向量的模长问题几何法

1、全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）向量的模长问题一一几何法、基础知识:1、向量和差的几何意义：已知向量b是以a, b为（1）若a,b共起点，则利用平行四边形法则求a b，可得a邻边的平行四边形的对角线（2）若a,b首尾相接，则利用三角形法则求出a b，可得r r r r 十a b， a,b 围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于a（1）共线（平行）特点：a与a为共线向量,其中0时，a与a同向；0时，a与a反向（2）模长关系:r a3、与向量模长问题相关的定理:（1）三角形中的相关定理：设VABC三个内角A,B,C所对的边为a,b,c 正弦定理：亠旦丄sin A sinB sinC

2、余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60。的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两 个全等的等边三角形。（3）矩形：若四边形ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题: 例1：（优质试题届北京市重点中学高三 8月开学测试数学试卷）已知1 r 口 _r1j2a b，贝J |b向量a,b的夹角为45。，且A. 罷B.C.2/2D.3/2思路：本题利用几何图形可解，

3、运用向量加减运算作出如下图形：可知I AB 2,B 4AC J10，只需利用余弦定理求出|BC即可。 解:如图可得：Ib|BC，在 VABC 中，有：AC|2 |AB2 |Bq2 2 AB|BC cosB即：10 4 |bc|2|bc|2 2V2|BC|2 2 BC cos46 0解得|bC|bc| 近(舍) 所以 |b| 3/2，冲I-.P -H -.- . 答案：选D例2：若平面向量a,b,c两两所成的角相等，且1,a等于（）A. 2B.C.2 或 5 D.72或亦思路：首先由a,b,c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是a,b,cr r ra b c为5 ，另一种情况为两两同向（如

4、图1,此时夹角均为0）,则b 1为突破口，由平行四边形法则作图得到1 （底角为60。的菱形性质），且与C反向,夹角牛（如图2）,以 a b与a,b夹角相等，n r rirn)a bar a进而由图得到a b c 2，选 C答案：C1r例3:已知向量a,b，且i 1lbl2，贝H 2b ai的取值范围是（A. 1,3B. 2,4C.3,5D. 4,6思路：先作出a，即有向线段AB，考虑2b a，将2b的起点与A重合,2|b| 4，则2b a即为|BC的长度，通过观察可终点C绕A旋转且I AC得C与AB共线时12bn r r2b a连续变化，所以围是3,5答案：Ca|达到最值。所以r2b aa b

5、l 思路：可知a,b,a b为平行四边形的一组邻ra例4:设a,b是两个非零向量，且2，则边和一条对角线，由b ja b| 2可知满足条件的只能是底角为60。，边长a 2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为屆2灵 答案：2品例5：已知a,b为平面向量，若a b与a的夹角为_, a b与b的夹角为3 r aFbA.B.C.D.思路：可知b,a,b为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在VABDa J ADABABD ADB37 由正弦3定理可得：馆sin ADB sin4sinABD sin-3答案：D例6 :已知a,b是单位向量，且a,b的夹角为-，若向量c满足|C a

6、2, 2，则|C|的最大值为（）A. 2本题已知a,b模长且夹角特殊，通过作图可得2ba为模长为73，B. 2 /3LT r r r 设 me2b a2且c m 2b a，而m可视为以探a共c的例 7:在 VABC 中，B ABuur 3OA所在平面内的一点，且 iDo的值是（1A.丄 B.2D. 2L nULUT373, BCuuL uuur20B OCC.6，设D是AB的中点，0是VABCC，则可得忖起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得 最大值为2栗（此时m的终点位于A点） 答案：AnLUU1uur1uurODOECB26可得:1r e,n rTrrateae1，对任

7、意的t R，恒有r r r r r 则e a ertea e作为突破口，通过作图设aB a,AC e，d为uuur r直线I上一点，则有 ad te。从而可得思路：本题以IBCIr r,a teBD，即思路：本题的关键在于确定O点的位置，从而将IDOT与已知线段找到联十 , uuu uuu uuu r 4 1系，将3OA 2OB OC 0考虑变形为uuuuuuuiur uuuuuuuuiuuultuuu uuruuu1 uuu _3OA2OBOC3 OAOBOBOCCB，即 OAOB-CB,设3OE OA OB，则O,D,E三点共线，且OE/ BC ,所以由平行四边形性质答案：B 例8已知向量

8、a 的值为|BD| |BC，所以C点为直线I上到B距离最短的线段，由平面几何知识 可得最短的线段为B到I的垂线段。所以BC I，即e a e，所以有r r re a e 0答案：0小炼有话说：本题若用图形解决，找到r r r a te,ae在图上的位置和两个向量的联系是关键例9:已知平面向量a,b,c满足ar1,bL r2，且a卄亠自 r r r r 若向量a c,b c的夹角为60，则|C|的最大值是思路：由a,b条件可得a,b夹角的余弦值120，若用代数方法处理夹DAC亠一 角60的条件，则运算量较大。所以考虑利用图rrr-560，从而DCB 180，可判定A,B,C,D四点共圆，则AC的

9、最大值为四边形ABCD外接圆的直径，即VABD的直径。在VABD中，由余弦定理可得:BDABAD2 2 ADAB cos7，所以BD 77，由正弦定理可得:d 2RBDsin BAD2/2?3max答案: 小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进满足U =1 ,行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。例10:（优质试题年，浙江，16）已知平面向量：八0,u u的夹角为120，贝J的取值范围是口 LT . LT LT且与思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求ur lt lt u解。从图中可观察到 ， 构成VBCD，C 60，从而可利用正余弦定理求出解：在V

10、BCD中，由正弦定理可得:IBDIsi nC|CD| sin DBCLTsi nCsin DBCursi nCsin DBCpsin DBC732sin DBCv3而DBCsin DBC0,1urL sin DBC43答案:的取值范围是0普小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式,从而转化成为数量积求解。具体解法如下:例2:解:n rr2r2rrr22ab4a4abb 44例1 ：解:b 3近6 0，解得r| 广 r r2 b|cos(a, b, b10r2 br2 cr2ar2br r2a c即ICD的取值范围r r r -Qa,b,c夹角相同当a,b,c同向时，可得 r r r

11、, ,当a,b,c两两夹角时,3rar r|2b c可得a25，rb所以1,bc2r r.b C3 r r-,a c2a b c 4，所以综上所述:例3:解:r ar br c2或5rr2r2 r r r 2r r2ba4b 4a b a 174a bcos(a,b)17/r r8cos a,b因为 cosa,b)r2b9,25即2b3,5例4:解:rrrrabab1,12可得r2 br2a代入rre r rr rab2 得 a b 2a b2r 2 ab 2胎r2a12例8解：以B为原点,BC为x轴建立直角坐标系。所以C6,0uuu3OAfr uuu9x,y，贝J OA-2uuu uuu r2OB OC 0 可得