变化率与导数、导数的计算

1、全国名校高考数学理科二轮复习优质专题汇编（附详解）变化率与导数、导数的计算、选择题1.（优质试题惠州模拟）已知函数f（x）=xcosx,则f（ n+f 'nn1 1解析 T f (x)= x2cosx + x( sinx). f( f扌=1 + - 1)= 3。故选 C。2丿n n'/ n答案 C2 .曲线y = ex在点A（0,1）处的切线斜率为（）D.e解析 由题意知y' = ex,故所求切线斜率k=exi x= o = e0= 1。故答案 A3 .设曲线y=七詈在点（2，1如的切线与直线X ay+ 1 = 0平行，则实数a等于（）A . 1B2C. 21 cosx

2、D. 2解析 V y= .2 ,sin x 二 y' 1 x=n= 1,o1全国名校高考数学理科二轮复习优质专题汇编(附详解)1由条件知-=1,二a= 1。故选A。a答案 A154.若存在过点(1,o)的直线与曲线y=x3和y= ax2+1；x 9都相切，则a等于()亠 25A 1 或64解析因为y= x3，所以y' = 3x2,设过点(1,0)的直线与y= x3相切于点(xo, x3), 则在该点处的切线斜率为k= 3x2,所以切线方程为y xO = 3x2(x Xo),即 y = 3xox 2xo o又点(1,0)在切线上，所以3Xo = o 或 Xo= 2。当Xo= 0时

3、，切线方程为15y= o,由 y= o 与 y = ax2+才x 9 相切F曰25可得a= 64；3当xo= 3时，切线方程为y=务-27由y=仝一27与 y= ax2+x 9相切，可得 a=1。25综上，a的值为1或65。故选A。答案 A5. (优质试题 上饶模拟)若点P是曲线y=x2 Inx上任意一点,则点P到直线y = X 2距离的最小值为()B2D.y/3解析因为定义域为(0, + OO),所以y' = 2x x= 1,解得x= 1,2则在P(1,1)处的切线方程为x y= 0,所以两平行线间的距离为d=f2=边。故选B。答案 B6. (优质试题 安庆二模)给出定义：设f

4、9; (x)是函数y= f(x)的导 函数，f (x)是函数f' (x)的导函数，若方程f (x) = 0有实数解xo,则称点(Xo, f(Xo)为函数y=f(x)的“拐点”。已知函数f(x) = 3x+4sinx cosx 的拐点是 M(xo, f(xo)，则点 M( )A .在直线y =- 3x上B .在直线y = 3x上C.在直线y= 4x上D .在直线y= 4x上解析 f' (x) = 3+4cosx + sinx, f (x) = 4sinx + cosx,由题意知 4sinx0 cosx0 = 0,所以 f(X0)= 3x0,故 M(x0, “心)在直线 y= 3x

5、 上。故选B。答案 B二、填空题7. (优质试题 天津高考)已知函数f(x) = (2x+ 1)ex, f'(X)为f(x) 的导函数，贝J f' (0)的值为解析 由题意得f' (x)= (2x+ 3)eX,则得f' (0)= 3。答案 38. 若直线I与幕函数y = xn的图象相切于点A(2,8),则直线I的4全国名校高考数学理科二轮复习优质专题汇编（附详解）方程为解析由题意知，A(2,8)在y= xn的图象上，2n= 8,.n = 3, y = 3x2,直线I的斜率k= 3X22= 12,又直线I过点(2,8)o y 8= 12(x 2),即直线 I 的方

6、程为 12xy 16= 0。答案 12X y 16= 09. （优质试题 沈阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线 C: y=X3 X+ 1上，且在第二象限内，已知曲线 C在点M处的切线 的斜率为2,则点M的坐标为解析 y = 3x2 1,曲线C在点M处的切线的斜率为2,- 3X2 1 = 2, x= ±，又.点 M 在第二象限，二 x= 1, y= （ 1）3 （ 1） +1 = 1,二点 M 的坐标为（一1,1）。答案（1,1）110. 若函数f（x） = 2X2 ax+Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是解析/ f(x) = -X2 ax+ Inx,1-f (

7、x) = X a + X o f（x）存在垂直于y轴的切线, f （X）存在零点，11即 x+ - a = 0 有解，又 T x>0,. a= x+ -2。XX答案 2,+乂）三、解答题11. 已知函数 f(x) = X3 + X 16o6全国名校高考数学理科二轮复习优质专题汇编(附详解)(1) 求曲线y=f(x)在点(2, 6)处的切线的方程；(2) 直线I为曲线y= f(x)的切线，且经过原点，求直线I的方程及 切点坐标。解析(1)可判定点(2, 6)在曲线y= f(x)上。V f' (X) = (X3 + X 16)' = 3X2 + 1, f(x)在点(2, 6)

8、处的切线的斜率为k= f' (2) = 13。切线的方程为 y+ 6= 13(x 2), 即卩 y= 13x 32。(2)设切点坐标为(X0，yo), 则直线I的斜率k为f' (xo)= 3x0 + 1,3yo= Xo + Xo 16,二直线 I 的方程为 y= (3x2+ 1)(x Xo) + x0+ Xo 16。 又直线I过原点(0,0),二 0= (3x2 + 1)( Xo) + x3 + x。 16,整理得，Xo = 8,xo= 2, yo= ( 2)3 + ( 2) 16= 26,得切点坐标(一2, 26), k= 3X ( 2)2+ 1 = 13。直线I的方程为y=

9、 13x，切点坐标为(2, 26)。答案(1)y= 13x 32(2)y= 13x，切点坐标为(2, 26)12. 设函数y = X2 2x + 2的图象为 G，函数y= x2+ax+ b的 图象为C2，已知过G与C2的一个交点的两切线互相垂直，求 a+ b 的值。解析对于 C1: y= X2 2X+2,有 y' = 2x 2,对于 C2: y= X2 + ax+ b,有 y' = 2x+ a,设C1与C2的一个交点为(Xo, yo),由题意知过交点(xo, yo)的两条切线互相垂直。(2xo 2) ( 2xo + a) = 1, 即 4x0 2(a+2)Xo + 2a 1 =

10、 0,又点(x0， y。)在Ci与C2上，故有yf +2，blyo = X0 + ax0 + b,? 2x0 (a + 2)x0 + 2 b= 0。5由消去Xo，可得a+ b=2。答案5If禅屈U(时间：20分钟)1.(优质试题 江西五校联考)已知函数fn(x) = xn+1, n N*的图象 与直线x= 1交于点p,若图象在点P处的切线与X轴交点的横坐标为 Xn,贝J log2 016X1 + log2 016X2 + , + log2 016x2 015 的值为()B. 1 log2 0162 012C. log2 0162 012解析由题意可得点P(1,1), F n(x) = (n+

11、1)xn，所以点P处的切线的斜率为n+1,故可得切线的方程为y1 = (n+ 1)(x 1)，所以与X轴交点的横坐标Xn= n+l则 lOg2 016X1 + lOg2 016X2 + , + lOg2 016X2 015 =1丄比_lOg2 016X1X2, x2 015= log2 0162 016= 1 ,故选 D。答案 D2.曲边梯形由曲线y= X2+ 1, y= 0, x= 1, x = 2所围成，过曲 线y= X2+ 1(x 1,2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出 一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为()A JC 13A.!©2丿B.R4丿_13、(5 J

12、丿D.®2丿C.lg 刁解析 设P(x。, x2+ 1), X0 1,2，则易知曲线y=X2+ 1在点P 处的切线方程为y(x0 + 1) = 2x0(x X0), y= 2xo(x X0)+ x2+ 1,设 g(x) = 2xo(xX0)+ x2+ 1,则 g(1 ) + g(2) =2(x0+ 1) + 2X0(1 Xo + 2 Xo),.g(1)+ g(2). S普通梯形=点坐标为(|, 7”,S普通梯形最大。故选B。X 1 = x0+ 3x0 + 1 = Xo H 学二 P答案 B3.函数f(x)= eX+ x2 + x+ 1与g(x)的图象关于直线2xy-3= 0 对称，P

13、, Q分别是函数f(x), g(x)图象上的动点，则|PQ|的最小值为解析 因为f(x)与g(x)的图象关于直线2x y 3= 0对称，所以 当f(x)与g(x)在P, Q处的切线与2x y 3= 0平行时，|PQ|的长度最 小。F (x)= ex + 2x+1,令 ex + 2x+ 1= 2,得 x= 0,此时 P(0,2),且 P到2x y 3 = 0的距离为/5,所以尸Q|min =么/5。答案2躬4.(优质试题 广州一模)已知函数f(x)= ex+ m x3, g(x)= ln(x+ 1) + 2o(1)若曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线斜率为1,求实数m的值;10全国

14、名校高考数学理科二轮复习优质专题汇编（附详解）当 mA 1 时，证明：f(x)>g(x) X3。解析(1)因为 f(x)= ex+ m X3,所以 f (x)= ex+ m 3x2。因为曲线 y= f(x)在点(0, f(0)处的切线斜率为1,所以 f (0) = em= 1,解得 m= 0。(2)证明：因为 f(x)= ex+ m X3, g(x)= ln(x+1) + 2, 所以 f(x)>g(x) X3 等价于 ex+ m ln(x+1) 2>0。当 mA 1 时，ex+ m ln(x + 1) 2aex+1 ln(x+ 1) 2。要证 eX+ m ln(x+ 1) 2>0,只需证明 ex+1 ln(x+ 1) 2>0,设 h(x) = ex+1 ln(x+ 1) 2,贝J h (x)=古+1 土。X + I设 p(x) = ex+11 1XZ1则 P(X)=eX 1+(XZ1?0。12所以函数 P(x)= h (X) = ex+11x+i在（1,+乂）上单调递增。因为 h 2J= e1 2<0, h (0) = e 1>0,所以函数h (X) = ex+11x+1 在（ 1,+乂）上有唯一零点X0，且1因为 h (X0)= 0,所以 ex