平面的基本性质及空间两条直线的位置关系

1、全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)平面的基本性质及空间两条直线的位置关系【考情分析】考试要求平面及其基本性质A级要求理解空间点、线、面的位置关系，了解可作为推理依据的公理和 定理；理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位 置关系；了解异面直线所成角.【知识清单】1平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内.公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些 公共点点的集合是经过这个公共点的一条直线.(3) 公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.2.空间中两直线的位置关系(1)

2、空间中两直线的位置关系I平行共面直线jI相交异面直线：不同在任何一个平面内(2) 异面直线的判定 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 不经过该点的直线是异面直线.全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）符号表示：若I? a, A? a, B a, B?l，则直线AB与I是异面直线.（3）异面直线所成的角定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线a/ a,b7/ b,把a 与 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或范围:0，n（4）公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.（5）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个

3、角相等或互补.【课前预习】 1.（必修2P23练习2改编）用符号表示点P在直线I外，直线I在 平面a内”为 答案：P芒I , I ca解析：考查点、线、面之间的符号表示.2.（必修 2P26 练习 2 改编）如果 0A/ OiAi, OB/ OiBi,那么 N AOB与z A1O1B1的大小关系为 答案：相等或互补 解析：考虑两种情况.3.平面 aP p= I，点 A a,点 B a,且 C?l, C 又 AB Al = R,如图所示，过 A, B, C三点确定的平面为（X.答案:直线CR解析:为C,RB,故 CR= (30 Y4.若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c由已知条件可知，

4、C Y ABQI= R, AB? y所以R y又因答案：异面直线、平行直线、相交直线解析：把直线放在正方体内可知 a与c可以异面、平行或相交.贝y点 A, B, C, D,C依次首尾相接的四条线段必共面.解析：中，假设存在三点共线，则这四点必共面,与题设矛盾，故5.以下四个命题:不共面的四点中，其中任意三点不共线; 若点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面,E共面; 若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面;其中正确命题的个数是 答案：1正确；中，若A, B, C三点共线，则点A, B, C, D , E有可能不共面，故错误；中，如图所示正方体的棱中，a, b共

5、面，a, c共面，而b, c异面，故错误；中，空间四边形的四条线段不共面，故错误.【典型例题】目标1多点共线与多线共点的证明例1如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD 各边 AB、AD、BC、CD上的点，且直线EF和GH交于点P.求证:上.解析：如图所示，因为EFnGH=P,所以PC因为 E AB, F AD,所以EFu平面ABD，所以P平面ABD.因为 G BC, H CD,所以GHu平面BCD，所以P平面BCD.C因为平面ABD n平面BCD=BD ,所以P BD，即B、D、P三点在同一直线上.【借题发挥】变式 如图所示，在正方体ABCDAiBiCiDi中，E为AB的中点，F为A

6、Ai的中点.求证：CE、DiF、DA三线交于一点.解析：连结EF, DiC, AiB.因为E为AB的中点，F为AAi的中点,A/f/!尸 zZz4FCA E ftC,所以 EF/ AiB , EF = 2aiB.又因为 AiB/ DiC，所以 EF/ DiC,全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)又平面AiDiDA门平面ABCD= DA,根据公理3,可得P DA，即CE、DiF、DA相交于一点.【规律方法】(1)证明点共线的方法: 先考虑两个平面的交线，再证明有关的点都是这两个平面的公共点; 先选择其中两点确定一条直线，再证明其他点也在这条直线上.(2)公理的正确运用，严密的

7、逻辑推理过程，文字、符号、图形语言的转化是立体几何的基本要求，也是高考考查的重点能力.目标2点、线共面的证明例2在长方体AiBiCiDi - ABCD中，E、F分别是棱AiA和棱CiC的中点.求证：四边形BiEDF是平行四边形.证明：设Q是DiD的中点，连结EQ、QCi, E 是 AiA 的中点， EQ / AiDi 且 EQ = AQi. 在矩形AiBiCiDi中，有AiDi平行等于BiCi.全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）由公理4,得EQ平行等于BiCi,四边形EQCiBi是平行四边形.二BiE平行等于CiQ.又由F、Q分别是矩形CiCDDi中CCi、DiD两边的中

8、点，得QD 平行等于CiF.FD.四边形DQCiF是平行四边形，从而CiQ平行等于由公理4,得BiE平行等于FD,所以四边形BiEDF是平行四边形.【借题发挥】 变式1如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,/ FAB= 90 BC / AD, bc ad , BE / FA, be fa ,G、H分别为FA、FD的中点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形;DE占C所以 GH / BC, 且 GH= BC,所以，四边形BCHG为平行四边形.HC、D、F、E四点是否共面？为什么?解析：（1）证明由已知FG = GA, FH = HD ,GH / AD，GH AD，又 BC/ AD，B

9、CEAD，由BE / FA, be =2fa, G为FA的中点知,BE / FG, BE= FG,所以，四边形BEFG为平行四边形,所以，EF/ BG.由（1）知 BG/ CH , BG = CH，所以，EF / CH，所以，EF 与 CH 共面.又D FH，所以，C、D、F、E四点共面.【规律方法】证明几条线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内;先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.【拓展训练】如图，A I, B l, C l, D芒I，求证:直线AD、BD、CD共面.解析：因为D芒I，所以过点D及直线I可确定平面a./必ot

10、因为 A I, B I, C I，所以 A、B、Ca.所以直线AD、BD、CD共面于a.目标3空间直线位置关系问题 例3已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点,G分别是边BC、CD的中点.（1）求证：BC与AD是异面直线;求证：EG与FH相交.解析：（1）假设BC与AD不是异面直线,D面, 不妨设它们所共平面为 a则B、C、A、D a全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解) 所以，四边形ABCD为平面图形，这与四边形 ABCD为空间四边形相矛盾.所以，BC与AD是异面直线.(2)如图，连结 AC, BD，贝J EF / AC, HG/ AC,因此EF / HG

11、 ;同理EH / FG,贝J EFGH为平行四边形.又EG、FH是平行四边形EFGH的对角线, 所以，EG与FH相交.【规律方法】(1)证明直线异面通常用反证法，证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面;证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等.【拓展训练】是AiBi、B1C1的中点.问:(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由;如图所示，正方体 ABCD AiBiCiDi中，M、D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解析：(1)不是异面直线.理由如下:连接 MN、AiCi、AC.因为，M、N分别是AiBi、B1C1的中点，所以,MN / AiCi.又因为

12、AiA/ CiC，且 AiA=CiC,所以，AiACCi为平行四边形,全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）所以，AiCi / AC,所以，MN / AC,所以，A、M、N、C在同一平面内，故 AM和CN不是异面直线.是异面直线.证明如下: 因为，ABCD-AiBiCiDi是正方体，所以，B、C、0、Di不共面.假设DiB与CCi不是异面直线, 则存在平面 a使DiB?平面a CCi?平面a,所以，Di、B、C、Ci a与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾.所以，假设不成立，即DiB与CCi是异面直线.【归纳分析】1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给部分条件先确

13、定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成 几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反 证法.2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是分别经过这两条直线的两个平面的一条交 线.3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理（过平面内一点与平 面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线）；二是采用反证法.判定异面直线时通常采用排除法（既不相交也不平行）或判定 定理.以及两条直4.对于异面直线所成的角，要注意角的范围是b, n线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键.【课后作业】1.平面a, 3相交，在a 3内各取两点，

14、这四点都不在交线上，这四点能确定个平面.答案：1或4解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则 确定一个平面；否则确定四个平面.2.如图，在正方体 ABCD EFMN中，BM与ED平行；CN与上四个命题中，正确的命题是BM是异面直线；CN与BE是异面直线；DN与BM是异面直线.以 .（填序号）,vA答案： 解析：观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线,CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故、错误，、正确.即正确的命题是、3.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H四点，如果EF、GH交于点P,那么

15、P在直线答案：AC 解析：P忘EFU面ABC,又P忘GHU面ACD，由公理2知，AC=面ABCQ面 ACD.4.已知aP 3= I, m? a n?伏mQn= P,则点P与直线I的位置关系用相应的符号表示为 答案：P I解析：因为 aPB= l, m? a n? B mnn=P，所以 P m , P n, P a P B,所以 P l.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线 ACi异面的棱有 条.Al答案：6 解析：由图可知，与对角线 ACi异面的棱有BBi、DDi、AiBi、AQi、BC、CD，共 6 条.6.已知a, b, c为三条不重合的直线，已知下列结论：若a丄b, a丄C,

16、贝J b II C； 若 a丄b, a丄c,贝J bc; 若 a/ b, bc,贝J a丄c.其中正确的个数为 答案:解析:相交,法一：在空间中，若 a丄b, a丄C,则b, c可能平行，也可能还可能异面，所以错，显然成立.法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确.7.设a, b, c是空间中的三条直线，下面给出四个命题:若 all b, b I c,贝J a I c;若 a丄b, bc,贝J a I c;若a与b相交，b与c相交,a与c相交;若a?平面a, b?平面B则a,b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）.答案： 解析：由公理4知正确；当a丄b,

17、b丄c时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错;a? a b? B,并不能说明a与b不同在任何一个平面内”，故错.8.如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形 ABCD边AB、BC、CD、DA上除端点外的点,AE_ AH_ CF_ CGAbh Adh 入，cbh cd则下列结论中不正确的是.（填序号）匸卩时，四边形EFGH是平行四边形;入工时，四边形EFGH是梯形;入工时，四边形EFGH 一定不是平行四边形;答案:解析:匸卩时，四边形EFGH是梯形.AE aheh由ABH Aad =入，得EH / BD,且EH =入，同理得FG

18、 / BD 且BD=a，当入=卩时，EH / FG 且 EH = FG.当入工时，EH / FG,但 EHFG,只有错误.9.如图所示，四边形ABCD 中,已知 AB/ CD, AB, BC, DC, AD（或延长线）分别与平面a相交于E,F, G, H，求证:G, H必在同一条直线上.证明：因为AB/ CD，所以AB,CD确定平面AC, AD na= H，因为H 平面AC, H a,由公理2可知，H必在平面AC与平面a的交线上.同理F、G、E都在平面AC与平面a的 交线上, 因此E, F, G, H必在同一条直线上.iO.如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F, G分别是棱C

19、Ci,BBi及DDi的中点，试证明：/ BGC=Z FDiE.,D证明： V E, F, G分别是正方体的棱CCi, BBi, DDi的中点, CE平行等于GDi, BF平行等于GDi.则四边形CEDiG与四边形BFDiG均为平行四边形.则 GC/ DiE, GB/ DiF. 又/ BGC与/ FDiE对应两边的方向相同，/ BGC=Z FDiE.ii.如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，对角线AiC与平面BDCi04,交于点0, AC、BD交于点M, E为AB的中点，F为AAi的中点.求证:(1) Ci、0、M三点共线;E、C、Di、F四点共面.证明：(1)因为Ci、0、M平面BDCi,又 Ci、0、M 平面 AiACCi,由公理2知，点Ci、0、M在平面BDCi与平面AiACCi的交线 上,所以Ci、0、M三点共线.(2)连结 EF, AiB、CDi,因为E、F分别是AB, AiA的中点,所以 EF/ AiB.因为 AiB/ CDi,所以 EF/CDi.所以E、C、Di、F四点共面.【提优训练】1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB, CD,解析