压轴小题突破练(2)专题

1、全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编(附详解)压轴小题突破练(2)明晰考情高考选择题的12题位置、填空题的16题位置，往往出现逻辑思维深刻，难度 高档的题目.&心考点突破练考点一与向量有关的压轴小题 防法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为 不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解1. 在 ABC 中，已知 Ab c= 9, sin B= cos Asin C, & abc= 6, P 为线段 AB 上的点，且 CP =X+ yCB，贝y xy的最大值为()ICAIICBIA

2、. 1B.2C.3D.4 答案 C 解析 由题设 sin B= sin(A+ C)= sin Acos C+ cos Asin C= sin Ceos A, 即 sin Acos C= 0,也即 cos C= 0,C= 90°b = 3.2又/ bccos A = 9，故 b = 9，即1 2ab = 6，故 a= 4, c= 5,故建立如图所示平面直角坐标系xCy,贝y A(3, 0), B(0, 4),则由题设可知 P(x, y),直线AB的万程为且 x>0, y>0,全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）-3+4= 12寸¥2即卩xyw 3，当

3、且仅当x= |, y = 2时“=”成立，故选C.2. 已知点 0 是 ABC 内部一点，且满足 20A + 30b + 40C= 0,则 A0B,A B0C,A A0C的面积之比为（）B.2 : 3 : 4D.3 : 4 : 5A.4 : 2 : 3C.4 : 3 : 2 答案 A 解析 如图所示，延长 OA, 0B, 0C,使0D = 20A, 0E = 30B , OF = 40C ,卜 20A+ 3OB + 40C = 0, 二 0b + 01+ OF = 0, 即0是 DEF的重心，故 D0E , E0F , D0F的面积相等,111不妨令它们的面积均为 1,则 A0B的面积为6,

4、B0C的面积为H， A0C的面积为8，故111 A0B, B0C, A0C 的面积之比为；：订：7= 4 : 2 : 3.6 12 8故选A.3. （2017江苏）如图，在同一个平面内，向量 0A, 0B , 0C的模分别为1, 1,羽，0A与0C的夹角为 a,且 tan a= 7, 0B与0C的夹角为 45°.若0C= m0A +n0B（m, n R），贝m+n =答案 3 解析 如图，过点 C作CD / 0B交0A的延长线于点 D.设OD = mOA, DC = nOB,则在 ODC 中有 OD = m,DC = n, OC =迈,/ OCD = 45 °12由 tan

5、 a 7,彳得 cos a 10,又由余弦定理知,m2 = n2+ （蕈2 2羽ncos 45 , n2= m2+ （迄 2 2返 mcos a,22 c cm n = 2 2n,即2.2|n m = 2 5m,L5+ 得 4 2n 2口= 0,即 m= 10 5n,代入得 12n2 49n+ 49= 0,解得 n =;或 n=3当 n = 7时，m= 10-5 X 3一 5<0（舍去），当 n=7 时，m= 10-5X 孑=学,故 m+n=号+ 7 = 3.4.已知O为 ABC的外心，且BO = BA +佰C.（1）若/ C= 90 ° 贝U U 尸若/ ABC = 60 &

6、#176;贝U入+卩的最大值为答案22解析 （1）若/C = 90，贝y O为AB边的中点，BO= BA，即 匸2 尸0.设 ABC的三内角A, B，C所对的边分别为 a, b, c,因为O为 ABC的外心，且BO =?BA+ pBC,BO BA = ?BA2 所以<L> >> >> 2BO BC = BA BC + IBC ,+ pBA BCr 1221I 2C = Bc + 2 3 ac 即I 121212* = 2 入 a+ jia,全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）2 a 入=人 3 3c，2 c尸33a，尸4层+紆3/3S = 41

7、= 3，当且仅当 ABC为等边三角形时“=”成考点二与解析几何有关的压轴小题A呼B乎防法技巧求圆锥曲线范围，最值问题的常用方法 (1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或 范围.(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决(组)求变量的范(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式 围.5.已知Fi, F2是椭圆C:予+ b2= 1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点 P在过A 且斜率为 曾的直线上， PFiF2为等腰三角形，/ FiF2P= 120。，则C的离心率为()2A. 2D

8、.4C-3答案 D解析如图，作PB丄x轴于点B.由题意可设|FiF2|= |PF2|= 2，则c由/F1F2P = 120 ° 可得 |Pb|=V3, |bf2|= 1,故 |AB|= a +1+ 1 = a + 2,tan/ PAB = EB-迢-迈AB| a+ 2解得a= 4,所以c 1 e= a = 4.故选D.2 2 _ X y _> >6.已知F1( c, 0), F2(c, 0)为椭圆 孑+詁=1(a> b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点且 PF1 PF2=C2,则此椭圆离心率的取值范围是（）A.惨,1)B# 1答案 C 解析 设 P(m, n),

9、则 PF1 PF2= ( c m, n) ( m, n)= m2 c2+ n2= c2,2 2 22c2 m2= n2 x22_22把P(m, n)代入O2+ » 1，得字+ *= 1,代入得m2=22C22a b 2a c> 0,b2 a2 a2b2w 2a2c2,即卩 b2<2c2,又 a2= b2+ c2,.a2w 3c2c V3 即e=尹专.2 孑 b2 2a2c22b2 a2又 m2= 一;一< a2即 a2> 2c2,即 e= a雋,椭圆离心率的取值范围是_3 ,7. 等腰直角 AOB内接于抛物线y2= 2px（p > 0）, O为抛物线的顶

10、点， OA丄OB, AOB的面积是16,抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则 韦冒的最大值为（）答案 C 解析 因为等腰直角 AOB内接于抛物线y得 ky 4y 4k= 0,由根与系数的关系，得yAyB= 4，由此可知|EG|> 4，当且仅当|yB|= 4网时等号成立, 即|EG|的最小值为4.当直线AB的斜率不存在时，直线AB : x= 1,此时A(1 , 2), B(1 , 2)，所以C(2, 4),= 2px(p>0), O为抛物线的顶点，OA丄OB, 所以可设 A(a, a)(a > 0),1SAOB =尹X 2a= 16，得 a= 4,将 A(4,设 M(x,

11、4)代入y2= 2px,得p= 2,抛物线的方程为y2= 4x,所以F(1, 0).1y),贝y x> 0,设 t=(0<tw 1),|MF| x+1X+ 1(x+ 1)23 =寸3t2 + 2t+ 1 =32/3=3 ,当t=3时“=”成立故选C.8. 如图，抛物线y2= 4x的一条弦AB经过焦点F，取线段0B的中点D，延长OA至点C,使|0A|= |AC|,过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为 E，G,则|EG|的最小值为答案 4解析设点A，B的坐标为A(Xa,yA)，B(XB，yB),由题意可知12yA+2yB|EG|= |0E|+ |0G|=当直线AB的斜率存在时，设直线AB

12、的斜率为k,则直线 AB的方程为y= k(x 1),联立k(x -1,y = 4x,全国名校髙考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）1 丿即 G(0, 1),E(0,4),所以 |EG|= 5.综上,|EG 的最小值为4.考点三与推理证明有关的压轴小题 防法技巧推理证明问题考查学生逻辑推理能力，属于较难题，考试形式往往为 (1)以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以 小题形式出现.(2) “新定义”问题题型较为新颖，所包含的信息丰富，能较好地考查学生分析问题、解决问 题的能力，越来越受到关注和重视.9. 给出以下数对序列:(1，1)(1，2)(2，1)

13、(1，3)(2，2)(3，1)(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)若第i行的第j个数对为aij，如a43= (3, 2),则 anm 等于()A.(m， nm+ 1)B. (m 1, n m)C.(m 1, nm+ 1)D.(m, n m)解析答案=(m,n m+ 1).方法二赋值法，令 m = n= 1,贝y anm= a11= (1, 1)，分别代入选项A, B, C, D，只有 A结果为(1, 1)符合题意.10.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下,小的在上(如图

14、)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n,则n等于()由L甲乙A.7B.8方法一 由前4行的特点，归纳可得：若anm= (a, b),贝U a= m, b = nm+ 1,二anm答案 C 解析 由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数（23 1）要多，比四个盘子不同时操作的次数（24 1）要少，相当于与操作三个不同 盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数 为

15、11.11.有三张卡片，分别写有 1和2, 1和3, 2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了 乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的 卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5 ”，则甲的卡片上的数字答案 （1，3）解析由题意得丙不取（2, 3），若丙取（1，2），则乙取（2，3），甲取（1，3）满足；若丙取（1，3）， 则乙取（2，3），甲取（1，2）不满足，故甲取（1，3）.12.若函数f（x）, g（x）满足? 1f（x）g（x）dx= 0,则称f（x）, g（x）为区间1, 1上的一组正交函数.给出三组函数：1 1f

16、(x) = sin2x, g(x)= cosqx;f(x) = x+ 1, g(x) = x 1 ；f(x)= x, g(x) = x2.其中为区间1 ,1上的正交函数的是（填序号）答案(”1 1、 1 1sin 2x os 尹Jdx= 1尹门 xdx= 2cos x 1= 0,则 f(x), g(x)为区间1,1上的正交函数;对于，21(x + 1)(x 1)dx= 21(x2 1)dx= $3-x11工 0,贝y f(x), g(x)不是区间1, 1上的正交函数;对于，21X3dx= 4x411= 0,则f（x）, g（x）为区间1, 1上的正交函数.所以满足条件的正1.（优质试题 天津）

17、在如图所示的平面图形中，已知OM = 1, ON = 2, / MON = 120 ° BM =2MA,CN = 2NA,贝y Bc OM 的值为()A. 15cDOC. 6答案 C解析如图，连接MN.c Bm = 2 IMA,CN = 2NA ,AM 1 ANAB=3 = AC. "Q MN 1 MN / BC, 且 BC = 3 Bc = 3mN = 3(O>N O>M),> >> >> 2 2 BC OM = 3(ON OM OM )= 3(2X 1 X cos 120 1 )= 6.故选C.2.已知向量a, b满足|a|=

18、2©|b|M 0,且关于x的函数f(x) = 2x3 + 3|a|x2 + 6a bx+ 7在实数集R上单调递增，则向量 a, b的夹角的取值范围是（）nA。，6B. 0,nC.p 4答案 C解析求导可得f (x)= 6x2+6|aX +6ab,则由函数f(x)= 2x3+3|a|x2 +6abx + 7在实数集R上单调递增，可得 f （x）= 6x2 + 6|a|x+ 6a b> 0在R上恒成立，即 x2+ |a|x + a b> 0恒成立,2故判别式A= a2 4a b< 0,再由 |a|= 2V2|b|M 0,可得 8|b|2w 8V2|b|2cos a, b

19、>,全国名校髙考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）答案 D解析 双曲线的渐近线方程为y= fx,焦点F（c, 0），不妨设yA>0, yB<0, cosa, b又 a, b> 0 , n a, b> 3.（优质试题 重庆诊断）设集合2 2A = (x, y)|(x + 3sin a +(y+ 3cos a) = 1, a R , B = (x, y)|3x+ 4y+ 10 = 0，记 P= A n B,则点集P所表示的轨迹长度为（）a./5C./2答案 Db./7d./3解析由题意得圆(X+ 3sin a2+(y+ 3cos a)2= 1 的圆心(一3sin

20、a, 3cos a在圆 x2+ y2= 9 上,当a变化时，该圆绕着原点转动，集合A表示的区域是如图所示的环形区域（阴影部分所示）.I -T10由于原点(0, 0)到直线 3x+4y+ 10 = 0的距离为 d= J 22= 2,所以直线 3x+ 4y + 10 = 0V32+ 42恰好与圆环的小圆相切所以P= An B表示的是直线3x +4y+ 10= 0截圆环的大圆x? +=16所得的弦长.故点集P所表示的轨迹长度为42-22 = 473.2 24.设双曲线x器=1（a> 0, b > 0）的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线I交两渐近线于A,B两点，且与双曲线在第一象限的交

21、点为 P,设0为坐标原点，若OP = 6A+ QB（入 R）,1入=8，则该双曲线的离心率为（）32 A.-2-C池 C. 3B.2d.72全国名校考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）2则 Afc，乎）B（c，罟）Pf, y 因为 OP = qA + pOB,所以卜bak入+步（入厝）所以?d- = 1 ,解得c+ b尸2c，又由c2 b21=8,答案 A2c解得孑=2,所以，故选D.15.若数列an满足an+1ann N , P为非零常数，则称数列an为“梦想数列”.已知正项数列直”“梦想数列”，且blb2b3b99= 299,则 bs+ b92 的最小值是（）A.2B.4C. 6D.8

22、答案解析依题意可得 bn + 1= pbn,则数列bn为等比数列.又blb2b3b99 = 2 = b50，贝U b50= 2.b8+ b92> b8 b92 = 2b50 = 4，当且仅当b8= b92= 2，即该数列为常数列时取等号.他们除懂本国语言外，每6.来自英、法、日德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现 知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语 交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译.针对他们懂的语

23、言，正确的推理是（）A.甲日德、乙法德、丙英法、B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析 分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除 B选项；由知，没有人既会日语又全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）会法语，排除D选项；由知乙、丙、丁不会同一种语言，排除 C选项，故选A.17.（优质试题 石家庄模拟）抛物线C: y= 4X2的焦点为F，其准线I与y轴交于点A，点M在抛物线C上，当MA卜述时， AMF的面积为（）A.1B.2C.2V2答案 BD.4解析 F(0, 1), A(0, - 1)，过M作MN丄I，垂足为 N,

24、 AMF的高为|AN设 M (m, 4m2)m>0),1则 SAMF = 2 X 2m= m- 又由 5MA)=迈，|MN|=|MF|, AMN为等腰直角三角形,- m2 + 1 = m, m= 2, 4:. AMF的面积为2.8.在直角梯形 ABCD 中，AB丄 AD，AD / BC, AB= BC = 2AD = 2, E, F 分别为 BC, CD 的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交 AB于点G,点P在DG上运动（如图）.若AP =瓜E + 痔,其中入卩 R，则6H卩的取值范围是CEA.1，切C.2 , 2旧B.V2, 2屉D. 1 , 2迈解析建立如图所示的平面直角坐标系,答案

25、 C全国名校髙考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）则 A(0, 0),B(2, 0), E(2, 1), C(2, 2), D(0 , 1), F(1 ,设 P(cos 0,sin 0)，其中 0W 0Wn 则AP= (cos 0,sin 0) , AE = (2 , 1) , BF = (- 1, |) Ap =庫 + B, (cos 0, sin 0) = X2 , 1) + 4 - 1 ,2），cos 0= 2 仏即i|sin0=入+ "u,30+ 8cos 0,1尸 2si n10- cos 0,尸 2sin0+ 2cos 0= 2yf2si n( 0+ 才) ow 其

26、2, 4< 0+ 4= 7 , 2< /2sin(0+2羽, 即6H 的取值范围是2 , 2返，故选C.9.在 ABC 中，A , B , C 所对的边分别为 a , b , c,已知 a2+ b2-c2=Q3ab ,且 acsin B = R3 sin C,贝U CA CB = 答案 3 解析 由 a2+ b2- c2= ab ,得 2cos C=J3,即 cos C = ¥ ,由 acsin B = 23sin C,得玄气? Bbc2衍sin C，由 sinB=,得 ab= 2廳，所以 CA CB = abcos C = 3.10.设数列an的前n项和为Sn,若严为常数，则称数列 an为"精致数列”.已知等差数列S2nbn的首项为 1，公差不为 0,若数列bn为"精致数列”，则数列bn的通项公式为答案 bn= 2n 1(n N*)解析 设等差数列bn的公差为d，由g为常数，设Sn = k且b1