抛物线(基础)-学案

1、全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）授课主题第06讲-抛物线授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握抛物线的定义及标准方程掌握抛物线的图形和几何性质 了解抛物线的综合应用，理解数形结合的思想授课日期及时段T (Textbook-Based )司步课堂3知识梳理一、抛物线的定义平面内与一个定点 F和一条定直线1（定点F不在定直线I上）的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点，直线 I叫做抛物线的准线。（1）抛物线的定义的实质可归结为一动三定” 一个动点M; 个定点F （抛物线的焦点）；一条定直线1（抛物线的准线）；一个定值1（点M与定点F的距离和它到定直线

2、I的距离之比等于1）（2）常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化二、抛物线的标准方程及其几何性质焦点在x正半轴上焦点在x负半轴上焦点在y正半轴上焦点在y正半轴上标准方程2y =2px ( p aO )2y = 一2 px(P >0)2x =2py ( p> 0)=-2 py P0)图形AX1Jy顶点(0,0)性对称轴x轴y轴质焦占八'、八、(t,0)（-子，0(0,扌)(0,-扌)全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）准线x=-Px=fyjy=£2222范围x >0, y RxWQ y Ry >Q

3、x Ry WQ x R离心率e=11、P的几何意义：P是焦点到准线的距离，故 P恒为正.2、焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以统一写成y2 =ax（aH0）；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以统一写成x2=ay（aH0）.3、焦点的非零坐标是一次项系数的11丄，准线方程中的常数为一次项系数的-1444、求抛物线的标准方程（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为P，写出抛物线的标准方程,（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：判定是否在原点；确定焦点在哪个

4、半轴上，确定标准方程类型；根据条件列出关于P的方程，解出P值，即可写出标准方程5、抛物线y2=2px（ P A0）上点的坐标可设为（ 亜，y0），在计算时，可以降低计算量2p典例分析考点一：抛物线的定义及标准方程例1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程:1准线方程是x = ；4焦点到准线的距离是 2；(1)(2)过点（一3,4 ）;(4)过焦点且与 x轴垂直的弦长是16 ；焦点在3x-4y -12 =0上.全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编(附详解)全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）例2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点 P（m, 2）到焦点的距离为 4，则

5、m的值为7C. 4 或- 4D . 12 或一2例3、过抛物线y2 =16x的焦点作直线交抛物线于A(X1,y1 ),B(X2,y2)两点，如果为 + x6，那么 | AB =)A. 8.10.14.16例4、在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线交于A、B两点.其中点轴上方。若直线丨的倾斜角为600。则 OAB的面积为考点二：抛物线的几何性质例1、在y = 2x2上有一点P,它到A（1,3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（A . (-2,1)(1,2)C . (2,1)D . ( 1,2)例2、若点P到直线x = 1的距离比它到点（2,0）的距离小

6、1,则点P的轨迹为（）B 椭圆C.双曲线D.抛物线例3、若抛物线=4x上一点P到其焦点F的距离为2 , O为坐标原点，贝y也OFP的面积为（例4、设抛物线=4x的焦点为F,过F作倾角为60°的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），与其准线交于点S$OF10考点三：抛物线与直线的位置关系例1、已知直线l过抛物线E : y2 =4x的焦点F,且依次交抛物线E及其准线于点A, B, C （点B在点A, C.12之间)，若 |BC| = 2|BF I，则 |AF 1=(A.-=2y均相切，设A，B两点的纵坐标分别例2、抛物线y2 =2x的内接A ABC的三条边所在直线与抛物线是a,b，

7、贝y C点的纵坐标为()A. a +bB . _a bC . 2a+2b.-2a-2b例3、过抛物线y2 =4x的焦点F作直线l与其交于A, B两点,|AF| = 4，则 |BF =A. 2例4、设抛物线C : y2 =2x的焦点为F，直线l过F与C交于A, B两点，若| AF |= 3| BF |，贝U l的方程考点四：抛物线的综合问题例1、已知以坐标原点为顶点的抛物线C,焦点在x轴上，直线x y= 0与抛物线C交于A、B两点.若P(2,2)为AB的中点，则抛物线 C的方程为已知 FA + FB + FC = 0例2、设F为抛物线E: X2 =2py(P >0)的焦点，A B、C为该抛

8、物线上三点, 且| FA |+| FB | + |FC 1=6.(1)求抛物线方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y = -1相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过 y轴上某定点。例3、已知抛物线2y =4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点 P,Q,两点。证明：存在唯一一点 K ,1 1使得2 I 2为常数，并确定K点的坐标。pk| Ikqt一 11例4、在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线C上任意一点到点 M (0,_)的距离与到直线 y = -一的距离相等.22(I)求曲线C的方程;(n)设A1(xi，0) , A2(x2,0)是x轴上的两点 为+ X2工0,为2 H0,

9、过点Ai，A2分别作x轴的垂线,与曲线C分别交于点a/'A?:直线AA2'与X轴交于点A3(X3,O)，这样就称X1,x2确定了 X3 .同样，可由X2,X3确定了 X4 .现已知=6,X2 =2，求X4的值.P(P ractice-Oriented)实战演练实战演练课堂狙击1.抛物线my2+x =0上的点到定点(4,0)和到定直线x = -4的距离相等，则 m的值为()全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）1A.161B .16C. 16D .-1622、过点（0, 2）与抛物线y =8x只有一个公共点的直线有（D.无数条3、已知抛物线y2= 4x上两个动点 B、C

10、和点A（1,2），且/ BAC = 90°则动直线 BC必过定点（）A. (2,5)B ( - 2,5)C. (5, - 2)D. (5,2)4、已知抛物线则有（）A .C .y2 = 2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(X1,yi)、P2(X2, y2)、P3(X3, y3)在抛物线上，且 2X2= Xi+ X3,|FP1|+ |FP2|=|FP3| 2|F P2|=|F P1|+ |FP3|FP 1|2+ |FP2|2 = |FP3|22|FP2| = |FP1| |FP3|5、已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q （2, 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得

11、最小值时，点P的坐标为（A .（，-1）4B . (1,1)4C. (1,2)D. (1,2)6、已知点M是抛物线y2= 4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C: (X 4)2 + (y 1)2= 1 上，贝U |MA|8+ |MF|的最小值为7、以抛物线y2 =4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（A. X2 +y2 + 2x =02 2B. X +y + x = 02丄2CC. 上 +y -X =02 丄2CCD. X +y -2x = 0课后反击21、过抛物线y =4x的焦点F作垂直于X轴的直线，交抛物线于B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是2、等轴双曲线C的中心在原点，焦

12、点在 X轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A , B两点，屈1二4炖,则C的实轴长为（A. VsC. 4全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编(附详解)3、已知点A(0,2 )，抛物线y1. 【优质试题年四川理数】设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y=2 px(pA0)上任意一点，M是线段PF上的点，且 PM 1=2 MF I，则直线OM的斜率的最大值为() =2px( p aO)的焦点为F，准线为丨，线段FA交抛物线于点B，过B作准线丨的垂线，垂足为 M，若AM丄MF，贝U P =4、某抛物线形拱桥的跨度为 20米，拱高是4米，在建桥时，每隔 4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度

13、是25、设斜率为2的直线丨过抛物线y = ax (a H 0)的焦点F且和y轴交于点A,若 OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().2A. y = ±4x2B. y =4x2C. y =±8x2D. y=8x126、轨迹方程为100哙"，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的X器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令?M(0, 64)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8, 0).观测点A(4, 0)、B(6, 0)同时跟踪航

14、天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在 x轴上方时，观测点 A、B测得离航天2. 【优质试题浙江理数】若抛物线 y2=4x上的点M到焦点的距离为10，贝y M到y轴的距离是 O 4-23. 【优质试题天津理数】设抛物线x p , (t为参数，p> 0 )的焦点为F,准线为I.过抛物线上一点y =2 pt作I的垂线，垂足为B.设C ( = p,0) , AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且SCE的面积为 2，则p的值为24.【优质试题浙江,理5】如图，设抛物线y =4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B在抛物线上，点C在y轴

15、上，则ABCF与卫ACF的面积之比是()BF-1B . 1BF1 |AFAF-1BF+1D lBFAF+ 1 |AFA .C.2-12-12+ 12+ 15.【优质试题上海,2理5】抛物线y =2px ( p >0)上的动点焦点的距离的最小值为6.【优质试题新课标1，理10】.已知抛物线C : y2 =8x的焦点为F，准线为丨，P是丨上一点，Q是直线PF与C的一个焦点,若 FP =4FQ，则 |QF| =A. 77.【优质试题全国大纲，理21】已知抛物线 C:2y = 2 px( p A 0)的焦点为F,直线y = 4与y轴的交点5为P,与C的交点为Q,且|QF |= | PQ |.4(

16、II)过F的直线I与C相交于A, B两点，若(I)求C的方程;AB的垂直平分线与C相较于M , N两点，且A, M ,B, N四点在同一圆上，求l的方程.全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）Ssummary-Embedded)归纳总结14名师点拨一：基础知识概要设抛物线的方程为 y2 =2px （ p0）,直线Ax +By + C = 0 ,将直线方程与抛物线方程联立，消去2y得到关于X的方程mx +nx + p=0.（1 ）若m M0,当> 0时，直线与抛物线有两个交点当30时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切 当< 0时，直线与抛物线无公共点（2）当m=0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行二:规律方法技巧1、已知抛物线y2= 2px（p>0）,过其焦点的直线交抛物线于A、B两点（如右图所示），设A（X1, y） By, y2）.则有以下结论:(1)ABEx1 + x2 +p，或ABA煮“为AB所在直线的倾斜角）；(2)2P-X1X2=；4(4)2y1y2 = P .以AB为直径的圆与抛物线的准线相切2p.2、过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为 3、直线方程与椭圆方程联立，