1003随机变量的数字特征

1、10 03随机变量的数字特征1、概念网络图一维随机变量T二维随机变量T 期望 .方差1矩切比雪夫不等式期望 '方差协方差 相关系数协方差矩阵第四章数学期望(一)一维随机变量1.离散型随机变量的数学期望 定义：设离散型随机变量X的分布律为PX =Xi=Pi*i =1,2,3C若级数送xi pi绝对收敛,i #则称级数3CZ xi pi的和为随机变量 X的数学期望(简称期望或均i =12、连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量 X的概率密度为f (x)，若积分J xf(x)dx绝对收敛，则称积分/ xf(x)dx的值为随机变量 X的数学期望，记为 E(X)，即：E(X)=J xf(

2、x)dx tr(二)二维随机变量的数学期望对二维随机变量(X,Y).，定义它的数学期望为 E(X,Y)=(EX,EY).1.二维离散型随机变量的数学期望设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：PX =xi，丫 =比 = Pjj'i, j =1,2；"则 E(X) = 2 Xipi=22 XiPij ,i i j 1COC OCE(Y) = S yjp欄=S 2yi pjj#iT u2.二维连续型随机变量的数学期望设二维连续型随机变量 (X ,Y)的概率密度为f(x,y)，则E(X)=f xfx(x)dx=f f xf(x,y)dxdy，E(Y)= f yfY(y)dy=

3、f f yf(x,y)dxdy(三)随机变量的函数的数学期望1.离散型随机变量的函数的数学期望设离散型随机变量 X的分布律为PX=xI = Pi, I =1,2,，g(x)是实值连续函C数，且级数5； g(Xi) Pi绝对收敛，则随机变量函数g(X)的数学期望为I 4Eg(x)=送 g(xi)Pi .I 土2.连续型随机变量的函数的数学期望设连续型随机变量 X的概率密度为f(x)，g(x)是实值连续函数，且广义积分-beJ g(x) f (x)dx绝对收敛，则随机变量函数g(X)的数学期望为-be数学期望的性质:Eg(X) = r g(x)f(x)dx.(四)(1)设C是常数，则有E(C)=C

4、设X是一个随机变量， C是常数，则有 E(CX)=CE(X).设X,Y是两个随机变量，则有 E(X +Y) = E(X) + E(Y).(可推广到n维)设X,丫是两个独立的随机变量，则有E(XY) = E(X)E(Y)二、方差1.定义式:D(X)=EX-E(X) 2,标准差：b(X) = JD(X)离散型:D(X)匹Xk -E(X)2 Pkk-be连续型:D(X) = Jx-E(X)2 f(x)dx2.方差常用计算公式DX =E(X2)-E(X)2.3.方差的性质(1 )设 C 是常数，则有 D(C)=O, D(X±C)=D(X)(2)设X是一个随机变量， C是常数，则有D(CX)

5、=C2D(X).(3)设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X ±Y) = D(X)+ D(Y).(可推广到n维)般地，设X,Y是任意两个随机变量，则有D(X ±Y) = D(X)+D(Y) ±2cov(X,Y)(4) D(X)=O的充分必要条件是 X 一概率1取常数C，即P X = C = 1，显然，这里C = E(X)期望方差0-1 分布 B(1, p)PP (1 -P)二项分布B(n, p)npnp(1 - P)泊松分布P仏)ZZ几何分布G(P)1P1 - P2P超几何分布H(n,M,N)nMNnM U M 丫N - n N V N人N T丿均匀分布U(

6、a,b)a +b2(b -a)212指数分布e仏)1A17正态分布N(4,cr2)Ac 2/2分布n2nt分布0n (n>2)n 2常见分布的期望和方差三、协方差1.定义1： EXEX Y-EY称为随机变量 X,Y的协方差记为cov( X , Y),cov(X , Y) = EX EX Y EY2.协方差的常用公式:cov(X,Y) = E(XY) -E(X)E(Y)（按定义展开即得）3.协方差的性质（X）0试求：（1）常数C；（2）E（ X），D（X）；（ 3）P|X-E（X）| D（X）.(1)cov(X,X) =D(X)；当Pxy = 0，称X与Y不相关；当Pxy=1时，称X与丫完

7、全相关：P（X=aY+b）=1cov( X ,Y) = cov(Y,X);cov(aX,bY) = abcov(X,Y), a,b为任意常数;cov(Xi +X2，Y)=cov(Xi,Y) + cov(X2,Y)；如果X,Y是相互独立的，则cov（ X , Y）=o。四、相关系数1.定义2：设随机变量 X,丫的数学期望与方差都存在，称Px= 罟以丫）为随机变量Jd（X）D（丫）X ,Y的相关系数。2.相关系数的性质:（1）Pxy 邙(2)Pxy=1的充分必要条件为，存在常数a,b使得PY = aX + b = 1。完全相关正相关，当卩/时（a0），负相关，当卩=-1时（a<0），五、矩对

8、于正整数k，称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,V k=E(Xk), k=1,2,对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幕的数学期望为X的k阶中心 矩，记为比，即六、二维正态分布及其边缘分布1.定义：若二维连续随机变量（X ,Y）的联合概率密度为:f（x, y）=1!1（X-已）2exp（ I-2 PZes J1 一 P2 I 页 - P ） L（亠 V X < +=c, 一处 < y < +=6（x-41）（x-巴）+（y-巴）222其中比，卩2 2：, P都是常数，且 W ；0, b20，_比 已，卩2吒咼,Pel,我们称（X ,Y）为服从参数

9、为 已，卩2&2，爲，P的二维正态分布记为（X,Y ）N（已卍 2,W2,b；,P）2说明:参数卩1，卩2分别是X和丫的数学期望，参数b 12分别是它们的标准差,参数P是它们的相关系数。3.二维正态分布的边缘概率密度（X_R）2 172fx（x）=-e 2厲V2兀W（y_31 2fY（y）=e 2°OC < y < +oC4.二维正态分布的联合概率密度与边缘概率密度的关系二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则随机变量 X和丫相互独立的充分必要条件P = 0 。即二维正态随机变量（X , Y），X和丫不相关与X和丫相互独立是等价的。常见题型1、一维随机变量及其函

10、数的数字特征1.设随机变量X的概率密度为cx2,2乞*乞2；其他.2.设 E ( X2) =0，则 E ( X)=2x, 0<x<1;3.设随机变量X的概率密度为f(xM则E ( XI)=0,其他，4十个猎人等候野鸭飞来，当一群鸭飞来，猎人同时射击，但每人任选自己的目标，且不互相影响，若每一人独自打中目标的概率是P,若10只野鸭飞来，计算没有被打中的鸭数的期望值.2、维随机变量及其函数的数字特征xy,05.设二维随机向量(X , Y)的概率密度为 f (X, y) = ：0< X < 1,0< y c 2; 其他,试求：(1)E(X)，E (Y ); (2) D

11、(X), D ( Y); ( 3) p xy .6.已知随机变量X，Y的相关系数为 PxY，若U=aX+b, V=cY+d,其中ac>0.试求U, V的相关系数PUV。7.( 01, 3 分)将一枚硬币重复掷 n次，以X和Y分别表示正面向上或反面向上的次数，贝y X和Y的相关系数等于(B) 0(D) 18.今有两封信欲投入编号为I、II、山 的3个邮筒，设 X Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求(1) ( X, Y)的联合分布;(2) X与 丫 是否独立；(3)令 U=max(X,Y),V=min(X,Y)，求 E (U)和E (V)。9.假设二维随机变量(X,Y)在矩形

12、G=(X,Y)|0 < x w 2, 0 w y w 1上服从均匀分布，记0,X <Y,1,X >Y;0,V 6I1,<2Y,>2Y.(1) 求U和V的联合分布；(2 )求U和V的相关系数P .10. (98, 7分)某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10和10件。现从中随机抽取一件，记Xi1,若抽到i等品0 其他 (i =1,2,3)试求：(1) (X, X2)的联合分布；(2) (X, X2)的相关系数 Po3、独立和不相关11.已知随机变量 X和丫分别服从正态分布 N( 1, 32)和N(0, 42),且X与丫的相关系数1X y2，设 Z +(1) 求Z的数学期望E (Z)和方差D(Z); (2)求X与Z的相关系数Pxz； (3)问X与Z是否相互独立？为什么?12.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则 E(X + e'X)-13. (93, 6分)设随机变量X的概率密度为1 ix|f(X)= e 严 ex c 畑2并冋X与| X|是否不相关?(1) 求EX和 DX (2)求X与|X|的协方差,(2) 问X与IX是否相互独立？为什么?14.如果X与丫满足D (X+y) =D (X-Y),则必有(A) X与丫独立。(B)X与丫不相关。(C) D ( Y) =0