0） 在t0处的值； ndttftg)(.)(sfsfsfssFsGnnnn)0(.)0()0()()(121dttf)(2)(dttf1/21/2022整理课件45拉普拉斯变换的性质-初值定理初值定理l若函数若函数f（t）在）在t0处无脉冲分量，则函数的初值为：处无脉冲分量，则函数的初值为：)(lim)0()(lim0ssFftfst)0()(lim0)0()(lim)(lim0fssFfssFdtedttdfsssts1/21/2022整理课件46拉普拉斯变换的性质-终值定理终值定理l若函数若函

36、数F（s）在虚轴及右半平面没有极点，但极限存在，）在虚轴及右半平面没有极点，但极限存在，则原函数的终值为：则原函数的终值为：)(lim)()(lim0ssFftfst)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()0()(lim)(lim000000fssFftffssFdtdttdffssFdtedttdfstsssts1/21/2022整理课件47拉普拉斯变换的性质-卷积定理卷积定理l若函数若函数f1（t）与）与f2（t）当）当t0时都等于零，则称积分时都等于零，则称积分 为为f1（t）卷积）卷积f2（t），记作），记作f1（t）*f2（t）；同）；同样称积分样称积分 为为f2（t）

37、卷积）卷积f1（t），记作），记作f2（t）*f1（t）。）。l若若f1（t）与）与f2（t）均满足狄里赫利条件，则卷积的拉氏变换）均满足狄里赫利条件，则卷积的拉氏变换等于两函数拉氏变换之积。即等于两函数拉氏变换之积。即tdftf021)()(tdftf012)()( )()()()()()()(*)()()()()()(*)(21121212212121sFsFsFsFtfLtfLtftfLsFsFtfLtfLtftfL1/21/2022整理课件48拉普拉斯变换的性质-卷积定理卷积定理 )()()()()()( 1 )()()( 1 )()()( 1 )()()()(*)(210201002

38、)(1002102102121sFsFdefdeftdefdtettfdtedfttfdfttfLdftfLtftfLssstsstt 1/21/2022整理课件49拉普拉斯反变换l由拉氏变换的象函数由拉氏变换的象函数F（s）求原函数）求原函数f（t）的运算称）的运算称拉氏反变换。拉氏反变换。l求解复杂，不便于工程应用。求解复杂，不便于工程应用。l对于大多数控制系统，可避免积分，而是利用部分分对于大多数控制系统，可避免积分，而是利用部分分式展开，化象函数为拉氏变换表中包含的形式，查表式展开，化象函数为拉氏变换表中包含的形式，查表得到原函数。得到原函数。jcjcstdsesFjsFLtf)(21

39、)()(11/21/2022整理课件50l在控制系统中，拉氏变换在控制系统中，拉氏变换F（s）可写成下列一般形式：）可写成下列一般形式：l因式分解：因式分解：l只包含不同实极点的情况只包含不同实极点的情况l包含共轭复数极点的情况包含共轭复数极点的情况l包含多重极点的情况包含多重极点的情况nmasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm01110111.)()()(nmpspspszszszsKsAsBsFnm).()().()()()()(21211/21/2022整理课件51拉普拉斯反变换只包含不同实极点l实例)( 1.)()()(.)(21212211teAeAeAtfpssF

40、ApsApsApsApsAsFtpntptppskknnkknk233)(2ssssF1/21/2022整理课件52 )( 1 )2()21()12()(2112)(21)2)(1(3)(233)(211212teesLsLtfsssFsasassssFssssFtt1/21/2022整理课件53拉普拉斯反变换包含共轭复数极点 l实例 11)()()(.)()(2121332121pspsnnpspssFasapsapsapspsasasFsssssF231)(1/21/2022整理课件54l )( 1)23sin3323cos1 ()()23()21(2333)23()21(211)(11)

41、()2321)(2321(1) 1(11)(212122222223ttetetfsssssFsssssFjsjssssssssssssFtt1/21/2022整理课件55拉普拉斯反变换包含多重极点tpkkpsrrrpsrjjjrpsrrpsrrnnrrrrrrrrektpsLpssFdsdrapssFdsdjapssFdsdapssFapsApsapsapsapsapsasF11111)!1()(1)()()!1(1.)()(!1.)()()()(.)()()(1111111111122111111111/21/2022整理课件56 )( 1)()(11) 1(2)(1) 1() 1()()

42、 1(32)(231223332teettfsssFsasasasFssssFtt1/21/2022整理课件57利用拉氏变换求解微分方程l考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为分方程变换为s域的代数方程。域的代数方程。l求解微分方程，得到微分方程在求解微分方程，得到微分方程在s域的解。域的解。l求求s域的拉氏反变换，即得到微分方程的解。域的拉氏反变换，即得到微分方程的解。微分方程微分方程解（解（T域）域）求解代数方程代数方程解（解（S域）域）求解正变换反变换1/21/2022整理课件58l例：例：l求解：求解：2)0(, 2

43、)0(, 66522yyydtdydtydtteetysssssssssYssYyssYysysYs3222451)(34251)3)(2(6122)(6)(6)0()(5)0()0()(1/21/2022整理课件59控制系统的传递函数l对一个线性定常系统（或元件），在零初始条件对一个线性定常系统（或元件），在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值，叫做该系统（或该元件）的的比值，叫做该系统（或该元件）的传递函数传递函数。1/21/2022整理课件60R-L-C电路的传递函数l微分方程：微分方程：l设初始条件为零，对上式进行拉氏变换

44、得：设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：lR-L-C电路的传递函数：电路的传递函数：)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(2sUsUsRCSUsULCSrCCC11)()()(2RCSLCSsUsUsGrC1/21/2022整理课件61一般系统的传递函数l传递函数的定义传递函数的定义：对于线性定常系统（元件），在零：对于线性定常系统（元件），在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值。变换的比值。l一般系统的微分方程：一般系统的微分方程：mntrbtrbtrbtrbtyatyatyaty

45、ammmmnnnn)()(.)()()()(.)()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(1/21/2022整理课件62l拉氏变换（零初始条件）：拉氏变换（零初始条件）：l系统的传递函数：系统的传递函数：lD(s)特征多项式；系统的阶次特征多项式；系统的阶次)().()().(01110111sRbsbsbsbsYasasasammmmnnnn)()(.)()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsRsYsGnnnnmmmm1/21/2022整理课件63l系统的输入输出与传递函数的关系：系统的输入输出与传递函数的关系：l传递函数的方块图：传递函数的方块图：)()()

46、(sRsGsYG(S)R(S)Y(S)传递函数的方块图1/21/2022整理课件64传递函数的性质l系统（或元件）的传递函数也是描述其动态特性的数学模系统（或元件）的传递函数也是描述其动态特性的数学模型的一种，它和系统（元件）的运动方程式是相互型的一种，它和系统（元件）的运动方程式是相互一一对一一对应应的。若给定了系统（或元件）的运动方程式，则与之对的。若给定了系统（或元件）的运动方程式，则与之对应的系统的传递函数便可唯一地确定。应的系统的传递函数便可唯一地确定。l传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统固有固有的特性的特性，与输入信号类型及

47、大小无关，与初始条件无关。，与输入信号类型及大小无关，与初始条件无关。l传递函数和微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来传递函数和微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来的，它只反映系统中输出信号和输入信号之间的变化规律，的，它只反映系统中输出信号和输入信号之间的变化规律，而而不表征系统的物理结构不表征系统的物理结构。不同物理结构的系统，可以有。不同物理结构的系统，可以有相同的传递函数。同一个系统中，不同物理量之间对应的相同的传递函数。同一个系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不相同。传递函数也不相同。1/21/2022整理课件65l由于传递函数的分子分母多项式的各项系数是由系统的由于传递

48、函数的分子分母多项式的各项系数是由系统的物理参数组成的，而物理参数总是实数，所以各多项式物理参数组成的，而物理参数总是实数，所以各多项式的的系数均为实数系数均为实数。l由于实际系统总有惯性，且系统信号的能量总是有限的，由于实际系统总有惯性，且系统信号的能量总是有限的，因此实际系统中有因此实际系统中有n m。l传递函数的零极点形式：传递函数的零极点形式：niimijpszsKsG11)()()(1/21/2022整理课件66l传递函数的拉氏变换是系统的脉冲响应。传递函数的拉氏变换是系统的脉冲响应。R(s)=L （t）1C(s)=G(s)R(s)=G(s)L-1C(s)=L-1G(s)=g(t)l

49、系统的脉冲响应系统的脉冲响应g(t)与系统的传递函数与系统的传递函数G(s)有单值对应有单值对应关系，都可以用于表征系统的动态特性。关系，都可以用于表征系统的动态特性。1/21/2022整理课件67典型环节的传递函数l线性系统的传递函数：线性系统的传递函数：01110111.)(asasasabsbsbsbsGnnnnmmmmniimijpszsKsG11)()()(1/21/2022整理课件68l分子、分母具有零根：分母sv；l分子、分母具有实数根：iiiiiiiiiipTsTTpszszs1) 1(11) 1(11/21/2022整理课件69l分子、分母具有共轭复根：分子、分母具有共轭复根

50、：222222222211) 12(1)(2)(iiidiiidididididiiiiiirrssrsszszs222222222211) 12(1)(2)(jjjdijjnjnjnjnjnjjjjjjrrTsTsTTrsspsps1/21/2022整理课件70l系统传递函数：系统传递函数：pjjnjnjnjjviidididiiiisTsTsTssssKsG112211221) 12() 1() 12() 1()(1/21/2022整理课件71l放大环节（比例）：放大环节（比例）： Kl一阶微分环节：一阶微分环节：l二阶微分环节：二阶微分环节：l积分环节：积分环节：l惯性环节：惯性环节：l

51、振荡环节：振荡环节：1s1222sss111Ts12122TssT1/21/2022整理课件72典型环节的传递函数比例环节l输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后。输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后。l运动方程式：运动方程式：l传递函数：传递函数：l实例：实例： 电位器电位器：输入电压输出电压：输入电压输出电压 共射极晶体管放大器共射极晶体管放大器：输入电流输出电流：输入电流输出电流 集成运算放大器集成运算放大器：输入电压输出电压：输入电压输出电压 测速机测速机：转速电压：转速电压 齿轮箱齿轮箱：主动轴转速从动轴转速：主动轴转速从动轴转速)()(txKtxrc常数）()

52、()()(KsXsXsGrc1/21/2022整理课件73典型环节的传递函数惯性环节l输出量变化落后于输入量变化（含有储能元件）输出量变化落后于输入量变化（含有储能元件）l运动方程式：运动方程式：l传递函数：传递函数：l实例：实例： 悬臂弹簧悬臂弹簧：左端输入位移右端输出位移：左端输入位移右端输出位移 RC滤波器滤波器：电源电压电容电压：电源电压电容电压 他激直流发电机他激直流发电机：激磁电压电势：激磁电压电势)()()(tKxtxdttdxTrcc111)()()(TsKTsKsXsXsGrc1/21/2022整理课件74典型环节的传递函数积分环节l输出量的变化速度和输入量成正比，即输出量与

53、输入量呈输出量的变化速度和输入量成正比，即输出量与输入量呈积分关系。积分关系。l微分方程式：微分方程式：l传递函数：传递函数：l实例：实例： 传动轴传动轴：转速转角：转速转角 齿轮齿条传动齿轮齿条传动：齿轮转速齿条位移：齿轮转速齿条位移 积分器积分器：输入电流输出电压：输入电流输出电压dttxKtxtKxdttdxrcrc)()()()(sKsKsXsXsGrc1)()()(1/21/2022整理课件75典型环节的传递函数振荡环节l包含两种储能元件，所储能量相互转换。如：位能和动包含两种储能元件，所储能量相互转换。如：位能和动能、电能和磁能。能、电能和磁能。l微分方程：微分方程：l传递函数：传

54、递函数： 实例实例1：RLC振荡电路振荡电路：输入电压输出电压：输入电压输出电压 实例实例2：质量弹簧阻尼器系统质量弹簧阻尼器系统：外力质量的位移：外力质量的位移)()()()(222tKxtxdttdxTdttxdTrcckc)1(2)2(121111)()()(222222222TssKTTTssTKsTsTKsTsTKsXsXsGnnnnkkkrc1/21/2022整理课件76典型环节的传递函数一阶微分环节l理想微分环节：输出量正比于输入量的导数。理想微分环节：输出量正比于输入量的导数。 实例：实例：直流测速机直流测速机（转角电势）（转角电势）l实际微分环节实际微分环节 实例：实例：RC

55、串联微分电路串联微分电路（电源电压电阻电压）（电源电压电阻电压）KssXsXsGrc)()()(1)()()(TsKTssXsXsGrc1/21/2022整理课件77l典型一阶微分环节（典型一阶微分环节（一阶比例加微分环节一阶比例加微分环节） 实例：RC并联微分电路（输入电压输出电流）l电位计测量角位移测速发电机测量角速度电位计测量角位移测速发电机测量角速度（角位移总（角位移总输出电压）输出电压）)1 ()()()(TsKsXsXsGrc1/21/2022整理课件78典型环节的传递函数二阶微分环节l微分方程式：微分方程式：l传递函数：传递函数：)()(2)()(222txdttdxdttxdK

56、txrrrc) 12()(22ssKsG1/21/2022整理课件79典型环节的传递函数延迟环节l延迟环节（时滞环节）：延迟环节（时滞环节）： 输出量经延迟后才复现输入量。 实例1：晶闸管整流装置（控制电压输出电压） 实例2：传输带（输入流量输出流量）seKsG)(1/21/2022整理课件80方块图及其变换方块图及其变换l系统的方块结构图（结构图或方块图）：将各个环节用带有传递函数的方块表示，再把各个环节之间按信息传递方向用箭头相连。l系统的方块结构图不仅直观而形象地表明了系统信号的作用原理，而且定量地描述了系统的动态特性，是系统原理方块图与数学方程的结合，是用图形表示的数学模型。1/21/2022整理课件81方块图简化规则l串联：l并联：