双曲线(培优)-学案

1、全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）授课主题第05讲-双曲线授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结1掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程;掌握双曲线的图形及简单几何性质;教学目标理解数形结合的思想;了解双曲线轨迹与其方程的对应关系;了解双曲线的简单应用。授课日期及时段T (Textbook-Based)司步课堂体系搭建（一）双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1, F2（|F 1F2| = 2c> 0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合 P= M|MF i| IMF2II = 2

2、a, IF1F2I = 2c,其中 a、c 为常数且 a>0, c>0 ; M为动点;当a<c时，P点的轨迹是双曲线;当a= C时,P点的轨迹是两条射线;当a>c时,P点不存在.第二定义：平面内到定点 F的距离和到定直线的距离的比等于常数（大于1）的点的轨迹叫做双曲线，即IMF l=e（e>1）.F为直线I外一定点，动点到定直线的距离为d, e为大于1的常数.d（二）双曲线的标准方程和几何意义标准方程22x y 2= 1 a b(a>0 , b>0)2 2 y x 七一二=1 a b(a>0 , b>0)x> a或 x< a,

3、y Rx R, yW a 或 y>a全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）对称轴：坐标轴对称性对称中心：原点顶点Ai( - a,0) , A(a,O)A(0, a) , A2(O , a)渐近线y =± bxa,a y = ± bX离心率c宀2e=a，乂 g，其中c=声習线段AA叫做双曲线的实轴，它的长 |AiA| = 2a；线段BB2叫做双曲线的实虚轴虚轴，它的长|B1B| = 2b; a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系（三）焦半径公式c = a + b (c > a> 0，c > b> 0)2 2M(x

4、 0,y 0)为X2-厶=1 右支上的点，贝U |MFi|=ex 0+a, |MF2|=ex0-a. a2 b2典例分析考点一：双曲线的定义及其标准方程例1、已知双曲线的两个焦点为Fi（屮0, 0）、F2（pi0, 0） , M是此双曲线上的一点， 且 满足MFt MF 2=0, 1 MFi | I MF2 | = 2，则该双曲线的方程是2x 2A. 9 y =1C.D.例2、已知双曲线X2 y2= 1，点Fi, F2为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若PF 丄 PF2,则 |PFi| +IPF2I的值为6436例3、双曲线=士 = 1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离

5、是全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编(附详解)5考点二：双曲线的几何性质例1、已知点F是双曲线2 2X y亍十1(a>0 , b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若 ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 (1 ,+s)(1,2) (1,1 +曲如图，F1, F2分别是双曲线C:2 x2a2b2= 1(a , b > 0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线 F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与 x轴交于点M.若|MF2| = |F 1F2|，贝U C的离心率是C.D/3例3、已

6、知椭圆C:2x + a2*= 1(a >b > 0)与双曲线 C2:2x27 = 1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A B两点.若G恰好将线段AB三等分，则()a2= 13b2= 2例4、设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为 B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为().B.C.护+ 12D.考点三：直线与双曲线的位置关系例1、过点P(4,4)且与双曲线2y=1只有一个交点的直线有(9A. 1条2 x 例2、已知双曲线r a2¥= 1(b>a>0) , 0为坐标原点，离心率 e= 2,点M眠g在双曲

7、线上.(1)求双曲线的方程; 若直线I与双曲线交于 P, Q两点，且OP oQ = 0.求|OP严+ ,OQ, lOPl lOQl1-2的值.2例3、F1, F2分别为双曲线字一 b=1(a >0, b>0)的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M满足I MF" ,| = 3| MF2 ,|，则此双曲线的渐近线方程为全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编(附详解)考点四：双曲线综合问题例1、(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆X2 + y2= 10相交于点P(3 , - 1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程; 已知双曲线

8、的离心率 e=¥5，且与椭圆2 2=+= 1有共同的焦点，求该双曲线的方程.112X例2、已知双曲线C:y2 = 1, P是C上的任意点.4(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值.例3、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3, 0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线：y= kx + m(kM 0,详0)与双曲线C交于不同的两点 M N,且线段MN的垂直平分线过点A(0，- 1)，求实数m的取值范围.全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）P(P ractice-Oriented)实战演

9、练实战演练课堂狙击1已知双曲线的渐近线为2 2x y A 一 = 1A. 4121y =± 3x，焦点坐标为2 2x yB. 2 一 7 =1(-4,0),C.(4,0)2 x24，则双曲线方程为（2- i =1D.)2 2=18242、若双曲线过点（m,n）（m > n> 0），且渐近线方程为y =± x,则双曲线的焦点A.在x轴上B .在y轴上 C .在x轴或y轴上D.无法判断是否在坐标轴上3、已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线2+語1的离心率为（C.V54、如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点.若MO N将椭圆长

10、轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A. 3B. 2C.5、已知双曲线C:2 a22Vx= 1(a>0 , b>0)与双曲线 G：-“b4162y = 1有相同的渐近线，且 C1的右焦点为F(店,0)，则 a =26、过双曲线計討1(a > 0, b> 0)的左焦点F作圆X2 + V2 =4的切线，切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点，则双曲线的离心率为7、已知双曲线的中心在原点，焦点Fi,F2在坐标轴上，离心率为 迄，且过点(4，屮0).点M(3, m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证：MFj MF2 = 0.8、如图，P是以Fi、

11、F2为焦点的双曲线T T T TC：27-2 = 1 上的一点，已知 PF 1 PF 2= 0,且I PF i| = 2| PF 2|. a b(1)求双曲线的离心率e;(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1, P2两点，若OP 1 OP 227 2 S 1+ S 2=0.求双曲线C的方程.全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）课后反击2 21已知双曲线? 5 = 1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于（A.3#C.D.2 x2、已知P是双曲线孑54，且 PFi , PF2 ,2y1（a > 0, b>0）上的点，F1, F2是其焦点，双曲线的离心率是

12、b=0,若 PFiF2的面积为9，则a + b的值为（）D.83、平面内有一固定线段 AB, |AB| = 4,动点P满足|PA| - |PB| = 3, O为AB中点，则|OP|的最小值为（）C.4、设e、02分别为具有公共焦点 Fi、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点， 且满足I PF1 ,全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编(附详解)+ PF2=1，则越的值为(15C.5、已知双曲线2y2= 1(a > 1, b> 0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0, b)，点(1,0)到直线I的距离e的取值范围为4与点(一1,0)到直线I的距离之和S-C,则双

13、曲线的离心率56、直线x = 2与双曲线CX4 y2= 1的渐近线交于Ei,E2两点，记OE1,= ei,oE,= e2,任取双曲线C上的点P,若OP, = ae1 + be2，则实数a和b满足的一个等式是 .2 27、设A, B分别为双曲线X2 y2= 1(a >0, b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为Ai/E,焦点到渐近线的a b距离为73.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y=33x 2与双曲线的右支交于 M N两点，且在双曲线的右支上存在点D,使OM , +T TON , = t OD ,，求t的值及点D的坐标.战术指导一条规律:双曲线为等轴双曲线？双曲线的离心率

14、e=J2?双曲线的两条渐近线互相垂直 (位置关系).两种方法:(1) 定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 b2,写出双曲线方程.2a、2b或2c，从而求出a2、(2) 待定系数法：先确定焦点是在 x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即2 2X y一2七=入(入丰0)，再根据条件求m n“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为的值.三个防范:(1)区分双曲线中的a, b, c大小关系与椭圆a, b, c关系，在椭圆中a2= b2+c2,而在双曲线中=a2 + b2.双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e (0,1).2 2.

15、Xyb双曲线-72 = 1(a >0, b>0)的渐近线方程是y =±-x, aba2y_2 a2x了= 1(a >0, b> 0)的渐近线方程是=± A直击高考1、【优质试题新课标I理】已知M（xo, yo）是双曲线2x 2C: - y = 1上的一点，F1, F2是C的两个焦点.若MF MF<O，贝U yo的取值范围是（A零封B.（-罟，罟C.D.2、【2007?安徽】已知Fi, F2分别是双曲线丄号-冷=1 a? b?(a> b > 0)的两个焦点，A和B是以0（0为坐标原点）为圆心，|OFi|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为3、【优质试题湖北】TT0一<_则双曲线5；2y_22二1 与 C2：牛-si n e的（A.实轴长相等B.虚轴长相等C .焦距相等D .离心率相等全国名校高中数学优质学案，精品专题汇编（附详解）S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾t-19考点一：双曲线的定义及其标准方程考点二：双曲线的几何性质考点三：直线与双曲线的位置关系考点四：双曲线综合问题名师点拨品应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点 （焦点）的距离之差的绝 对值为一常数，且该常数必须小于两定点