二项式定理(2)

1、全国名校高考数学优质学案经典专题寒暑假自学辅导学案汇编（附 详解）高三数学第一轮复习讲义（71）二项式定理（2）一.复习目标：1 能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和.2能熟练地逆向运用二项式定理求和.3能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式.二.课前预习:1. (逅+药)1"的展开式中无理项的个数是(A)84(B)85(C)86(D)872. 设 f(x) =x5 -5x4 +10x3 -10x2 +5x+1，贝U f(x)等于(= 128.(A)1+VX(B) 1-纵-2(C) 1 +讥-2(D)1-Vx3. 如果 1 +2cn + 22Cn +

2、2nCn =2187，贝U C： +Cn + C： +CnnC nn+1 n+14. 1 1)n 1 i 1235. (3x-2y+z)9 展开式中含 x2y3z4 的项为-90720x2y3z4.6若(1 +2x)100 = a； +a1(x 1) +a2(x 1)2 +a1oo(x 1)100M araa- +499=5100 -12四.例题分析:例1.已知an是等比数列，公比为q，设Sn=ai +a2Cl+ asC：十+an十C：（其存在，求公比中 n >2,n 忘 N+）,且 S：+0； +0； + +0：，如果取值范围.解：由题意 an =6 "qn4, Sn =2n

3、 ,Sn =a1 中 agCn +a1q2C2 +a1qnC：= a1(1 +qCn +q2C2 + +qnC：) = a1(1 + q)n (q = 0)全国名校高考数学优质学案经典专题寒暑假自学辅导学案汇编（附 详解）魯岁理“1（宁广.如果nm|存在，则|弊1或宁八2n 一 2+q c2 或 q =1，故一3cq<1 且 qO .例 2. (1)求多项式(3x4 -X3 -2x-3)10J(3x-5)4 (7x3 -5x-1)67 展开式各项系数和.多项式X1000 -X （-X3 - 2 x 2 + 2）1000展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和各是多少?431024

4、367辭,4、八 f(x) =(3x -x -2x 3)©x-S) Wx -5x-1)=a0 + a1x +a2X其各项系数和为a0 +6 +a 又 f =a0 +a1各项系数和为16(2)设 f(X)=x1000 -xx3 2x2 +2)1000 =a0 +a1x+ a3001X3001 ,f () = a。+ a1 十 a2 中十 83001= 0, f (1) = a。 a1中 a2 a3001= 2,故a1 + a3 + a3 0 0予1 ,玄 +a2+ a3000 = 1 , f(x)展开式中X的偶次幂各项系数和为1 , X奇次幂各项系数和为-1.2+ a2 + 护2100

5、0=X=a0 + a1+ a3 0a2+n7anX(n N)十+an .+ an =(3-1-2-3)102 (3-5)4 酉-5-1)67 = 16 农02+n例 3.证明：(1)2 2kCk =3n (n 亡 N)；k zO 2C0n +C；n +2C2n +C3n + 十C；'十20* = 3 鸟心(n- N)；全国名校高考数学优质学案经典专题寒暑假自学辅导学案汇编(附 详解)4(3) 2 <(1 +)" c3(n 迂 N) ；(4)C： " + C； Q2+C： n2=n(n +1) 2 n解眇=(1 + 2) J C：2° + Cj, 2

6、+ C語 + + 戏2"=工2* C,k=0原式左端=CCL + C打+ C秀)+ (咪+ C金十+ C知=2加 +0= = 0-(2 + Q = 3 丹7(寸 1+丄“ + cp+氏 A+d n/n nn(1)十 i+c?4 +nn由(i)知另一方面，由得1+1 +丄口 + 丄仗-1)5 2)亠亠 1 (n-l)(n-2)厂 1可 可 了7i 丽<1 + 1 + + + + 2! 3!11!<1 + 1 + 丄 + 丄 +<1 + - = 3 2 *2.12全国名校高考数学优质学案经典专题寒暑假自学辅导学案汇编(附 详解)(4)C *k= Ck(k-1) + k

7、= k(k -1)C HC；=监册十為讥隔+吐X2)原式左端= C+n(n-nCt：+nCi, = n + n(ti-lXC°_2 + <2 + +C：劭 +n(cLi +C右 + +时：) = n + n(ti-l)0 +n/ -l)=n(ii + l)2"2例4.小结：五.课后作业：1 .若(X3 + t)n的展开式中只有第x(A) 462(B)2522用88除8788 +7，所得余数是(A)0(B)13已知2002年4月20日是星期五，班级学号姓名6项的系数最大，则不含 x的项为(C)210(D) 10(C)8(D)80那么1090天后的今天是星期全国名校高考数

8、学优质学案经典专题寒暑假自学辅导学案汇编（附 详解）的取值范围为（丄,22 37.求满足c0 +c1 +2C： +3C3 +nC： <500的最大整数n .解由例冲（6）题知广C： = n*Cl：二 C：+2C+3C： + +iiC：二C： + C：+2C：+?C： +11* C： = J1* 2矗1 + 1原不等式化为n- 2n-1 < 499V 27=128,二 n=8 时，8 27=210=1024>500.当 n=7 时，7 26=7X 64=448< 449.故所求的最大整数为n=7.& 求证：（C：）2 +（cn）2 +（c：）2 十+（c：）2 =

9、C；n证明 由(1+x) n (1+x) n=(1+x)2 "，两边展开得:(c：+c：x+ + qP +c：i?) (U+c話+c：/+q 】 占 += C； + C蠢 + C J + +C：3：巴比较等式两边xn的系数，它们应当相等，所以有:全国名校高考数学优质学案经典专题寒暑假自学辅导学案汇编（附 详解）C：*c;+cy cy+cAcF +c;c：=c：. 由 c：=c：，得（Uy+（C拧 +（C；）2 + +（C：）c；9 .已知（1 + 3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项.解耒三项的二项式系数分别为C汕CA C：由已知，可得cJ +

10、 cT + C： = 121: C'+ ci+ >121fipn'+n-2400二 n = 15 或 n = -16（舍）片产C；他）5C笳设第r + 1项与第r项的系数分别为tr+1 , tr令如产味（加廿c：?严 tr+1 > t r 则可得 3（15-r + 1） > r 解得 r < 12当r取小于12的自然数时，都有trV tr+1当r = 12时，t r+1 =t r二展开式中系数最大的项为T口 -呼 -咪护/4. 某公司的股票今天的指数是 2,以后每天的指数都比上一天的指数增加0.02%，则100天后这家公司的股票指数约为2442 (精确到0.00