三角变换及综合应用

1、高考数学高效复习优质专题及经典解析76三角变换及综合应用选择题(兀31G P ),cosa + - ,sin一714丿3 142丿<01、若 0"<2，- |<p1 / 17D.-答案C解析“nfcos! aJIHPHHP= cos(a +)cos( 一一)+si n(a +)si n( 一一)442442兀I21me mF1® 侔 v Tr又0肿E 工，且sin匚丄L逅14 2 丿 3丄亠2近应_晶3333 " 3故选C.高考数学高效复习优质专题及经典解析103 / 172、若 sin 0+鬥=* in，则咤为（tan PA. 5B. -1C.

2、 6答案A解析：由题 si n (ot + P )=-,si n (ot -P 戸1 可知 si not cosP +sina cosP =-232J两式联立可得sinct cos P5. n 1tanot匸=,sina cos P = /.百=51212ta nP3、已矢口 tan(x+ )=2 ,41 C5贝y sin 2x =(A.丄10910答案CJItan X +1解析：Qtan(x+Z)=241 -tan x=2，解得:tanxJ32sin xcosx2tanx从而 sin 2x =2sin xcosx =22sin X + cos xtan2x+12X1=3_2+113丿=1 .

3、故选C4、若a, P都是锐角，且cos a,sin(a p)，贝y cosP =()10102 10答案A解析：a邛都是锐角，且cosa,sin(a P)=兀10 ,所以 Sin。= 2"3/10cos(a - P)=,从而 cos P = cos(a -(a - P ) = cosa cos(a- P) + sin a sin(a - P )=故选A.二、填空题高考数学高效复习优质专题及经典解析15、已知 sin21 JI-+cosa，且 a 迂(0,)，2 2则co皿的值为哑4）答案普9 / 17(COSG +sina Jcoso sina )75(sina -cosa )2解析

4、：cos2° 、 sinC叮V 4丿2 - 2cos a Sin a7忑12sin acosa ”2 2“2"1，进而得 Sin#，一 1 、= j2(sina +cosa ) 由 sin a -cosa =-，平方得7兀”(sina +cosa j =-，由于 a 忘(0,y)C0S2a护 、/. sin a +cosa =，代入得2sin(a -冷)6、若 ot、P 均为锐角，且 cosa = , cos(a + P)=-,则sc P =1751答案1解析：由于/、P都是锐角，所以2 JO"）,又专，吨+唱所以 sin=普，sig + PW呼，COSOSZP

5、= cos(a +P)cosa + sin(a + P)sin a471 丄 14722721511751173三、解答题437、已知向量 a =(sin X,),b =(cosx,1).4-I（1 ）当 a/b 时，求 cos2 x-sin 2x 的值;（2）设函数f（x）=2（:+ b） b，已知在ABC匚中,内角A,B,C的对边分另U为 a,b,c,若 a = J3,b =2,sin B=一，求 f (x) + 4cos(2 A +)(x 0,=)的取值范363解析：因为a / b，所以汕X+sinx=0，所以tancrpr 2cos2x-2sin xcosx所以 cos X -sin

6、2x =22sin x + cos X1 - 2ta n X 85 21 + ta n X(2) f(X)=2(a +b) b =72sin(2x+-)+?42由正弦定理亠=旦，得sin A = "2sin A sin B2.所以3兀因为，所以A亠，所以4f (X) + 4cos(2 A + -)=42sin(2 x +=)-丄,642因为X忘0, 3,所以2x + - 1111 迂44 , 12 ,f(X)+ 4cos(2 A +勺 w 72 -1.6 2/X8已知函数f(X )=72兀cos X -I 12丿求f上的值;I 6丿空.解析:(1)因为f (xFcos- J ,所以w

7、cos4 诗wcos£L兀= V2cos =1 ;4(2)因为2=3，簾仔,2兀，则 sin日=-4。/5所以 cos2日=2cos2 日 T = 2% Q Y T =l5 丿25了 4 ) 324sin20 =2sin6cos0 =2xi- x =。I 5丿 525f a +3=72 cos .9 + 1 =42 fcos2& cos -sin 2 日 sin 9、在I 4丿 I44丿ABC中，角A , B , C的对边分别是a , b , c,已知向量m = (cos B ,cosC) , n = (4a -b , c)，且 m / n .(1 )求cosC的值;(2)若

8、 c=J3，ABC I的面积S=解析：(1) T m / n,”. ccosB =(4ab)cos C ,由正弦定理，得 sinCcosB=(4sin A _sin B)cos C，化简，得 sin(B+ C) =4sin AcosC -Ya+B+C=p，” ".si n A =s in (B+C) 又 7 A (0, p ), ”. sin A >0, cosC =丄.4(2) T C(0, pV cosC 二丄,/. sinC = J1 -cos2 C = J1 一丄''4N 164TsJabsinC，二 ab =2 .2 2 13=a +b -ab ,24

9、773(,由余弦定理得/. a2 + b2 =4，由，得 a4 -4a2+4 =0，从而 a2 =2, a =±/2 (舍去负值)，二 a=b=72.10、已知 m = (cosx + 73sin x,1 ), n = (2cos x, -y )满足 m，n = 0 .(1 )将y表示为x的函数f(x )，并求f(x)的单调递增区间;(2)已知MBC三个内角A'B'C的对边分别为ag若老卜，且a=2，求MBC面积的最大值.解析： (1) m n =2cos2 X+2/3sin xcosx y = 73sin 2x+ cos2x+1 y= 2sinf2x+叮I 6丿+1

10、y =0,所以 f(x)=2sinf2xX+M+16丿令2"6寸2"2,2心2，得川f （X ）的单调递增区间是jk兀-,匕+：.sinfL1,I 6丿'A =-3p " 兀 f兀 7；!）.兀 兀又a+6二在 AABC 中由余弦定理有，a2 =b2 +c2 -2bccos A =b2 +c2 - be > 2bc -bc= bc可知be兰4 （当且仅当b=c时取等号），1 1= besin A <24弓=爲，即MBC面积的最大值为73 .选择题1、已知兀0 ca V,2JI<2<0,cos(a - P )= -3,ta net5A

11、. Z25=4，则 sin P =()3242525D. - 2425答案D解析：因为tanasin a=3，结合 sin232cos acos asi宀|,co宀5，又- ；<p<0，所以心"口=1 及 0 <a <；，得sin (a P )= J -cos2(a - P ) = 4 ,所以 sin P =sin 回-(« - P )5高考数学高效复习优质专题及经典解析“sssM鬥十-1-|寻-务故选D.2、若 a (0,二)，且 cos2a+cos(二+2a)=，贝tana =(2 2 10答案C解析：cos2 a -sin 2a= cos2co

12、s a -2sin a cosot2 a -2sin a cosa =22sin a + cos a12ta na 32tan a +110整理，得 3tan2a+ 20tanot7=0 ,解得 tana =-或 tan a = _7 .又 a 迂(0,)，所3 2以ta-4.故选C3、已知 x（0,兀）sinf JI= cos2F12日则tanx等于-2答案D解析：由已知，得sin cosx -cos sin x = 33JIcos(x + ?) +12即逅cosx-丄Sinx2 24、已知A.J32，所以cos- 3庇.因为（0,兀），所以tanx = 72 .故选D.sin a =,si

13、n (o P )=也匚,P 均为锐角，则 cos2P=(510-115 / 17晋，又a，卩均为答案C解析：由题意得，因为sin （a，则sin （ P七）=锐角，所以如七匸密0，所以cos P = cos( P -a) + a =cos( P -a)cos a -sin( P -a)sin ot=3¥_欝呼乎，又p均为锐角，所以1，所以cos2P=cos2=。，故选 C.二、填空题5、已知Sing + P) Tsing内冷，那么也需的值是答案1解析：利用和差角公式将sin(a + P)=l , sin(aP)展开，2311_sin (a+P)=s in a cos P+cos(xs

14、i nP= - , si n( a-P)=si nacosP-cosas in P =-，可求得23sin Ct cos P =2 , cosasin P =，两式相除有 空普 =5 , 代入log5旦菩1212tanPtan P可求得其值为1.6、在AABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若bnA+a BWjNa B，BC边的中线长为1，则a的最小值为答案272-2解析：因为 b(tanA+ tanB)=72ctanB，所以 b sin AcosB + cos As in B 匕 sin (A + B ) _ 匕 sin c _ y2csin B cos A cos B cos A

15、 cos B cos Bcos A cosB由正弦定理得 sinBsinc =72sincsinB , cosA = cos AcosBcosB2设 BC 中点为 D，贝y AD =丄(人0 + AC)，4AD =+c2 + 2bccosA =b2 +c2 +V2bc 2又由余弦定理得a2 =b2 +c2 -72bc,，-得4-a2 =272bc,a2 =4 -2Qbc,由得 4 织2+血)bc,bc<，所以2 + 72y|2a2>4-272x=4(3-272)=4(72-1) , a>2(V21)故答案为 272-2.2 +丁2三、解答题7、已知函数f(x) = cos4x

16、-2sin xcosx-sin4x.(I)若x是某三角形的一个内角，且5=普求角x的大小;()当X引0,自时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.解析：(I) f(X)=(cos2xsi n2x)(cos2x + si n2x)si n2x=cos2x-s in2x=72sin(2x-寸).由一72sin(2x-才)=一拿 即 sin 1-寸)=1,所以 2x -叟=2k兀 +Z,k <Z,或 2x-t =2k兀 +竺，k 年 Z4646解得 X =k兀 +竺，k 亡 Z,或 x = k兀 +空，k<Z.2424因为X是某三角形的一个内角，所以gOE，所以54,或 X、()由

17、(1 )知 f(x) = -72s in (2x-H ,4，因为X引0,3 , 所以2x-q -二竺244 4所以-金< f (X) < 1 ,所以当且仅当2x-Z=-,即x = 时，f(x)取得最小值-72 ,4 28即f(x)的最小值为-忑，此时X的取值集合为日.&已知函数 f(x)=2sin2 (x + 2-73cos2x* 呂,专.设 x=a 时 f(x)取得最大值.高考数学高效复习优质专题及经典解析(1 )求f(x )的最大值及a的值;(2 )在沁中'内角A，B，C的对边分别为a，b,c，A = a_±，且sin BsinC =sin2 A，求

18、b c的值.解析(1 )由题意，cos!2x +f (X ) = k cosf2x +叮1石cos2x =1 +sin 2x巧cos2x = 1 + 2sin Gx 巴.2 L I 2丿I 3丿又x霁日，则A2近故当2X-扌冷，即XF=52时，fgaxY .兀 JI(2)由(1 )知 A=a-12 右19 /仃由 sin Bsin C =sin2 A，即 be = a2 .又 a2 =b2 +c2 -2bccosA =b2 +c2 -be .贝y b2+c2 be =bc ,即卩(bc；2=0 .故 b c=0 .9、设函数 f(x)=sin伸x+W),其中 >0,1 W|<|,若

19、 costco-sin2rsi0 且图象的两条对称轴间的最近距离是2(1 )求函数f(x)的解析式;(2)若A,B,C是MBC的三个内角，且f (A) = -1,求 sin B +sinC 的取值范围.解析：(1)由条件，2兀JIJI jIcoscos® -sin sin =coscosW -sin sin ® =cos( +)=0 33333A |二一上< 竺.一+-2636326又图象的两条对称轴间的最近距离是1，所以周期为兀，“ =2 ,(2)由 f(A)=1,，知 sin(2A +-)=-1,2x6A 是 沁的内角0V&2A+X""

20、 +AA=3从而B +C =-3由 sin B +sin C =sin B +sin( -B) =sin(B +), T 0 c B v ,. 一 c B + c3 33333. <sin(B + 壬)< 1,即 sin B +sinC 亡(逅,110、在 MBC232中，三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C，已知a,b,c成等比数列.(1 )若丄+丄=冷，求角B的值;tan A tanC3若AABC外接圆的面积为4兀，求MBC面积的取值范围.答案(1 ) B=-; (2) S出BC - (0,373.3解析：(1)1tan A1+ tan Ccos Acos Csin( A

21、+ C)2j3+ = =sin Asin C sin Asin C 3又T a,b,c成等比数列，得b2 =ac ,由正弦定理有 sin2 B =sin AsinC ,T A + C 刃-B，二 sin(A+ C) =sin B ,sin B _ 2/3得琵2S3，即 sinB=¥由b2 =ac知，b不是最大边，二(2)T MBC外接圆的面积为 劎,JIB 一.3 MBC的外接圆的半径R=2 ,由余弦定理b2=a2 +c2-2accosB，得c a2 壮2 -b2 cosB =2ac,又 b2 = ac ,二cosB牛当且仅当a=c时取等号，又 B为込ABC的内角兀0<r,由正

22、弦定理角=2R，得ZsinB.ABC的面积 S 普BC = lacs in B = lb2 si n B = 8si n3 B , 0 cB <- , 0 csin B32，S厚c 亡(O,33.、选择题1、若 a 忘(二;I),2A.-4 B3且 5cos2a -jOsin(-a)，贝tana 等于()42 D43答案A解析：由 5cos g = 72sin( ot)得 5(cos2 Ct - sin 2g=V2(sin co -cossin。),444即 5(cosa sin a)(cosa +sina) = cosa sina ,因为 a 亡(一，兀),所以 cosa -sina

23、丰 0 ,2所以cos a + si na =丄，平方得sin acosa=，联立再由a巳二兀)解52524sin a = 5，所以 tan Ct =-si =-，故选 A.3cosG3:=5得*!cosaCOSG2、函数f（x） =sin（x + 3）+asin（x违）的一条对称轴方程为-I，则a =A.1 B. 73c. 2 D. 3答案解析：由已知，函数f（X）=si n（x +二）+as in （x- = ）的一条对称轴方程为36x=-，贝y f（0） = f（巧，即+ 為，所以 a=J3.2 2 2 2 23、在MBC中，已知tan宁皿，给出以下四个论断丑=1 tan B 0 csi

24、n A+sinB < sin2 A + COS2 B =1 cos2 A + cos2 B =sin2C其中正确的是(A)(B)(C)(D)答案B解析：由A + B c ；! C 1tan=si nC= tan(-)=222 tanC2CcosCC=2si n cos，因为.C22sin 2Ccos工02/. 1 =2sin 2 =2兀tan B =tan(-A)=-2tanA / tanB2 C01 -2si n =0= cosC =0= C =9021 tanA-tan2 a 不一定为 1,，所以错；又cosB =cosg - A) =sin A，所以 sin2A+cos2B=2si

25、n 2 A也不一定等于 1，错；而 cos2 A +cos2 B =cos2 A +sin2 A =1 =sin2 C，正确；因为 sin A+sin B =s in A+ cosA = Qsi n(A+450)， 0°< A<90°= 4< A +4 <1352-vsin(A+450)<1= 1<72sin(A+450)<J2，从而肯定有0<sinA+sinB兰72，所以正确；综上可知选 B.4、若 sin (a - P)si n P -cos(a - P)cosP =4，且a为第二象限角，则tan()=5 4-7D高考数学

26、高效复习优质专题及经典解析答案B解析：由 sin (a -P)si n P -cos(a 一 P)cos P =-得54 cos(a P)cos P -s in (a -P)sin P =一5所以 cos(o - P + P)= -纟，即5o ot一-；因为为第二象限角，所以5sin心则ta"乎由两角和的正切公式有 吨卄兀tan + tana4兀1 - ta n ta not4故正确答案为B.二、填空题5、已知a为第三象限的角，cos2a = -3,则5兀tan ( +2a) =_4答案-17解析：因为a为第三象限角，所以 2a气2(2k+1) n n2(2k+1)n("Z

27、)，又cos2a = -3 <0,所以5丄 c sin 2atan 2a =7C2a 迂(一+ 2(2k +1)n n+ 2(2k+1)n(k 迂Z)，于是有sin2acos2a3tan2八沁cos2a-，所以tan(-+巧34n4tan+ tan空 1 - 4 一冗471-ta nta n2a1+7436、已知f(x)=J，若。忘(£,町，Y1 +x21 +x化简 f (cos® + f (-COSa)=答案丄si解析：f (cos。)= J1 - co曲1 + Cosa1 - cos。sina，goQ 冷1-21 + cos°1 + cosotsina1

28、4 /仃高考数学高效复习优质专题及经典解析又a迂(专，兀)，则 sina > 0,cosa < 0, 所以f (COSot) + f ( COSot)=1 COSot1 + COSotsin otsin ot1-cosa J+cosasi nasi nasi not三、解答题7、在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c ,已知售，(I)求cos A的值;(求 cos(2-3)的值.解析:(I)在 MBC 中，由及 sin B = 76s inC,可得 b = 76c, si nB si nC又由a十血b，有a=2c,所以cosA+cJ26。2沁2后62bc276c2(在M

29、bc中由cosA冲，可得sinA1515所以 cos2A =2cos2 A 1 = 一一，sin 2A =2sin AcosA =44所以 cos 2A兀兀 1 + 3 J5= cos2Acos +s in 2Asi n =338.B8已知a,P都是锐角，且.si na(I)求证：tan P =tan ot1 + 2 ta n 2 a23 /仃(n)当tan P取最大值时，求tan(a + P )的值.解析. (I) 八 tan P - sin P - sin cos® + P)sin a (cos cos P -si n a si n P)cos Pcos Pcos P= sina co吳-sin2a tan P”(1 +sin2a)tan P =sina cosxtanansin a cosottan P =2 -21+ si n2a 1+sin2atanatanacos2 a +2 sin2 Ct1 + 2ta n2