利用导数求参数范围8

1、利用导数求参数范围导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越受到高考命题专家的“青睐”。其中，甚至利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。很多都安排在倒数第一、二题的位置上！探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使 f(x)a成立，只需使函数的最小值f(x) a恒成立即可；要使min值f (x) a恒成立即可”.max这也是近两年咼考考查和应用最多的一种f(x) a成立，只需使函数的最大例1 (湖北理)已知向量a=(x2,x 1), a=(1 在区间(-1,1)上是增函数，求t的取

2、值范围.x,t)，若 f(x) a?b由向量的数量积定义232f (x)= x (1 x)+( x 1)t = x +x +tx + t. 2f(X)= 3x + 2x +t.若f(x)在区间(-1,1)上是增函数，则有2t 3x -2x在(-1,1)上恒成立.若令 g(x) =3-2x=-3(x I)?-133在区间-1,1上，g(x) =g( 1)=5,故在区间(-1,1)上使t maxg(x)恒成立，只需t g( 1)即可，即t 5.即t的取值范围是5,点评：本题除了用导数反映单调性， 还借助了二次函数的性质求 出最值，且要注意边界值的取舍。例2使不等式x4-2x22 a对任意的实数x都

3、成立，求实数a的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导令f (x) = /-2 ,则如果原不等式对任意的实数x都成立等价于f(x) 2 a.min又 f (x) = 4x3-4x=4x2(x 1)，令 f (x)=0，解得，x=0 或 x=1.f (x)的符号及f(x)的单调性如下：x(-S ,O)0(O,1)1(1,+OO )f (x)-0-0+f(x)无极值极小值因为f(x)在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即f(x) = f (1)= -1 ,min-f (x)= -1 2 a，即 a 3.min点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。(x

4、3ax)a内单调递增，则a的取值范围是(例3 (天津理)若函数f(X)=|og(a 0, a 丰 1)在区间(-,0) 2B? .1)4)叮)C(9,+)D(1,目)44解析：f(x)是复合函数，须按0vav1及a1两种情况考虑.令 g(x) =x3ax , V f(x)在(-1,0)上为增函数，2若0a1，则g(x)在(-1,0)上为减函数，即g (x)=3x2 a3(y=4,此时，21,则g(x)在(-1,0)上为增函数，须使g (x) = 3x22(-2,0)上恒成立，即a V 3x2在(-1,0) 上恒成立，即a 0，不合题意.2综上，a 3.1).4点评：解决与复合函数有关问题，要注

5、意复合函数的单调性，否 则就会南辕北辙.例4 (辽宁)已知函数f (x) ln(ex a)(a 0).(1)求函数y f(x)的反函数y f Yx)及f(x)的导数f (x);(2)假设对任意 x ln (3a),l n(4a),不等式 |m f lx) | I n( f (x) 0 成 立，求实数m的取值范围.解析：(1)解略.f 1(x) = ln(ex a) , f (x) =$；得ex axln( f (x) =x ln(e a)；解此绝对值不等式得f 1x) + 1 n( f (x)vmvf 1(x)-ln(f(x)把(1)代入上式，得 IngX a) -ln a) + x m ln

6、gXXa) + l n(ea) - x若把此不等式左右两边设为两个新函数，即Axxxx令 (x)=ln(ea)-ln(ea) + x , g(x) = ln(ea) +ln(ea)-x则原不等式对于任意x ln(3a),ln(4a)恒成立，意即(x) 0 , g (x)0 ,故(X)、g(x)均为增函数，注意到Ove在ln(3a), ln(4a)上,(x)max(In (4a)12a咗)8ag(x) =g(ln(3a) =ln()，min3故原不等式成立，当且仅当(In (4a) v m v g(l n(3a)，即ln(12a) vmvi n(8a).53点评：问题(2)涉及的式子看似复杂，难

7、以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。 再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。二与极值点的个数有关 求解策略：按方程f(x)=O的根的个数分情况谈论。例5 (湖北文)已知b 1,c 0,函数f(x) = x b的图象与函数g(x) = x bx c的图象相切，(I )求 b与c的关系式(用c表示b )；(n )设函数F(x)=f(x)g(x)在(-8 +8)内有极值点，求c的取值范围.解析：(I ) V f(x)与g(x)的图象相切，切线的斜率相等，即 f(x) = g(x)即 2x b 1，故 x g2切点的纵坐标为f(宁=9号)，解得(b

8、1)2 4c又 V b 1, c 0，二 b 12jc，即 b 1 2Uc.,、322(n ) V F (x)= f (x)g(x) = x 2bx (b c)x bc ,2 2二 F (x) = 3x 4bx b c,令 F (x)=0，即3x2 4bx b2 c=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个 数，进而判断极值点的情况)2 2 2 =16b12(b c) = 4(b3c)2若 =0, F (x)=0 有一个实根 x0，贝y F(x) = 3(X xj ,F (x)的变化如下:(n )若函数y= f (x) g(x)在(-1,3)上单调递减，求t的取值范围.X(-X, X0 )X

9、0(x。, +X)F (X)+0+故X=X0不是F(x)的极值点;X2分别为函数F (X)的极大值点和极小值点.若 0, F(x)=0有两个不同的实根X1、X2，不妨设X, VX(-X,Xi(Xi , X2 )X2(X2 ,+Xi )X)F (X)+0-0+X2，贝y F (x) = 3(XXi) (X X2) , F(X)的变化如下:故 XX,、X综合，当 0, F(x)=0在(-+ )内有极值点.由厶=4(b2 3c) 0,即 b2 3c，又由(I ) b 1 2Jc , 得，(1 2Tc)2 3c解得， 0 c 7 4/3或 c 7 4J3.故c的取值范围是(0, 7 4J3) U( 7

10、 4J3 , + X).点评：解决I要明了切线与导数之间的关系；解决借助了一元 二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系三 与集合之间的关系相联系例6 (湖南文)设t工0,点P(t,0)是函数f(x) X3 ax与g(x) = bx2 c 的图象的一个公共点.两函数的图象在点P处有相同的切线，(I )用 t 表示 a , b , c ；解析：(I ) P为切点，切线相同，此问与例5大同小异。把P点代入两函数解析式，有t3 bt2atc0，又t工0，故0at2c ab又在点P处切线相同，故f(X)g (x)，即卩 3t22bt，将at2代入，得b = t，从而，c = x3，即t2 t .t3(n)由(I)f(x) x32 _t X , g(x) =txy = f(x) g(x) = x3223tx t x t ,. 2 2y = 3x 2tx t = (3x t)(x t), 函数y = f (x)g(x)单调递减，即y V 0,由 y =(3x t)(x t) v 0,当 t 0 时，-v x v t ； t v 0 时，3故函数y的单调区间，当t 0时，为(-,t)；当tv 0时，3故要使函数y在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3)( -