南京理工大学考研题

1、南京理工大学2004年硕士研究生入学考试试题（量子力学）一、质量为m的粒子处于定态波函数甲=-eikr,计算其几率密度和几率 流密度。（15分）r二、 粒子在一维势场 V（ X）中运动，证明属于不 同能级的束缚态波函数 彼此正交。（15分）三、设q,p =,f （q）是q的可微函数，试证明：q,p2f（q）L2i/ipf.（15分）（15分）四、求角动量的Z分量|笃=匚衣2的本征值和本征函数。五、试证明在动量表象 中算符的表示为2=用0。（ 15分）P =卩。证明 SX = P,SyP =i ot（15分）T丿22任a b0且E10HE0, a,b为实数。用微扰公式求 能量至二级修正值。（15

2、分）bE； +a 丿仪0六、设a =七、在能量表象中H?八、体系哈密顿算符的矩阵表示为H?=a、0，其中2丿a1。写出（1）微扰哈密顿的矩阵表 示;（2）能量至一级修正。九、在S表象中，求（1）S?x, S的本征值和本征态；（2）如果粒子处于Sx =?的本征态，求在此态中 Sy的值为-2 2的几率为多少?十、求在状态屮=1访严乙（Sz） 丫10单）+ 7閃（Sz）丫仆（日W）A，力学量Jz =? +Sz的可能值是多少?9、护2和3为态空间中得基矢，体系哈密顿量算符H?及力彳0 0 =*1 0 0、学量A的矩阵表示分别为：H?=屜00 2 0，A =a0 0 10 0 20 10,求（1）对处于

3、屮态的体系进行能量测量体系能量的平均值为多少？ （3）在屮态上力学量A的平均值为多少?、已经体系处于状 态屮=-丄 +丄為+丄也中, 2 2a是正的实数。可测得哪些值？各个值 出现的概率是多少？南京理工大学2005年硕士研究生入学考试试题1、设q, P =i矗，f(q)是q的可微函数，试证明：p, f(q) p质量为卩的粒子束被球壳势场散 射，V(r)-V03(r-a)，在高能近似下，用 计算散射振幅和微分截面。=-fp2。 i2、证明厄米算符的本征 值是实数。3、一粒子在一维势场 U (X)= 处，X 0,0,0xa,中运动，求粒子的能级 和对应的波函数。处，X Aa4、5、(1)6、证明在

4、Iz的本征态下，？ =0。设体系处于屮=C1Y1(Sz)中，Sx和Sy的不确定关系：(ASx；2 Sy 2 =?量Z分量的可能值、这些可 能值出现的几率和这些 力学量的平均值。7、用测不准关系估算氦原子的基态能量。8、证明 &x%&Z =i 9、设已知在L2和Lz的共同表象中，算符LX的矩阵为Lx = 2和本征函数。13、Born近似南京理工大学2006年研究生考试试题一、填空题。1德布罗意关系为：本假设中任意两个:2、写出量子力学五个基3、波函数的标准条件为4、能量算符的表达式为 动量算符表达式为：系为X, Px】5、坐标和动量的对易关子的自旋，能级的简并 与轨道角动量的耦合时成的全同粒子体

5、系的波测不准关系是（AxPx f6、对氢原子，不考虑电 考虑自旋但不考虑自旋7、费米子和玻色子所组性。度为：，能级的简并度为：函数分别具有性和8原子跃迁的选择定则9、考虑自旋后，波函数中角量子数应满足 凶= ,磁量子数应满足= 在自旋空间表示为徉Zyz）已归一化），则在态甲1甲2仪y.z ）丿下，自旋算符G二炉11的结果可表示为。Gi2G22丿、，对自旋的平均可表示 为 ；对坐标和自旋同时求 平均的10、算符（?的本征刃|门组成完备系，贝 |n的封闭性为 甲（X, t）=。；n）在以I X）为基矢的X表象中分量二、计算题。处，X V 0,1 一粒子在一维势场 U（x）=j0,0x0.微扰哈密顿

6、算符为 H = -qs（t）x。设在加上电场之前兀T（即 t =-垃），线性谐振子处于基 态，求电场作用终了时（ 即t= 线性谐振子被激发到 第一 激发态4的几率，准确到一级近 似。附：*-dx =1 E；02Ya递推公式：x嚅（X） = J勺（甌）Q（ n 讪2%（X） +yQH-1（x）】7、 一束自旋为1/2的粒子，相继穿过三个 斯特恩-革拉赫实验装置（如图 所示）。ISGz可使自旋 Sz =甲2的粒子通过而滤掉Sz =-牝的粒子，Sn =n S。n为xy平面内与z轴成8角方向的单位矢量。 而IIISGz可使自旋Sz =勺2的粒子通过而滤掉Sz =/2的粒子。（1）求自旋算符Sn =n

7、S的本征态。（2）求穿过IIISGn后的粒子有多大概率可 以IIISGz穿过。（3）如何调整IIISGn的方向（即0角）使穿过IIISGz的粒子数最多？南京理工大学2008年研究生考试试题1、（1）当势能V （x）改变一常量C时，即V（x）T V（x）+C,粒子的波函数与时间 无关的部分 变化否？粒子的能量本量子力学有哪些假设征值变化否?2、利用测不准关系估计3、求下列算符的对易关1 L?xPx-Pxl?x =? 2fyPx-Px?y = ? 3）?zPx-Px?z =?4、证明：L, Lz以为线性谐振子的基态 能量。 系式：=卉的氢原子中的电子，在02 2已知算符？的不确定度为仏F2 = F

8、2 -F。=45度和135度的方向上被发现的概 率最大。 t0时处于方向沿X轴正方向的弱电场激发态的概率。5、带有电荷e的以为线性谐振子，在t =0时处于基态，& = e0e-t之中（T为大于0的常数），试求该谐振 子在长时间后处于第一6、 证明：为了保证角动 量算符的Z分量？z =-i矗空是厄密算符，波函数周期性边界条件 屮（r,巧=屮（r, 0, W +2兀.q0丿 ?乍；0）+ ab 、H- 1bE（ 0）+V bE2 +a值，准确到二级近似；（2）严格求解能量的本征值并与微扰论的计算结果比较。9、 设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不 容许区（E-V = T2）作用的一个粒子的波函

9、数和能量允许值。四、已知氢原子的电子波函数为屮nmm（ r，日，咒5）严31（）Y11（ 8,旳負（Sz）+ 只32（）丫20（也巧这些力学量的平均值。篦（sz）。求在屮态中测量氢原子能量 E，L2、Lz、S2、sz的可能值和五、一维运动的粒子处于状态屮（x）3 X-0之中，其中A 0, A为待求的归一化常，X 0时?x，sy, ?的平均值。2也是K?的本征矢，相应的本征 值分别为A-1,兀+1. H0表象中，H的矩阵为：十三、设在E1（0）0十二、设K=i?M, i?M-M?f=1, W为K?的本征矢，即K?w=z5P，几为本征值，试证明 卩三抄V0 aE2（0） b Ec e2 e30试用

10、微扰论求能量的二 级修正。e30）附：1、一维线性谐振子的能 量本征函数和能量本征 值分别为：1 f Ct 卫X2网 f 1 咒(x) =iTnJe2 Hn（g）； 帀已十+2严 nh，2,3,2、 氢原子的本征值：En =-：e 232；!乜用n23、定积分：jxne心dx-gO,n为正整数0 04、 宽度为a的非对称一维无限深势 阱中，粒子的归一化能 量本征函数为:f . n；ix屮 nHLin gXa0, xa1x十宀切 八 xcosaxdx =cosax + - sin ax + C5不定积分：fa2a南京理工大学2010年研究生考试试卷简答题1、写出五个量子力学基本假设中的两个2、波

11、函数是用来描述什么的？归一化条件的物理意义？波函数的标准条件?3、不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同的表象中不变的量有哪些?4、何为玻色子和费米子？描写它们波函数具有怎样的性质?5、叙述泡利不相容原理和全同性原理。二、计算题一质量为4的粒子在一维无限深势阱u(x)=I 0,0wxa中,处，X c0,xa1求其状态波函数和能级表达式。2kax,0 X V2、若粒子受到微扰：H(x)詔2ka2 ,求基态能量的一级近似值。(a -x), 0开始受微扰H 的作用，求经从分长时 间tT 乂以后体系跃迁到屮（X）：=_J10（X ）+、gw2（X）+ C5屮 5（x）式中屮n（x）表示谐振子第n个定

12、态波函数，求：（1）系数 c5 -?（2）写出t时刻的波函数；、（3） t=0时刻谐振子的能量的可能取值和其相应几率，并求其平均值。5、求自旋角动量在2 cosa ,cos P ,cosY）方向上的投影& =SxCOsa +SyCOsP + z cos Y的本征值和本征函数。6、 对于一维谐振子，取 基态试探波函数形式为 exP（-泳2仏为变分参数。用变分法 求基态能 量，并与严格解比较。k示:计二笃佶1）#1_02 aV a7、设 I n）（n =1,231 r fn +1= x2exp（-2ktXk为常数，且 k 0） 2态的几率。北京工业大学2009年研究生考试试题部分边否？能量的本征、

13、当势能V（ r改变一常量C时，即V（ r T V（ r）C,粒子的波函数与时间 无关的 值边否？（兽+礬二、设在一维无限深势竺描述，求粒子能量a阱中运动的粒子的状态 用：屮（x）-s in cos2兀X J aa竺展开）a的可能值及相应的几率。（用本征态波函数屮（X）PsinY a三、设算符A、B与它们的对易式 A，B都对易。证明（1）A，Bn L nBnA, B】:（2）An, BlnAA, B 3（递推法）四、 设一体系未受微扰 作用时有两个能级：E01和e02,现受微扰H?的作用，微扰矩阵元为 H；2 -H；, =a，Hn =H22 =b； a，b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

14、/ 匸（2） _ P|H mn（En =乞 EWm En五设粒子的哈密顿量为4+v（r）.（1）证明 ddt（2）证明：对于定态2T二莎维里定理）六、证明 KBLa,b；其中A（P ,q）,B （p ,q）是正则动量和坐标的函 数，上式左方是相应的算符。a,B屣经典力学中的poisso n括弧在多变量情形a,b = Z 俚宜_丝空, y 2q cpi cpj Eq 丿i =1,2,3,k为自由度。北京工业大学2008年研究生考试试卷ra2 x2二、一维谐振子处在基 态屮（X）、证明在定态屮（t ）=屮（0沪中，几率流 j = _V屮* _屮*7屮）与时间无关。 2m/,求：（1势能的平均值U J曲22oC02%n，它的能量的经典表示式是:（2）动量的平均值T-jj3）动量的几率分布函数。（肢晋怙亠5（21）三、一刚性转子转动惯量为I，转子绕一固定轴转动I?2