常微分方程习题(15)

1、常微分期末试卷(20)填空了2.解3. 称为一阶线性方程，它有积分因,其通解为。 称为黎卡提方程，若它有二个特 y(X),则经过变换 ,可化为伯努利方程。若0 (X)为毕卡逼近序列久©的极限，则有<p(X)久(犬)<4.若(匸1,2厂n)是齐线形方程的n个解，吐t)为其伏朗斯基行列式,5.则W(t)满足 O若坛(i二n)是齐线形方程的一个基环:解组，x(t)为非齐线形方的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表如果A(t)是nXn矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在aGWb上满足 时，方程组X'二A(t) x+ f(t)满足初始条件X (t,)= “的解在a<t

2、<b上存 在唯一。7.若0 <t)和0 (t)都是x" = A(t) X的S解矩阵，则0 (t)与孙(t)具 有关系: 8若(P (t)是常系数线性方程组V = Ax的基解矩阵，则该方程满足初始条件的点(")，称为方程的解肖a)=9.满足_组的奇点。10 .当方程组的特征根为两个共轨虚根时，则当其实部 时，零解是稳定的，对应的奇点称为二.计算题(60分)1 ydx (X + y)dy = 02. （少-4勺卑+ 8）/=0axdx3. 求方程牛+ ），2经过（。，。）的第三次近似解4. x" + x = sinr-cos2f5.若A =试求方程组x&#

3、39; = Ax的解申（/）,%（O） = 77 =71“2并求expAt6.求竺= -x- dt¥ + 1,生=兀一，一5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. dt三证明题（10分）设f（X, y）及生连续，试证方程dy-f（X, y） dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与X的积分因子.答案一 填空e = "(x)y + g)dxg-f pxdx"gq*茴”曲必+c）2.牛*（用+0（小+恥）(/? + !)!/I4. w' + U, (r)w = 05. x(r)=工qXj(/) + xt)6. A(t) f(t)连续/=!7.= #(F)c,de

4、tc H 08。肖a）= 0卩（0）9<牛= X(3) at ，心y)I Clt中 X(x, y)=O,Y(x, y)=010.为 0 稳定中心二计算题dM1-解：因为dydN _",所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子dx匚dy“(y) = e "> =e31s 丄 ri 二 1 zn dx x+y=p,两边同乘p得，yydy = 0所以解为J丄必+ J,5-x+y. ydy = c兰+ 21 = C即2x = y（+ c）另外尸0也是解 ）'23+ 832-令空*则有*41*dx4”2.解：方程可化为乳=也* ,4y©dx(*)两边对 y

5、 求导：2y(p3_4y2)空+ #(8y2_ p3)= 4y2pdy即（p3-4y2）（2y 空一p） = 0 山 2y 空一 p = 0 得 p = cy 即 y = （£）?将 y 代 dydyc入(*) x = +即方程的含参数形式的通解为：4启<?22px = + -y4cP为参数严（与c乂 山 p3_4y2= 0 得 p = （4），2）3 代入（*）得:y = x也是方程的解270（） = >0 = °厂z 戏0=yo+Jo 皿=空3.解：rx X X P輕=旳+0（兀+ -）厶=-+函fA- / 严 J ?07 = y（ + I （X 411）d

6、x =11!*3 Jo' 4400 20220 4400 1604.线性方程X" + X = 0的特征方程22 + 1 = 0故特征根2 = ±/i(z) = sinz A = i是特征单根，原方程有特解x = r(Acosr + Bsinr)代入原方程A=- B=0=-cos2r 2 = 2/不是特征根，原方程有特解品+肌in2代入原方程r所以原方程的解为 x = Cj cos/ +6*2 sin r -r cos r + - cos 2t?! 2 5.解：/?（A）=A-4= /l2_6zl + 9 = 0解得人.2=3此时 k=l/Ji=27172；_A f

7、“I"2巾+"一|+ 772）72+（-71+72）'Ll fl山公式expAt= /工石（4 ylEy得M） fexpAz =e'】4"10"'-1 f、3fl-ft01+ r-1 1> =e-t1 + rE + /（A 3£）6.解：山4X y +1 = 0>解得奇点（3,X y 5 = 0-2）令 X=x-3, Y=y+2 则dx = -x-y dtdydt 丿因为=1+1 HO故有唯一零解(0, 0)llE= 2 + 2/1 + 1 + 1 = 22+22 + 2 = 0得2 = -1±/故（3, -2）为稳定焦点。三-证明题证明：1若该方程为线性方程则有 = px)y + Q(x) (*)此方程有积分因子 dx“(X)只与X有关2若该方程有只与X有关的积分因子“(x)则“(x)y-“(x)/gy)x = O为恰当方程，