不等式证明的基本方法

1、全国名校高考数学理科二轮复习优质专题汇编(附详解)不等式证明的基本方法1. (1)已知a, b都是正数，且aMb,求证: a3 + b3>a2b + ab2;(2)已知a, b, c都是正数，求证：产,abco证明 (1)(a + b ) (a b + ab ) = (a + b)(a b) o因为a, b都是正数,所以a+ b>0o又因为aM b,所以(a b)2>0 o于是(a+ b)(a b)2>0,即(a3 + b3) (a2b + ab2)>0,所以 a3+ b3>a2b + ab2。因为 b2 + c2 >2bc, a2>0,所以 a

2、2(b2 + c2)> 2a2bco 同理，b2(a2 + c2)> 2ab2c。c2(a2 + b2) > 2abc2。相加得 22匕2 +匕2(2 + c2a2)2a2bc + 2ab2c + 2abc2，从而 a2b2 + b2c2 + c2a2 > abc(a + b + c)o由a, b, c都是正数，得a+b + c>0,72|2 , . 2 2 , 2 2a b + b c + c a因止匕> abc。a+b+ c2.(优质试题 安徽皖北联考)设函数f(x) = |x + 2|+ |x 2|, x R , 不等式f(x)w 6的解集为M。(1)

3、求 M;当a, b M 时，证明：3|a + b|< |ab + 9|。解析x< 2,(1)|x + 2| + |x 2|< 6 等价于L 2x< 61 2<x<2, 或il4< 6rx> 2,或<L2x< 6,解得3W x< 3。故 M = 3,3。证明：当a, bM时，即一3< a<3, 3< b<3时，要证3|a+ b|< |ab + 9|,即证 9(a + b)2w (ab + 9)2。而 9(a + b)2 (ab + 9)2= 9a2 + 9b2 a2b2 81 =(b2 9)(9 a2

4、)< 0,故 3|a + b|< |ab + 9|。答案(1) 3,3见解析1 13.(优质试题 赣州模拟)设a、b为正实数，且a+b= 22。(1)求a2 + b2的最小值；若(a b)2>4(ab)3，求 ab 的值。L 11解析(1)由W2=a+ b1ab> 2。当且仅当a= b = ¥时取等号。故a1 2 + b2> 2ab> 1,当a= b乌时取等号。所以a2+ b2的最小值是1o(11 由(a b)2> 4(ab)3 得百-bj > 4abo141即 la+V-ab4ab,从而ab+2o1 1 又ab+ab2,所以ab+品=

5、2又a, b为正实数，所以ab= 1。答案(1)1(2)14.(优质试题 湖北八校联考)已知函数f(x) =p|x+2|+ |x-4| m的定义域为 Ro(1)求实数m的取值范围；41若m的最大值为n,当正数a, b满足0+5 + 3a+ 2b= 口时, 求4a + 7b的最小值。解析(1)T函数f(x)的定义域为 R，且|x+2|+ |x-4|> |(x+ 2)-(x 4)|= 6, - mW 6o1由(1)知n = 6 ,利用柯西 不等式 求得，4a + 7b = 6 (4a +/7b) a+ 5b 3a+ 2b丿=6(a + 5b) + (3a+ 2b)V1 +5b 3a+ 2bj

6、34a + 7b的最小值为2。B级 能力提升时间*0分钟1.(优质试题 福建质检)已知函数f(x)= |x + 1|。(1)求不等式f(x)<|2x + 1| 1的解集M;设 a, b M，证明：f(ab)>f(a) f( b)。解析 (1)当x< 1时，原不等式可化为X 1< 2x 2,解得x< 1,此时原不等式的解是x< 1。1当一1<x< 2时，原不等式可化为X+ 1< 2x 2,解得x< 1,此时原不等式无解。1当x> 2时，原不等式可化为X+ 1<2x，解得x>1,此时原不等式的解是x>1。综上，M

7、= x|x< 1 或 x>1。证明：因为 f(ab) = |ab + 11= |(ab + b) + (1 b)|> |ab + b| |1 b|= |b|a + 1|11 b|,又 a, bM，所以 |b|>1, |a + 1|>0。所以 f(ab)>|a + 1| |1 b|，即卩 f(ab)>f(a) f( b)。答案(1)X|XV 1或x>1(2)见解析2.(优质试题 安徽江南十校联考)已知函数f(x)= |x| |2x 1|,记f(x)> 1的解集为M。(1)求 M;已知a M,比较a2 a+ 1与1的大小。af x 1, x&l

8、t;0,I1解析(1)f(x) = 1 x| |2x1| = 3x1, 0<x<2,.x+ 1, x>2rx< 0,由 f(x)> 1,得lx 1> 1I0<x<2,l3x 1> 1x> 2,I X+ 1> 1,解得0VXV2,故 M = x|0<x<2。由(1)知 0<a<2,1因为 a2 a+ 1 aa3 a2+ a 1(a Ua2 +1 )当0vav1时，"a +门<0,全国名校高考数学理科二轮复习优质专题汇编（附详解）2当 a= 1 aLo,2 1所以 a当 1<a<2 时，a2 a+ 1辽 a a+ 1= a，2当 1<a<2 时，叶 aa+ O,2 1所以 a a + 1>a,a1 综上所述：当0<a