导数及其简单应用

1、全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（文科，附详解）导数及其简单应用一、选择题y= f（x）的图象可能是（）I.V0>X1. （2017浙江高考）函数y= f（x）的导函数y= f' （x）的图象如图所 示，贝間数1tz.'V rJ QA.B.J'V.1/1 V0 pC.答案解析由导函数y= f'（X）的图象可知，该图象在x轴的负半轴上有一个零点（不妨设为Xi），并且当X<Xi时，f' （x）<0，该图象在X轴的正半轴上有两个零点（从左到右依次设为 X2 , X3），且当XqXl, X2）时，f' (x)>0;当 xqx2

2、, X3)时，f' (X)<0;当 X>X3时，f' (x)>0。因此函数f（X）在X= Xi处取得极小值，在X= X2处取得极大值，在X= X3处取得极小值。由此对照四个选项，选项A中，在x= Xi处取得极大值，不符合题意；选项B中，极大值点应大于0,也不符合题意；选 项C中，在x= xi处取得极大值，不符合题意；选项 D符合题意，因此选D。x2 .曲线y = f(x) = x2+在点(1，f(1)处的切线方程是()B. y=1D. X y=1C. x+y=1答案 Bx1 x2解析心苻1的导数f'(x)=市.曲线在点(1, f)处的切线斜率k= 0,

3、T切点为(1, 1 ,二曲线在点(1, f(1)处的切线方程14为 y= 2。3.2设函数 f(x) = x+inx,则()D.答案1x= 2为f(x)的极大值点1x= 2为f(x)的极小值点 x= 2为f(x)的极大值点 x= 2为f(x)的极小值点D解析22 1x2因为 f(x)= x+inx,所以 f' (x) = x2 + x=x厂，且 x>0°当x>2时,f' (x)>0，这时f(x)为增函数；当0<x<2时，f' (x)<0，这时f(x)为减函数，所以x= 2为f(x)的极小值点。故选D。4. (2017四川乐山

4、一中期末)f(x) = x2 ainx在(1，+乂)上单调递增，则实数a的取值范围为()A . a<1B . a< 1C. a<2答案解析单调递增,上恒成立,5.()A .由 f(x) = x2 ainx,得 f' (x)= 2xa,f(x)在(1,+乂)上 Xa.2x x0 在(1,+)上恒成立，即 a<2x2 在(1，+X)xqi ,+x)时，2x2>2,/a<2。故选 D。若函数f(x) = x+ainx不是单调函数，则实数a的取值范围是0,+ ) B.( X, 0( X, 0) D. (0,+x)C.答案 C解析 因为函数f(x) = x+

5、ainx不是单调函数，所以f' (x)= 1 + -xa在(0,+x)内有零点，即1 + x= 0在(0,+x)内有实根，所以x=入a>0,所以a<0。故选C。6.已知函数f(x) = X3+ ax2 + bxa2 7a在x= 1处取得极大值10, 则a的值为()A -22C. 2 或3答案 AD. 2 或一 3解析 由题意知 f' (x) = 3x2 + 2ax+ b, f' (1)= 0, f(1)= 10，即a= 2, 解得<lb= 1(3 + 2a + b = 0,l1 + a+ b a2 7a= 10,a= 6,或 <经检验lb= 9,

6、lb= 9a满足题意，故b=23。f(x) = 3x + 4sinx cosx 的拐点是 M(x0,7.给出定义：设f'(X)是函数y= f(x)的导函数，f (x)是函数f' (x) 的导函数，若方程f (x) = 0有实数解x0,则称点(x0, f(x0)为函数y =f(x)的“拐点”，已知函数f(X0)，则点 M( )B .在直线y = 3x上D .在直线y= 4x上A .在直线y= 3x上C.在直线y= 4x上答案 B解析 F(X)= 3+ 4cos< + sinx, f (x) = 4sinx + cosx = O,4sinxocosxo= 0,所以 f(xo)

7、 = 3x0,故 M(xo, f(xo)在直线 y= 3x 上。故选 B。8.函数f(x) = x3 3ax a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是 ()A . 0,1)n1丿DB. ( 1,1)C. 0,答案D. (0,1)解析f' (x) = 3x2 3a= 3(x2 a)。当 a<0 时，F (x)>0,/f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值。当a>0时，F (x) = 3(xda)(x+Ja)。当 xq乂，一诵)和(7a,+K)时，f(x)单调递增；当 xqVa, Ua)时，f(x)单调递减，所以当Va<1,即0<a<1时，f(x)在

8、(0,1)内有最小值。9. (2017 邵阳二模)已知函数 f(x) = aex 2x 2a,且 a 1,2，设 函数f(x)在区间0 , ln2上的最小值为m,则m的取值范围是()A . 2, 2ln2C. 21 n2, 1B卜 2,- 2D卜 1,-答案 A解析构造函数 g(a)= (ex 2)a 2x,-.xqo, In2，/ex 2<0,又 a 1,2, , .f(x)min = 2(ex 2) 2x,设 M(x) = 2(ex 2) 2x,则 iM (x)=2e 2,.xq0, In2，二M (x)>0,贝J M(x)在0 , In2上递增，fM(x)min = M(0)

9、= 2, M(x)max= M(ln2) = 2ln2,m 的取值范围是2, 2ln2，故选 A。10.若函数 f(x) = ax3 3x+ 1 对于 x 1,1总有 f(x)>0 成立, 则实数a的取值范围为()B. 4，+X )D. 2,4A . 2,+x)C. 4答案解析不合题意;f' (x) = 3ax2 3,当 a<0 时，f(x)min = f(1) = a2>0,a>2,2 r1 )当 0vaw 1 时，f' (x)= 3ax2 3 = 3ax +肩J, f(x)在1,1上为减函数，f(x)min = f(1) = a 2>0, a&

10、gt;2,不合题意；当a>1 时,f( 1)= a + 40,且 f2yar忑+山0,解得a=4,综上所述,a= 4。(2017重庆市高考数学一模)已知函数f(x)的导函数为f' (x),)11.且f' (x)<f(x)对任意的x R恒成立，则下列不等式均成立的是(A . f(ln2)v2f(0), f(2)<e2f(0)B . f(ln2)>2f(0), f(2)>e2f(0)C. f(ln2)v2f(0), f(2)>e2f(0)D . f(ln2)>2f(0), f(2)<e2f(0)答案 AffxF (X f(x)解析 令

11、g(x)= ex ,则g (x)= e <0,故g(x)在R上递减，而 In2>0,2>0,故 g(ln2)vg(0), g(2)<g(0),即弩<器 砂/即 f(ln2)v2f(0), f(2)ve2f(0)，故选 A。1 + lnx12. (2017九江一模)已知函数f(x)o若关于 f2(x) + af(x)>0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是(A. -的不等式1 + ln2 1 + ln3) 2n + ln3 1+ln2、B. E，h丿(1 + ln2 1+ln3p C. I 2，3D. 1,答案1 + ln33C解析f (x)=1 ；JlnxL

12、 导，下在(0,1)上单调递增，在(1,+乂)上单调递减，当 a>0 时，f2(x) + af(x)>0? f(x)< a 或 f(x)>0,此时不等式f2(x) + af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；当a= 0时,f2(x) + af(x)>0? f(x)工0,此时不等式f2(x) + af(x)>0有无数个整数解,不符合题意；当a<0时，f2(x) + af(x)>0? f(x)<0或f(x)> a,要使不等式f2(x)+ af(x)>0恰有两个整数解，必须满足f(3)< a<f(2)，得1 + l

13、n2 1 + ln32vaw 3 ，故选 Co二、填空题13. (2017全国卷I )曲线y= X2 + -在点(1,2)处的切线方程为答案Xy+1 = 0解析因为y = 2x+，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为k=yTx=1= 2X 1 p = 1,所以切线方程为y 2 = X 1,即切线方程1414. 已知函数 f(x) = 3X3 X2 3x+3，直线 1: 9x+2y+ c= 0,若当x 2,2时，函数y = f(x)的图象恒在直线I下方，则c的取值范 围是答案(X, 6)解析根据题意知3x3 X2 3x + 4< |X 2在xq 2,2上恒成134134>；x3 X

14、2 + |x+3，设 g(x) = 3X3 X2 + |x+3，贝J g (x) = x2c立，贝J 2 32x+|,则g (x)>0恒成立，所以g(x)在2,2上单调递增，所以 g(X)max= g(2) = 3,则 c< 6。15. (2017山东高考改编)若函数eXf(x)(e = 2.71828是自然对数 的底数)在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质。下列 函数中具有M性质的是 f(x) = X2 f(x) = COSX f(x)= 2 x f(x)= 3 X答案解析对于，f(x)= 2-x=(2eV1,，贝 J exf (x) = ex.exf(x)

15、在R上单调递增， f(x) = 2-x具有M性质。对于，f(x) = x2, exf(x) = exx2, exf(x)' = ex(x2 + 2x),令 ex(x2 + 2x)>0,得 x>0 或 x< 2;令 eX(x2 + 2x)<0，得2<x<0，二函数 exf(x)在(乂， 2)和(0,+乂)f(x)= 3-x=(3)，则 exf(x) = ex(3)3)，0<3<1，f=上单调递增，在(2,0)上单调递减，f(x) = x2不具有M性质。对于， 在R上单调递减，逬x) = 3-x不具有M性质。对于，f(x) = cosx, e

16、xf(x) = excosx,则exf(x)' = ex(cosx sinx)> 0 在 R 上不恒成立，故 exf(x) = excosx 在R上不是单调递增的，所以f(x)= COSX不具有M性质。16 .设函数f(x)是定义在(汽 0)上的可导函数，其导函数为 f' (x),且有 2f(x) + xF (x)>x2,则不等式(x+ 2 014)2f(x + 2 014)4f( 2)>0的解集为，答案(乂， 2 016)解析 由 2f(x) + xF (x)>x2, x<0 得 2xf(x) + xf (x)<x3，所以 x2f(x)' <x3<0o 令 F(x) = x2f(x)