圆锥曲线专题求离心率的值离心率的取值范围(供参考)

1、百度文库-让每个人平等地提升自我圆锥曲线专求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出a、C的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到、C的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中e = £ = Jl-上；双曲线中“+匕所以只 a V ，厂ci v cr要求出2值即可求离心率. a22例1. (2010年全国卷2)己知斜率为1的直线/与双曲线C： £.-2_ = 1(«>0, 6>0)相交于B、O两点，且8。的中点为"(1,3),求曲线C

2、的离心率.解析：如图,设8(改,凹)、。(，力)，则L13-整理得=0(x1-x2)(xl+x2)(凹一乃)(3'+/)h2又因为M(l,3)为5。的中点,则再+%=2,弘+丫2=6,且工产勺，代入得 kBl） =- = -v = 1» 解得乂 = 3, 所以e =，l +土 =Jl + 3 = 2.%）-x2 3，厂aV a方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与的关系，解得£的值，从而整体代入求出离 aa心率e.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得M+4=火/）,0 2叭a,b） = 2或者y1 + = 6y（“,），co（ayb） = 6从

3、而解出的值，最后求得离心率. cr【同类题型强化训练】1 .（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在X轴上的双曲线的渐近线方程为2x±3y = O,则双曲线的离心率为（）.口匠标八师A.B.C.D.32322 .（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在X轴上的一椭圆与圆*-2）2+（>，-1）2=产交于A、8两点，A8恰是该圆的直径，且直线A8的斜率攵=-1,求椭圆的离心率.2r213 .（母题）已知双曲线C：L-丁=1（?>0）,双曲线上一动点尸到两条渐近线的距离乘积为：， m2求曲线C的离心率.【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在X上，则渐近线方程以±”=0

4、, 乂题设条件中的渐近线方程为2x±3），=0,比较可得3则6 =+，=" + =早.222 .答案：设椭圆方程为=+二则 cr lr山工=i4+4=1cT b-cr b-整理得（）”"）+（“%），+%）=0crlr因为A8恰是该圆的直径，故A8的中点为圆心（2），且再。占则再+招=4,y+刈=2 ,代入式整理得k =江21 = 一二 xl -x2 cr直线"的斜率人弓，所以一当7,解得舁!所以离心率_V34 -T3 .答案：曲线。的渐近线方程分别为/ :x+Jy = 0和/? :xyfmy = 0j设尸（小，0），则% +金片点P（x0, y0）到直

5、线/,的距离4 =-,y/ + m% -而点P（x。, y（）到直线/,的距离d,= ,_一，VI + nid d _卜0 +诟儿卜卜0 -、石词_忖7阂121+/771 + m因为P（x0,九）在曲线C上，所以7； myl =7,故4,d> = 1 ,解得=11 + ni 2所以e =也.策略二：构造4,C的关系式求离心率根据题设条件，借助a,4c之间的关系，沟通以C的关系（特别是齐次式），进而得到关于。的一元方程，从而解方程得出离心率6.例2.已知片,£是双曲线£-E=im>o力>0）的两焦点，以线段”工为边作正三角形 cr bMFR ,若边的中点P在

6、双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图L 的中点为尸，则点尸的横坐标为-£.2由P用=怛区| = c，焦半径公式|尸国=-的,-后 c / cW c = x（）6/ , ci 2Vc2-2a2-2ac = 0有 / -2e-2 = 0解得e = l + V5,或” =1 一有（舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义e = £整理成 a关于e的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：e怖网 （0,1）,e双曲线e。,丑0）.【同类题型强化训练】L （20H新课标）已知直线/过双曲线C的一个焦点，且与C

7、的对称轴垂直，/与。交于A、8两点，IA8I为C的实轴长的2倍，则。的离心率为（）A.丘B.6C. 2D 3,22. （2008浙江）若双曲线二-三=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3： 2,则双曲线的 cr b离心率是（）A3B.5C. V3D. V5【同类题型强化训练答案】=2a，解得 e = 2 .1 .答案：依据题意|A卸=2（=2"2 .答案：依据题意（。+2）:（。-2）=3:2 ,整理得/=342,所以e = £ = VJ. c ca策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适

8、 用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即凹 =e.例3. （2010年辽宁卷）设椭圆C：二十二=1（。0）的左焦点为尸,过点尸的直线与椭圆C cr lr相交于48两点，直线/的倾斜角为60。，” = 2而，求椭圆C的离心率.解法一：作椭圆的左准线4*,过A作49的垂线，垂足为4；过8作89的垂线，垂足为8, 过8作/VT的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则豪,=|必华,雷卜=1吁手|:怛研=: =1=|A4Z| = 2怛叫且8M_LA4，所以M是A4,的中点乂因为直线/的倾斜角为60° ,即ZBAM = ZAFx= 60° , 所以在 R/AA4M 中，|A

9、目=2k| = |44,故e = / = 2兽=2.解法二：设4（%,%）,3（%2，、2），由题意知四°，、2。直线/的方程为y = y/3（x-c）,其中C =.y = Ax-c),三+汇=12，)cr lr得(31 +b2)y2 + 2yf3b2cy-3b4 =0-回2 (c + 2a)_ _回2 & _ 2a)3a2+b2，?2 =3a2+b2因为标=2而，所以一%=2%.忌气 + 2a) _ 一®(c _ 2a) =2 -3a2+b23a2+b2得离心率e = = . a 3方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义

10、要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对 计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。【同类题型强化训练】226L (2010全国卷二)已知椭圆C:=+二=1(加冲>0)的离心率为土，过右焦点尸且斜率为攵(>0)cr b-2的直线与C相交于4 8两点.若标=3方，则攵=()A.lB. y/2C.6D.22.已知厂是椭圆。的一个焦点，8是短轴的一个端点，线段8尸的延长线交。于点O,且BF=2FD,则。的离心率为.【强化训练答案】1 .答案：设直线/为椭圆的右准线，e为离心率，过A、8分别作A4，89垂直于/, 4、Bf 为

11、垂足，过B作8E垂直于A4,与M ,如图3所示，41=网，怛81=因，由万3丽，得pL4 = Wl所以 cosN8AE=j =翠lr-i-W, AB 4eBF 2e 3tan /BAE = NJ一1=企，所以攵=或.故选V cos /BAE2 .答案：方法一：如图 4, BF=>b2+c2 =a,作OR _Ly轴于点。，则由丽2而，得12LL = MJ = 2,所以|。|=m0尸|=3/ DD, BD 322图4即xD=-,由椭圆的第二定义得I FD = (-) = «- 2c 2乂 由 I BF1= 21 FD I,得 c = 2a ,整理得 3c2 2a2 + ac = O

12、.a两边都除以上得3/+e_2 = 0,解得e = -1(舍去)，或e = ± 3方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，尸分线段B。所成的比为2,0 + 2x>33 + 2),3y -b 30- bxc = = X,= 七.=一c; y. =- = % =-= 一一，'1+2- 2 ' 2'1+2.-222 4 a2课时2、离心率的取值范围一、师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围用曲线中变量的范围，在椭圆一 ),2LA= Ka>b>0)中，-a<

13、x<a ；在双曲线中x<-asix>a.-y2 后一宗22例L设椭圆5十:=1(。>>0)的左、右焦点分别为万、石，如果椭圆上存在点P,使 cr /FxPF2 =90°,求离心率e的取值范围.解析：设尸(x,y), 乂知石(一c,O) , E(c,O),则FlP = (x+c,y), F2P =。-3)因为N6”=90。，则可_L亏，即可币= (x+c)(x-c) +)，2=0所以 d+y2 =c2联立方程 7+庐，消)，解得/)，2。 一。厂+厂=L又因为N片尸尸,=90。，故即0« “二"h-<a，一c一夕解不等式，结合椭圆

14、的离心率范围为ee(0,l),可得6£4,1).方法点拨：由题知一。<上<，根据限制条件用",c表示X,即X = /(4,C),然后代入不等 式-"奴a,"c)<a,结合/=+/整理得关于小。的齐次不等式，从而求出离心率的取值 范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决.【同类题型强化训练】221.(2007湖南)设斗 鸟分别是椭圆, + £ = 1 (4>>()的左、右焦点，若在其右准线 上存在点P,使线段。耳的中垂线过点鸟，则椭圆离心率的取值范围是(4书4°4c制卜

15、臣222. (2008福建)双曲线:-2=1 (>0力>0)的两个焦点为小F-若尸为其上一点，且 cr|P用=2|尸国，则双曲线离心率的取值范围为()A (1, 3)B. (1,3C. (3,+co)D. 3,-ho)223.(2010四川)椭圆:十二= l(a>>0)的右焦点/，其右准线与x轴的交点为4在椭圆 a b-上存在点产满足线段月产的垂直平分线过点F，则椭圆离心围是()A(0,B.(0.1C. V2-1.1)D. 1.1【强化训练答案】1 .答案：如图，| = -c, C因为线段PF、的中垂线过点F2,则内国=|耳国耳A国|尸周=|环鸟| =2.，即2。之：一

16、。，解得e e 曰,+s)乂椭圆的离心率ee(OJ),综上。五,1 .L3 )2 .答案："、马分别为左右焦点，设P(x0,)，o)在双曲线的右支上，则|尸用=% +"归用=ex0-a ,由|P用=斗尸闯,则"o + a = 2(用_ a)解得与 Y因为P（x°,），o）在双曲线的右支上，则而之，即工2”，解得l<e<3.3 .答案：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点厂,即F点到P点与A点的距离相等而 |FA| = -c =|PF| ea-c,a+c-<1 a又ee(O,l),故6£',1).2于是生

17、e-c,a + c 即“c-c. < cr-ca2 -c2 < ac + c2策略二：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用.22例1.已知石、F）为椭圆二十二=1（。>>0）的焦点，M为椭圆上一点，NG"E=60。,则椭 a- b-圆的离心率的范围为解析：如图，为椭圆上一点，设M（%,y。），则MF = a+exQIF = a-ex在乱片用中，由余弦定理，则cos60° =MF + MF = 2a眼耳广+网”一区周112MFMF22联立解得其=二土、因为在椭圆中0君v1，则 3e。二<，/,解不等式得3）.2方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆

18、的焦半径公式，用表示/,即/=9（4,c）,根据变 量-解出离心率，但是此题要构成,故点M不能在x轴上，所以此题 -a<（pa.c）<a结合椭圆ee （0,1）的范围可求出离心率的范围.【自我评价】221 .已知椭圆二+二=1（>>0）的左右焦点分别为E（-c,0）、F）（c,0）,若椭圆上存在点尸使 a tr.厂=，则该椭圆离心率的取值范围为sin /PF】F2 sin /PF?F2 .（衡水调研卷）从一块短轴长为给的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取 值范围是3:4从,则椭圆离心率的取值范围是.3 .椭圆二+二=1（“>/2>0）的焦点为&

19、quot;，居，两条准线与x轴的交点分别为M, N,若a" Zr|MN|W2|耳目，则该椭圆离心率的取值范围是（）aH力用咱）【自我评价答案】L答案：如图，在耳。£中，由正弦定理，则I叫一归4一Sin/P/M叫 sin NPRR sin NP 外片sin ZPF2Fl PF2c ac sin ZPFF, a又=sinNPE sinNPEK sinNPF?" cul.、i 0 1尸川 a-ex aiac-a1） rlnil所以一 =一Ll = x =，且一 4cx<4,则c |P/s a + exac + c u<-<a ,解不等式得 e >

20、1 或e < - -1 （舍去）c/c + L又椭圆的离心率e e （0,1）,综上所述e e （后一 1,1）.222 .答案：设椭圆的标准方程为:+ ； = 1（>。>0）在第一象限内取点（X。,），。），由椭圆的参数方程知ro=：c°s,（o<6<2）y0 =/?sin 62则椭圆的内接矩形长为2acos。，宽为2sin 0 ,所以内接矩形面积为4r/?cossiii 0 = Ixibsin 28面积的取值范围为3/,4/，则3 <2,而sin2e«2a/"4/22所以3/42,必<4。2,即幼<为<4/

21、?,不等式同时平方得9/ < 4/ <16/?2设A8是双曲线:一二=1（。>0力>。）的一条弦，且M（x°,打）为弦A8的中点，则A8所在 cr b,即 9（a2-c2）<4a2 < 16（1 -/）且e =' a整理解得ewE，苧.3 .答案：D.【本课总结】对于求离心率问题常常有以下办法1 .自接求出a,c,或求出2,代公式e椭网=£ =1一4，e双曲坡=£ = jl+4求解.常见的与2相关的一些题设条件： a22设A8是椭圆二+二=1（>力>0）的一条弦，且M（x°,），o）为弦A8的中点，

22、则A8所在的直 cr lr线方程的斜率如=-岸4"o的直线方程的斜率砥8=£9；a ?0双曲线的渐近线方程），=±2工或），=±3乩ab2 .构造关于a,c的方程或不等式，利用离心率e = £转化成关于e的一元方程或不等式求值或 a求范围.3 .根据圆锥曲线的第二定义6 =凹1 （到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率）可以 d求离心率的值.4 .根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到x°=W,4c）,（今为曲线上的 点的横坐标），再根据曲线中飞的取值范围可求离心率的取值范围.5 .对于求离心率的范围问题，其本质在曲线

23、中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不 等式即可.圆锥曲线离心率家庭作业L若双曲线/+公2=1的离心率是2,则实数k的值是C.3F?,以耳、鸟为边作正三角形，若椭2 .椭圆,营=”">0）的两个焦点分别为八圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为B. V3-1C. 4(2-73)3 .已知双曲线»2。心。）的左、右焦点分别为它，若在双曲线的右支上存在 一点P,使得|尸用=3|尸周，则双曲线的离心率e的取值范围为百度文库-让每个人平等地提升自我4 .已知双曲线二-产=1 （。0）的一条准线与抛物线V=6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）V33A. -B. J

24、瓜CT2/3 。亍5.若椭圆经过原点，且焦点为"（10）、尸2（3,0）,则其离心率为（）3211A IB.c I。46.如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（）"R 娓r 3n 7A. d , O. Zy. 2222227.点P （-3, 1）在椭圆二十二=1 （ah0）的左准线上，过点尸且方向为1 = （2,-5）的光 cr b线，经直线y = -2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）x V3D41八 1A. B. -C.D.一3322298 .已知尸|、&是双曲线二-二=1 （。/。）的两焦点，以线段巴后为边作正三角形 cr /

25、rMF岛,若边知玛的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 + 2735. V3-1 C. 士了 £）, V3 + 19 .设双曲线=1 （Ovav/2）的半焦距为c,直线/过（小0）,（0/）两点.已知原点到直线的距离为三C，则双曲线的离心率为（）D.空3%, NRMa=120°,则双曲线的离心率D.由4A 2B. y/3C.10 .双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为A、为（）A V3 B.叵 C23n.设椭圆的两个焦点分别为FrA，过F?作椭圆长轴的垂线交椭圆于点尸，若&FPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是。12 .设椭圆-二=1（4>0房

26、>0）的右焦点为居，右准线为J 若过死且垂直于x轴的弦 CT的长等于点E到6的距离，则椭圆的离心率是13 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为直，焦点到相应准线的距离为1,则该椭 圆的离心率为（）aV21V2A. J2B.C. JD. -j-14 .设0,则二次曲线/cot6-俨tan6 = 1的离心率的取值范围为（）I 4；1（1 拉）fV2 J公、A. B. »C. D. （2,+<x）212 2 J 2 ）15.如图，已知梯形A8CO中，|44=斗8|,点E分有向线段元所成的比为九，双曲线过C、D、E三点，且以4、B为焦点-当士工2二时,，求双曲线离心率e的取

27、值范围。 34【家庭作业参考答案】1 .答案：先将方程化成标准形式，然后确定力、/，再根据< =1求出攵的值.故选Acr2 .答案：设点尸为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图,由平面几何知识可得IP序:1球1:1月用1=1:百:2 ,所以由椭圆的定义及。=£得：aC;谭篇"高母3 .答案：如图，由|P用=3归周及双曲线第一定义式IP不一IP51=2”，得:IP" 1=3”，PF2 =a9 又I"8 l=2c.因为点尸在右支上运动，所以IP"I + IP6以"FJ,得B|J - < 2 ,又 e>l,故填 lve

28、71;2. a4 .答案：抛物线V=-6x的准线是x = =,即双曲线的右准线工=！ = 3,则2c c 22c2-3c-2 = 0,解得。=2, 4 = 5 e，= 2,故选D a 35 .答案：山尸i（l，。）、尸2（3.。）知 2c = 3-1, c = 1 ,又:椭圆过原点，a-c = l, a + c = 3,c i4 = 2, c = l,所以离心率C = = .故选ca 2°6 .答案：由题设a = 2, 2c = 6,则c = 3, e = = 因此选C a 27 .答案：由题意知，入射光线为），-l=-g（x + 3）,关于y = -2的反射光线（对称关系）为5x-

29、2y + 5 = 0,则 c解得 a = V5, c = l, WO e = = ,故选 A-5c + 5 = 0q 38.答案：如图，设加片的中点为P,则P的横坐标为-21由焦半径公式|娼=-6勺-。Qlt c即 C = -XC2>“，得 £ -2 £ -2 = 0,解得c = = + 旧（1 y/3 舍去），故选 D. a9.答案：由已知，直线/的方程为加+少-帅=0,由点到直线的距离公式，得abla2 +b2V3=c,44J,. er tr cr/=4,，e = 2,故Xc2 =a2+b2, 4皿=回2,两边平方，得 16/卜2-/）=3/,整理得3/-16 +16 = 0 ,4得 e2