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1、不确定性原理的推导、（普遍的）不确定性原理推导:对于任意一个可观测量A，有（见（12）式）：:(A(A 网 64(A)q(f|f)式中：f (A (A)同样地对于另外一个可观测量B,有:(g|g)式中:g (E? (B)由施瓦茨不等式（见（16）式），有:对于一个复数Z （见（17）式）：Re(z)F ImFImF -(z z)令Z (f|g)，(2)式:（f|g）& （A?A（B）何 At?巧（砂 A 巧）（A 氏訓） A）（B屮屈俺）A） A）（A）类似有:(f所以(f|g (g|f)(A?) B?)A,B)式中对易式：A,B AB BA把（5）代入（4）,得（普遍的）不确定性原理:二、位

2、置与动量的不确定性设测试函数f（X），有（见（23）X, P f(x)X 屿(f) i (xf) idXidXX迪idX施ifi dX i dX去掉测试函数，则:X, =rpP令AX, B P，把（8）代入由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性:三、时间与能量的不确定14由（见（24） 式）：(10)可得:所以时间与能量的不确定性:(11)附:1、数学符号及常量X的平均值矢量(函数)a和B的点积(内积)n：j的不确定程度即j的标准差其中h=6.6260693( 11) j s为普朗克常量!22、有矢公式推导(1)式：(屮 Q?(Q(12)式:对于I )|2和(I )(Xi,X2,X3,-,

3、Xn) ,(yi,y2, y3,yn)L2)(X畑2()=(X22X2X3y3 XnVn)吃2Xs Xn)(13)(14)()=(Viy；(15)构造方程:其中t为未知数(tXi yjy2)2(tX3 y3)(tXn显然，该方程最多仅有一个对t的解该方程可写为:/2 2 2 2, 1.2(Xl X2 X3 Xn)t2(XiyiX2y2XaysXnyd t(y273y； )=0因为其解只有0或1个，所以4( Xiyi把(12)、X2 y2 Xsya - - - Xny：尸4(XX2y2)0式:所以(6)式:Ijl3）、（ 14）式代入，得:(16)ib4(a ib) (aib)严）薛定谓方程:可以写做:lm( z)F =少ImF扣-22m X-22m X(18)及其共觇式:所以2m(19)由（13）、（14）式有:XW2dxdt2m利用分部积分公式:f% dx（15）式可以写为2mdt对第二项再分部积分，消去边界项（在8处所以:2dx(20)-Wdx Xbdfgdx a fg dxW趋于0），得: P) mW m 呼dt(22)(23)则有（6）式中的（x、p为算符）：(9)式:2jp(j)J- 2j(l) (j)2P(j)2m)2(j)JP(j)(l)P(j)j2 (1“ /1)2所以，标准差:(24

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