导数的概念与运算

1、全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编(附经典习题及详解)导数的概念与运算、知识回顾1. 导数的概念:曲线的切线;瞬时速度;导数的概念及其几何意义.设函数y = f(x)在x = xo处附近有定义，当自变量在x = xo处有增量Ax时,则函数丫 =f(x)相应地有增量理(也叫函数的平均变化率)x限值叫做函数y = f(x)y = f(Xo +4)-f(Xo)，如果 Axt o 时，Ay 与人 x 的比有极限即理无限趋近于某个常数，我们把这个极Ax在XT Xo处的导数，记作y/X=xo,即：f (Xo +Ax)- f(Xo)=limf(X)f(Xo)=limF X Xo函数y = f(x)

2、的导数f'(x)，就是当Zt o时，函数的增量Ay与自 变量的增量Ax的比级的极限，即3f(x + £x)-f(x)ZX). 函数y = f(x)在点Xo处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(Xo，f(Xo)处的切线的斜率.C'=o(C为常数)；(xn)' = nxn4( n(Sin X)' =cosx ;(4) (cos X)' = sin X ;* 1 (tan X)' =2= sec x ;cos XA(6) (cot x)-2-sin X(ex)' = ex;(aX)' = aX ln a ;1(ln x

3、)'=;1(log a X)- log a2.常用的导数公式:XXQ)；e .-CSC2 X ;3.导数的运算法则:两个函数四则运算的导数:(U ±v)' = u'±v'(uv)' = u'v + uv'但=u V-UVIv丿v25.复合函数的导数：y'x=y'u u'x .二、基本训练1.(浙江)函数y= ax2+ 1的图象与直线y= x相切，则a=(111(A) 1(B)1(C) 1'，842(D)12. 若 f'(X0)=2 ,则 I- f(x0-n f%) 1巴1 2k3

4、. 如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y=f (t) =t3+3,(1)当t1=4, t=0.01时，求y和比值理;(2)求t1=4时，lim巴的Ax3 it值;(3)说明鸭詈的几何意义.4 .在曲线 y=x2+1的图象上取一点(询及邻近一点(1+ x,2+ y)，则FB.x 2C.x+2D.2+A x丄xAx5.质点的运动方程为s=5 3t2，则在一段时间1,1 + t内相应的平均速度A. 土 +2C.x+2A. 3t+6B. 3 t +6C. 3t 6D. 3 t 66.已知两曲线y=x3+ax和y=x2 +bx + c都经过点P (1,2),且在点P处有公切线， 试求a,

5、b,c值。三、例题分析4 2例1、用定义求y H 5X,（xm）在点x=10处的导数。16X-80,（X >10）例2求下列函数的导数:(1)y=(2x2-1)(3x+1)(2) y = X2 sinx(3) y = In(X + J1 + X2)/u x+cosx(5)y=右7zoxcos2x(6) y sin X cosx例 3、已知曲线 C： y=3x4 2x3 -9x2+4（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程;（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。例4（1）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m）与时间t（单位：S）之间的函数关系为h=t2，

6、求t=4s时，此球在垂直方向的瞬时速度.质点P在半径为10cm,圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s, 设该圆与x轴正半轴的交点A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上射影点M的 速度.四、课堂小结1. 函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限2. 求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分拆。3. 搞清导数的几何意义，为解决实际问题如：切线、加速度等问题打下理论基答案基本训练1.B 2. -16.解：因为点P( 1,2)在曲线y = x3 +ax上，二a = 1函数y=x3+ax和y=x2+bx + c的导数分别为y，=

7、 3x2+a和y=2x + b，且在点P处有公切数/. 3X12 +a =2x1 +b，得 b=2又由 2 =12 +2咒1 +C,得 C = -1例题例 1- yixb16例 2. (1) y，=18x2+4x-3,(2)y，= 2xsinx + x2cosx;-2ex八"/u-xcosxxsin x+sin x-cosx-1(5)y =(X +sin x)2(6) y，= sin X - cosx .例 3. (1)切线方程为 y+4 = -12(x-1)，即 y=-12+8(2)除切点外，还有两个交点(-2,32)仗0。13丿例4.(1)v|t*=8米/秒,即球在垂直方向的瞬时

8、速度8米/秒.点P在y轴上射影点M的速度为y' = 10costcm/s .五、作业导数的概念与运算1函数y=（x+2a）（x a）2的导数为（A. 2 (x2 a2)B.3(x2+a2)C.3(x2 a2)D.2(x2+a2)2. y=lnln(Inx)的导数为( )A. 1 x ln(ln x)B.1ln x ln(ln x)C. 1xln xln(ln x)3 .函数y=sinnxcosnx的导数为（A n 1A. nsin xcosnxLI - nB. nsin xcosnxC.nsin nxcos(n+1)xD.nsinn1xcos (n +1)x4. 若 y=32xlg(1

9、 cos2x),则 y 为( )A. 4 9x2ln3lg(1 cos2x)+lge -cotxB. 4 9x2ln3lg(1 cos2x)+lg10 -cotxC. 2 - 9xln3 - lg(1 cos2x)+lge - cotxD.以上皆非5. 已知 f（X）二xJx2-16f （5）为（）A. -10B. 10C.128272736. （湖北卷）在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于 寸的点中，坐标D.以上皆非为整数的点的个数是C. 17.（全国卷III）曲线y =2x-x'在点（1, 1 ）处的切线方程为2&函数y二丄的导数为.sin x孚空在点x=3处的导数值为.x2 +39.函数y=10.11.12.函数yrZx2 3x+4 3 + W的导数为.x xJI函数y=sin2（2x + T的导数为.3在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数w(t)=4t 0.3t2 给出，求:（1） t=2（秒）时，飞轮转过的角度;（1）飞轮停止旋转的时刻.13.动点沿0X轴的运动规律由x=10t+5t2给出，式中t表示时间（单位：s） ,x表示距离（单