几何概型经典练习题

1、1.在长为12 cm的线段AB上任取一点几何概型题目选讲C现作一矩形，邻边长分别等于线段AC, CB的长，则该矩形面积小1于32 cm2的概率为()A-61B-3C34D：5解析：设AC= x,由题意知x(12 x)32?0vxv 4或8v xv 12,所求事件的概率40+12 8 2P=-123-2.已知圆C:x2 y2 12,l :4x 3y 25在圆上任取一点 P设点P到直线l的距离小于2的事件为A求P(A)的值。 _1解：P(A)=-63.设不等式组2的概率0< x<2表示的平面区域为 D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 0< y<20<

2、; x2解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，表示的区域D为0< y<2兀X 4一，小、 4-v 边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为 一-二44.在区间0,9上随机取一实数 x,则该实数x满足不等式1曲g2xW2的概率为2解析：由140g2xwz彳导2Wx哆赧据区间长度关系，得所求概率为9.5.在6,9内任取一个实数 m,设f(x) = x2+mx+m,则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于 . 解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足 A= m2+4mi>0,解得me 4或m>0,又mC 6,9,故6wm

3、3; 4或0wmcg因此所求概率P=2+9 111515-6.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y,则 0W 亡 24,0 w次 24 且 yx>4或 y x< 4.作出区域2536.0<K24,0< 24,设yx>4 或 y xv 4.两船无需等待码头空出”为事件A,则P(A)=

4、(2)当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，则满足x y>2或y x>4.设在上述条件时两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域0<K 24,0124,y x> 4 或 x y>2.P(B)=-X 20X20-X 22 X 2222442 22124 X 24576288-7.知kC 2,2,则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆c c . 一 5x2+ y2+ kx 2y k= 0相切的概率等于4【解k 2析】.圆的方程化为(x+-)2+(y-1)2 5k k2。， 一，一=一 + +1,5k+k2+4>0, .

5、 k< 4 或 k>1；,过 A(1,1)可以作两44 k9条直线与圆(x+-)2+(y -1)2 5k k 一十+ 1相切，A(1,1)在圆外，得(1 + 2)2 + (1-1)2 $ 9+1,. .k<0,故kC (1,0),其区间长度为8.已知k -2,2,则k的值使得过1,因为kC 2,2,其区间长度为4,所以P=-.45A(1,1)可以作两条直线与圆 x2+y2+kx-2y-k= 0相切的概率等于解析：.圆的方程化为x + k 2+(y1)2="+ ?+1, .5k+k2+4>0,k<4 或 k>1；过 A(1,1)可以作两条244k 一

6、 一 5k k2k 一 一 5k k2直线与圆x + 22+(y- 1)2=了+了+1相切，”1,1)在圆外,得1+22+(1一叩行+11,1k<0,故k (-1,0),其区间长度为1,因为k-2,2,其区间长度为 4,P=-.x + 29.已知集合 A= x|3<x<1, B= x x_3 <0.(1)求 APB, AUB;(2)在区间(4,4)上任取一个实数 x,求xe APB”的概率；(3)设(a, b)为有序实数对，其中 a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求b aCAUB”的概率.解：(1)由已知 B=x| -2<x<3,

7、AAB= x| -2<x<1, AU B=x| - 3<x<3.(2)设事件xe APB”的概率为Pi,这是一个几何概型，则P1=|.8(3)因为 a, bCZ,且 aC A, bC B,所以，基本事件共12 个：(2, 1), (2,0), ( 2,1), (2,2), (-1,-1), (-1,0), (1,1), (1,2), (0, 1), (0,0), (0,1), (0,2).设事件 E为 baCAUB”，则事件 E 中包含 9 个基93本事件，事件 E的概率P(E) = = 4.10.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的

8、小球1个，标号为2的1 小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是 2的小球的概率是1.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记事件A表示a+b=2"，求事件A的概率；在区间0,2内任取2个实数x, y,求事件艾2+y2>(ab)2恒成立”的概率.n 1 解：(1)由题意可知： + 口 = 2,解得n=2.(2)不放回地随机抽取 2个小球的所有基本事件为：(0,1), (0,21),(0,22), (1,0), (1,21), (1,22), (21,0), (21,1), (21,22), (22

9、,0), (22,1), (22,21),共 12 个，事件 A包含的基本事件为：41(0,21), (0,22), (21,0), (22,0),共 4 个.，P(A)=7；=；.记 x2+y2>(ab)2恒成立 为事件 B,则事件 B 等价于x212 3+ y2>4”，(x, y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Q=(x, y)|0买w2,0yZ x, yCR, _,、，、-Sb 2 X 2兀兀而事件 B所构成的区域 B=(x, y)|x2+y2>4, (x, y)C ,. P(B) = 1 = 2X2 = 1 -.11、巴知圆C: x2+y2=12,设M为此圆

10、周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N,连接MN.”求弦MN的长超过2季的概率.解：如图，在图上过圆心 O作OML直径CD.则MD=MC=2g.当N点不在半圆弧 CM-D上时，MN>26.g、 C/A 兀 2j3 1所以P(A)=V = -2 7tx 43 212 . (1)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A',则AA'的长度小于半径的概率为 .(2)在 RtABC中，/ BAC= 90°, AB=1, BC= 2.在 BC边上任取一点 M,则/ AMB> 90的概率为 .解析：(1)如图，满足AA'的长度小于半径的点 A'

11、位于劣弧BA C上，其中 ABO和4ACO为2兀 等边三角形，可知/ BOC=穹，故所求事彳的概率 P=；=1. 32兀31(2)如图，在RtA ABC中，作AD± BC, D为垂足，由题意可得 BD = 2,且点M在BD上时，1 . BD 2 111满足/ AM口90 ,故所求概率 P=BC= 2= 4.答案：(1)3 (2)413 .在体积为 V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥SAPC的体积大于V的概率是 3解析：如图，三棱锥 S- ABC的高与三棱锥 S- APC的高相同.作 PMLAC于M, BNXACT N,则PM、BN分别为 APC与 ABC的高，所以VS

12、- APC SA APC PMVS- ABC SA ABC BNPM AP又=一,BN AB'满足条件.设AD= 7,则P在BD上，所求的概率 P= BD>= 2. AB 3BA 3AP 1所以姮工时，14 .在区间0,1上任取两个数 a, b,则函数f(x) = x2+ax+ b2无零点的概率为 解析：要使该函数无零点，只需a2-4b2<0,即(a+ 2b)(a-2b)<0.,. a, b 0,1, a + 2b>0, . a 2bv0.0< ”11-2x 1%作出0wbwi的可行域，易得该函数无零点的概率P= 一 = 3.1X1 4 a-2b<015 .设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段.(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率;(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率.解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4; 1,2,3; 2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P=13(2)设其中两条线段长度分别为x, v,则第三条线段长度为6-x-y,故全部试验结果所构成的区域为0vxv6,0<x<6,0<y<6,即