奥赛专题直线圆锥曲线平面向量

1、学习好资料欢迎下载专题五直线圆锥曲线丽量一能力培养1,函数与方程思想 二问题探讨问题1设坐标原点为2,数形结合思想3,分类讨论思想4,转化能力5,运算能力 0,抛物线 寸=2x与过焦点的直线交于 A,B两点，求OA OB的值.2 2X y问题2已知直线L与椭圆 =1交于P,Q不同两点，记OP,OQ的斜率分别为a bb2kop ,kOQ，如果Kop kOQ =,求PQ连线的中点M的轨迹方程.a问题3给定抛物线C: y2 =4x ,F是C的焦点，过点F的直线I与C相交于A,B两点.(I)设I的斜率为1,求0A与0B夹角的大小； (II)设FB = aAF，若几亡4,9,求I在y轴上截距的变化范围.

2、问题4求同时满足下列三个条件的曲线C的方程：是椭圆或双曲线；原点O和直线X=1分别为焦点及相应准线 被直线x + y =0垂直平分的弦 AB的长为242.三习题探选择题1已知椭圆2=1的离心率 3则实数k的值为k5A,3B，3或B，屁，皿或呼2 一动圆与两圆X2 +y2 =1和X2 +y2 +8x+12 =0都外切，则动圆圆心的轨迹为A,圆B,椭圆C,双曲线的一支D,抛物线3已知双曲线的顶点为(2,-1)与(2,5),它的一条渐近线与直线3x-4y =0平行，则双曲线的准线方程是9A, y =2±匚5B, X =2 ±95c,y = 2±r5D,x = 2

3、7;1254抛物线2y =2x上的点P到直线y=x+4有最短的距离，则P的坐标是A,(0,0)1c，(2,1)J 1、叫，2)5已知点B，(1,2)11F ( ,0)，直线I : X =-,点B是I上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段 44D,抛物线8,到右准线的最小距离BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是A,双曲线B,椭圆C,圆填空题2 2X y6椭圆 =1 (a >b >0)上的一点到左焦点的最大距离为a b10为一，则此椭圆的方程为.337与方程x = y的图形关于y=-X对称的图形的方程是.8设P是抛物线y2-4y-4x=0上的动点,点A的坐标为(0, 1),点M在直

4、线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是.9设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(1,0), F2(1,0),且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,则椭圆与双曲线的交点轨迹是 解答题10已知点H ( -3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ 上, 且满足hP pM =0,pM=-3mQ.2(I)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； (II)过点T (1,0)作直线I与轨迹C交于A,B两点若在x轴上存在一点E (Xo,0),使得心ABE是等边三角形，求x0的值.2 2x y11已知双曲线C：务=1 (a0,b0),点B,F分别是双曲线 C的右顶点和右焦点，a bIIOA

5、,ob,of| 成等比数列，过点F作双曲 线C在第一,第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.(I)求证:PA OP = PA "FP ；DFO为坐标原点.点A在x轴正半轴上，且满足(II)设a=1,b=2,直线I与双曲线C的左,右两分支分别相交于点 D,E,求的值.12已知双曲线的两个焦点分别为Fi,F2,其中Fi又是抛物线y2=4x的焦点,点A (1,2),B(3,2)在双曲线上.(I)求点F2的轨迹方程；(II)是否存在直线y = X + m与点F2的轨迹有且只有两个公共点？若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.四参考答案2 1问题1解:(1)当直线AB丄X轴时，在y =2x

6、中,令X =-,有y =±1 ,则 碍,1)月(1 1),得 OAOB-deG1)=电.22224当直线AB与X轴不互相垂直时，设AB的方程为：y = k(x-1)!y =k(x 2),消去 y,整理得 k2x2 (k2 +2)x+丄k2 =0,显然 kHO.4由y2 =2k2 +2设 A(X1-y1)-B(X2-y2),则心2=亍必Oa OB = (X1, yj (X2,y2)= X1 咲2+ y1 灯花 凶十 k(x 1)1k(x22)=(1 +k2)x1 'X2 -齐円2冲2宀2+*=344k2综(1),(2)所述，有 oA OB = 问题2解:设点P,Q,M的坐标分别

7、为(Xi,yi),(X2,y2),(x, y)2 2 2 2b2 =1尹*=1X1 +X2 xu-y y1 + y2 ym _X1X22X22a2+y_b即(X1 +X2)2 +(y1 F22X2”b2迸f将，代入得于是点M的轨迹方程为2Xa2=1.问题3解:(I)C的焦点为F(1,0),直线I的斜率为1,所以I的方程为y=x1,把它代入y2 =4x,整理得x? -6x+1 =0设 A (xi, yi) ,B(X2, y2)则有 Xi +X2 =6,XiX2 =1.OA OB =(X1,y1)(X2,y2)=曲2 +炖2 =2x,X2 -(X1 +X2)+1=-3.OA OB =(X； + y

8、22 = Jx1X2x1X2 + 4(捲 +X2) +16 = 74?cos cOA, OB >=OA OB341OAlOB 41所以OA与OB夹角的大小为兀-arccos34141(II)由题设 FB = aaF得(X2 -12)=入(1 -X1, -yj，即 -X? 1 = A(1 Xj >2“得丫2=几y1，又y1= 4x1, y?= 4x2，有X2= ZX1，可解得x?=几，由题意知a > 0,得B仏,2 JT)或仏，-2 JT),又F(1,0),得直线l的方程为(a1)y =27r(x -1)或仏1)y = 27r(x1),当点4,9时,1在y轴上的截距为或-，由，

9、可知几一1几一1 A 1+1 A 1在4,9上是递减的，于是3 < <4- <A14 A133 入 一1<2443 , 3 4所以直线I在y轴上的截距为匕，七,3.问题4解:设M(x, y)为曲线C上任一点，曲线C的离心率为e (e0,e H1),由条件，得X-1=e,化简得：(1 -e2)x2 + y2 +2e2x e2 = 0(i)设弦AB所在的直线方程为 y = X + m(ii)(iii),(ii)代入(i)整理后得：(2-e2)x2 +2(m+ e2 )x + m2-e2 =0可知e2 =2不合题意，有2 -e2 H0 ,设弦AB的端点坐标为A (X1, yj

10、 ,B(X2, y?) ,AB的中点P(X0, y。)则X1, x?是方程(iii)的两根.X<| + X2 =222(m+ e)“、2(m+e)厂， + y2 = (Xj + m) +(X2 + m) = F +2m 2-e2-eXi +X22 2= m,y0=宁又中点 P(x0,y0)在直线 x+y=0 上,e2 - 222有 ye +(m+1)e -m=0,解得m=-2，即AB的方程为y=x-2,方程(iii)为 e -2 e -2(2 -e2)x2 +2(e2 -2)x +4-e2 =0 ,它的人=8(e2 -2) a 0 ,得 eS-2.Xi +X2 =22 -e22(2+e)

11、=2,Xi X24-e2 2-e2由 AB =Ji +k2Xi2-X2，得 AB2 2 2 2= (Xi X2)(1+k ) =(Xi +X2)4xiX2(1 + k )42e2)(12)，得 e2 =4 >2,将它代入(i)得 3x2 y2 8x + 4 = 0 .2 -ez 4 2(X-石) 所求的曲线C的方程为双曲线方程：3-49251焦点在X轴得k =3；焦点在y轴得，选32y_=1.43B.2设圆心0(0,0), Oi(M,0) ,0'为动圆的圆心贝U 0012 y 3知双曲线的中心为(2,2),由3x-4y=0变形得y2 2T-T"'它的准线为9-O

12、'O =(r +4)-(r +1)=3,选 C.2X=0，于是所求双曲线方程为9169，即 y = 2 ±-，选 A.524设直线y=x+m与y =2x相切，联立整理得221由A =4(m1) -4m =0,得m=-,这时得切点2+ 2(m1)x + m =0,(-,1),选 B.25由MF = MB知点M的轨迹是抛物线，选D.'a +c =8I286可得<a210,消去c,整理得3a -7a-40=0,有a=5或一(舍去),得c = 3,Ia=3Lc 32 2X yb = 4,所以所求的椭圆方程为一=1.2516'37设点P(x,y)是所求曲线上任一点

13、，它关于y = -x对称的点P (-y,-X)在x = y 上, 有-y =(_x)3,即 Y =x .8 设点 P(X0, y。) ,M (X, y)，有 X / +2" , y = y。+ 罗-D,得 x。= 3x , y。= 3 y + 23而y。'4y0 4X0 =0,于是得点M的轨迹方程是9y2-12x-4=0.9由条件可得PFi =3 PF2或PF2 =3 PFi，设P(x, y)代入可知交点的轨迹是两个圆10 解：(I)设点 M(x,y),由3mQ,得 P(0,舟),q(3,0)223由HPpM=0,得(3,_与).(x，¥)=0,所以y2=4x.又点

14、Q在X轴的正半轴上，得xaO.所以，动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点.(II)设直线 I ： y =k(x +1)，其中 k H 0,代入 y2 =4x，整理得 k2x2 +2(k2 2)x + k2 =0设 Azmsz+X2 2,X1X2 =1，y1+y2 = k(X1+1)+k(x2 + 1)= k(X1 中X2) +2k =-，有 AB 的中点为(2F 上),kk k2-k2AB的垂直平分线方程为 W(x 一甘)，令y=0，X0=W+m E(W+1,0)kk由也ABE为正三角形,E到直线AB的距离为32AB，知 AB = 时.k2由2亦7 2応k2

15、爲11|k|,解得k"m，所以-蔦11a11(I)证明：直线l的方程为：y= -(x -c)bI a /、y =_b(x_c)b y = -Xa，得 P(a-,ab-)，又c coA，ioB，ioF 成等差数列，得 A(,0),有 PA = (0,-亚),OP辿),ccc cc c于是 血00 =空咸# =a2b2III，因此 pA oP=pA tP .1(II)由 a =1,b =2,得c =75,1 ： y =-(x 75)1 y = - - ( X -幕)2，消去 X,整理得 15y2 -16j5y+16 = 04“x2-y设D(xi, yi) ,E(x2,y2),由已知有yi > y2 ,且是方程的两个根.y 十“1/5 yy 16 y. y2 (%+丫2)2-2丫2y1 + y2 =, y1y ,+=1515 y2又 y1y2,得 =1,因此 jDFyiyiyi崗力-y2昱2y112 解:(I) Fi(1,0), AF1=BF2 = 2J2，设 F2(X, y)则- AF2-BF-IBF2II =2a >0,去掉绝对值号有两种情况，分别得F2的轨迹2 2方程为 X =1 和(X “ +_d =1 ( y H0, y 工4 )842 2(II)直线 l1：x =1,12: y = x + m,