导数题型归纳优质学案

1、全国名校高考数学优质学案高效专题训练汇编(经典问题附详解)一.切线问题 题型1 求曲线方法：高考压轴题：导数题型及解题方法y = f(x)在x=xo处的切线方程。 f (xo)为在X =Xo处的切线的斜率。题型2过点(a,b)的直线与曲线y = f(x)的相切问题。方法：设曲线 y = f(x)的切点(xo, f(xo),由(Xo a)f (Xo) = f(Xo) b 求出 x。,进 而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例已知函数f (X) =x3 - 3x.(1) 求曲线y=f ( X)在点X=2处的切线方程；(答案：9X y16 = o )

2、(2) 若过点AA(1,m)(m2)可作曲线y = f(x)的三条切线，求实数m的取值范围、 (提示：设曲线y = f(x)上的切点(Xo, f(Xo)；建立Xo, f(Xo)的等式关系。将问题 转化为关于Xo，m的方程有三个不同实数根问题。(答案：m的范围是(一 3,-2)练习 1.已知曲线y=x33Xy=x33X相切的直线方程。答案:(3x + y = 0 或(1) 求过点(1 , -3)与曲线15x -4y -27 =o )y = x3-3x相切的直线有三条。(2) 证明：过点(-2,5)与曲线1)2.若直线e2x + y-e2-1=0与曲线y=1-aex相切，求a的值.(答案： 题型3

3、求两个曲线y = f(x)、y=g(x)的公切线。(X2, f(X2)；方法：设曲线y = f(x)、y=g(x)的切点分别为(花屮)。建立 X1 ,X2 的等式关系，(X2 -xjf (xj =y2 - %, (X2 - X1)(X2)= y2 ；求出 X1 ,X2 , 进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关 系。例 求曲线y=x2与曲线y=2el nx的公切线方程。(答案27ex-y - e = 0 ) 练习1.求曲线y=x2与曲线y =-(x-1)2的公切线方程。(答案2x-y-1=0或y = 0 )12.设函数f(x) = p( x-)-2l nx,g(x)

4、=x2，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与 X函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数P的值。(答案P=1或3 )(1)在求极 未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；(2)在求极值点的 与0的关系不定)； (4)在求极值点二. 单调性问题 题型1 求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有： 值点的过程中， 过程中，有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时，(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类； 的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准 出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数 f(x)=a

5、|n x + x2 _(a+1)x2(1) 求函数f(x)的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)(2) 若X壬2,e，求函数f(x)的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类)练习 已知函数f(X)= eXx 一 (k+1)eX 一1X2 +kx+1，若x巳一1,2),求函数f (x)的单调区间。2(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)题型2已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。方法1:研究导函数讨论。方法2:转化为f(X)0或f(X)兰0在给定区间上恒成立问题，方法3:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后 让所给区间是求的增或减区间的子集。注意：函

6、数f(x)在(m,n上是减函数”与 函数f(x)的单调减区间是(a,b)”的区别是前 者是后者的子集。例 已知函数f(x)=x2+al nx + 2在1严 上是单调函数，求实数 a的取值范围.(答X案0严)练习 已知函数f(x)Jx3-yx2，且f(x)在区间(2,如)上为增函数.求实数k的32取值范围。(答案：k0，求函数y = f(X)在区间(a-1,a +1)内的极值.(答案：当0a1时，f(x)有极大值-2，无极小值；当1a0时，函数f(x)在区间1,e上的最小1,址)练习已知函数 f(X)= ax2(a+2)x+1 nx ,值是-2，求实数a的取值范围。(答案：四. 不等式恒成立(或

7、存在性)问题。一些方法1. 若函数f(x)值域(m,n ), a f(x)恒成立，2. 对任意 X1 巳m,n)X2rm,n ), f(X1)g(X2)恒成立。则 f (xjmin 吕 g(X2)max。3. 对 3x (m, n)3x2 忘(m, n ), MxJEgg)成立。则 f (xjmax 色 g(X2)min。4. 对 x (m, n)，恒成立 f(X1)g(X1)。转化 f (xj -H 0 恒成立4. 对 Vx1 迂(m, n)3x2 迂(m, n ), f(X1)g(X2)成立。则 f (xjmin 二 g(X2)min。5. 对 玉1 迂(m,n)Vx (m,n ), f(

8、X1)g(X2)成立。则 f (xjmax g(X2)max6. 对x (m,n)x2亡(m,n ),a成立。则构造函数t(x)=f(x)-ax。转化证明X1 -X2t(x)在(m,n )是增函数。题型1已知不等式恒成立，求系数范围。方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次 求导。(2)讨论法:有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法： 在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时，与0的关系不定)；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准 出发，做到不重复

9、，不遗漏。(3) 数形结合：(4) 变更主元解题思路 1.代特值缩小范围。2.化简不等式。3选方法(用讨论法时，或构造 新函数)。方法一：分离法。求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。例 函数f(x) =eX(x2 Inx)+a。在x忘1,e f(x)xe恒成立，求实数a取值范围。(方法： 分离法，多次求导答案：0,垃)练习 设函数f(X)= x(eX _1) 一ax2，若当X时f(x) AO,求a的取值范围。(方法：分 离法，用罗比达法则答案：(-1 )方法二：讨论法。有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中， 未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；

10、有无极值点引起的分类(涉及到二 次方程问题时，与0的关系不定)；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极 值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不 遗漏。例设函数 f(x)= ex 1 Xax2若当x AO时f(x)青0求a的取值范围.7)I 2,x3O 时，练习1.设函数f(x)=1-ef(XSx + 1x ，求实数a的取值范围(答案：同)1 2.函数f(X)= aln X +-，当a 0.对Wx 0 , ax(2 -1 n x)兰1，求实数a取值范围。x(多种方法求解。(答案：(0,e*)方法二： 变更主兀例：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f x) , f

11、x)在区间D上的导数为g(x), 若在区间D上，g(x) 3时，对任意x0 ,(提示 f (a+x) V f (a) fX化为五.函数零点问题题型1 :判断函数零点的个数。方法：方程法；函数图象法；A例设 a R, f(X)= x3 +ax +(1 -a)ln x3(提示：当a：1时，f(1):0 , f(73a)g(x)，需证f(x)的最小值大于g(x)的最大值即可。方法一：讨论法例：已知函数f(xa+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x + 2y3 = 0。x+1 x证明：当X：0，且XH1时，f(x)也x。x-1练习：.已知函数f(x) =ax-eX(a aO).当1兰a兰e + 1时，.试讨论f (x)与x的大小关系。 方法二：构造函数例：已知函数 f(X)= ax2+kbx(x A0)与函数 g(x)=ax + blnx,a、b、k为常数，(1 )若 g(x) 图象上一点P(2,g(2)处的切线方程为：X-2y+2ln2-2=0 ,设A(X1, yj, B(X2,y2),(X1 c X2)是函数 y = g(x)的 图象上 两点，g。)= 生，证 明：X2 -X1X1 CXo VX2练习：1.设函数f(x) = xl nx。证明：当a 3时，对任意xaO , f (a + x)