圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结

1、椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义:第一定义：平面内与两个定点 Fi、F2的距离之和等于常数 （大于F1F2 ）的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点 M到定点F的距离和它到定直线I的距离之比等于常数 e（0 c e c 1），则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线I叫做椭圆的准线，常数 e叫做椭圆的离心率。说明：若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段 F1F2 。 若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程2 2冷+笃=1（a b a0）中 a2 b2心在原点，焦点在 X轴上2 2

2、爲1（ab0） a b中心在原点，焦点在 y轴上图形-1/AI II -r 7范围X a, y b冈 0)离心率准线e =c(0 ce c1)a2.aX = 士cce = (0 ve O,mH n)。双曲线的定义、方程和性质知识要点：1 .定义(1) 第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于定长2a (小于|FiF2|)的点的轨迹叫双曲线。说明：2a|FiF2|时无轨迹。若M点在双曲线右边一支上， 则|MFi|MF2|, |MFiHMF2|=2a； |PFi|-|PF2|=2a (2a|FiF2|)是双曲线； 若2a=|FiF2|,轨迹是以Fi、F2为端点的射线； 设M是双曲线

3、上任意一点，若M在双曲线的左支上，则|MFi|i)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2 .双曲线的方程及几何性质标准方程X2 V2a -/(a0，b 0)2 2VX孑一/(a 0，b 0)图形焦占八、八、 顶点对称轴Fi (-C, 0), F2 (c, 0)Ai (a, 0), A2 (-a, 0) 实轴2a，虚轴2b,实轴在 X轴上,2 2,2c =a +bFi (0, -c), F2 (0, c)Ai (0, a), A2 (0, -a) 实轴2a,虚轴2b ,实轴在y轴上,2 2,2c =a +b离心率准线方程c I MF2 I e =a I MD Il a2 ia2

4、L : X ,l2 : X =1 c 2c准线间距离为空 cc |MF2 | e =a I MD Il a2 1a211：V准线间距离为Mc渐近线方程上=0a b a b3=0=0ba ba几个概念(1)等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=x，离心率为J2。(2)共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴222 2双曲线，例：笃爲=1的共轴双曲线是务-每=-1。a2 b2a2 b2双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不 轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。定是共抛物线标准方程与几何性质一、抛物

5、线定义的理解平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 线的焦点，定直线I为抛物线的准线。F为抛物注：定义可归结为“一动三定”：一个动点设为 M ; 定点F （即焦点）；一定直线I （即准线）；一定值1 （即动点M到定点F的距离与它到定直线I的距离之比1） 定义中的隐含条件：焦点 F不在准线I上。若F在I上，抛物线退化为过 F且垂直于 I的一条直线 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线I的距离之比为常数 e的点的轨迹，当0e1时，表示双曲线；当 e = 1时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点

6、到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化， 与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1.抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2 .四种标准方程的联系与区别： 抛物线的标准方程有四种不同的形式。2x = ：t2py（p0 ）,其中： 参数P的几何意义：焦参数由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此 抛物线标准方程的四种形式为：y2 =2 px(p 0),p是焦点到准线的距离，所以 p恒为正值；P值越大,张口越大；等于焦点到抛

7、物线顶点的距离。2 标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项， 一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同， 称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为 一次项前符号为正，则开口向上，若右边是另一变量的一次项，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，x，若x的一次项前符号为正， 则开口向右，若x的 y轴时，方程中的一次项变量就是方程右边即对y的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就 能解出

8、待定系数 P，因此要做到“先定位，再定值”。y2 = ax 或注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为X2 =ay，这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是 标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2 =2 px( p 0)性质焦占八、八、范围对称性顶点离心率准线通径噜。X 0关于x 轴对称原点e = 1X 卫22p1注： 焦点的非零坐标是一次项系数的一；4 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点, 数形结合，掌握方程与有关特征量

9、，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去2如 ax +bx+c=0 (*)的式子： 当a =0时，(*)式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点， 线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；当aHO时，若 0= (*)式方程有两组不同的实数解 U若 =0二(*)式方程有两组相同的实数解 吕x或y化得形此时直线与抛物直线与抛物线相交; 直线与抛物线相切；若 0上一点M (xo ,yo 的焦半径长是抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB为过抛物线y角为0 ,则八、= ：h2px(p 0 )焦点的弦, x1x2AB2= _p_-42P +=Xi +X2 + P ； sin y,yy2=-P ；MF5+号设 A(xi, yi )B(X2 , y2 ),直线 AB 的倾斜=卜占 yB|.若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时，借助于焦半径公式处理:抛物线 y =型px( paO )上一点M(Xo,yo )的焦半径长是 以AB为直径的圆与准线相切；弦两端点与顶点所成三角形的面积S心OB2 sin 日1 + 1 2FBFA 焦点F对A、B在准线上射影的张角为90;七、抛物线有关注意事项1凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的