线性代数期末试卷及解析(4套全)2015科大

1、线性代数期末试卷- 213 、填空题(每小题3分)(4)设矩阵A满足A2 A 4E-1解：一(A 2E).20,其中E为单位矩阵，则(A E) 1所以2_2A A 4E A A2A 2E、选择题(4)(A E)(A 2E)(每小题3分)2E,(AE) 12E (A E)(A 2E)1(A 2E).211 设A1111111111111140000000000000 E -,则A与B00(A) (C) 解：(B)合同但不相似；(D)不合同且不相似.PTAP即A与D合同且相似，其中| 入 E A|入1111故A的特征值为入1入1114, bP1,11入11卜1AP2),D diag( X K M%

2、为A的特征值.(cj24)11111入111%)11入11111入1(入 4) 23所以选(A), (B)、(C)、(D)40000000000000000皆错误.合同且相似； 不合同但相似;(A)正确因为A是实对称矩阵，故正交相似对角阵，因此存在正交矩阵九、(本题满分6分)份 tl 0(2 t2 «3,L 告tl %设% qL , %为线性方程组 Ax 0的一个基础解系,t2的，其中tl,t2为实常数，试问tl,t2满足什么关系时,gL ,3，也为Ax 0的一个基础解系.弘i 1,2,L ,s)均解：由于A(i 1,2,L ,s)为孙为比，的线性组合，所以为Ax 0的解.设 ki

3、0 k2已L ks自 即(t1k 12ks)3(，2卜1 ，1卜2)02 由于内,町L , 与线性无关，因止Itiki 12ks 0,12kl 11k2 0,L L12ksi t1ks 0.因为系数行列式t1 0 L 0 t2t2 t10 L 00 t2 t1L 0L L00 L 12 tl所以当t：( 1)s1t2 0 ；即当s 只有零解k1 k2 L ks 0 ,从0,(DL (t2ksi tks) &0 ，(2)t： ( 1)s 1ts，s s为偶数，t1t2,s为奇数，t1t2时，方程组(2)而0, 8,L , Bs线性无关，此时兄8,L , Bs也为Ax 0的一个基础解系.十

4、、(本题满分8分)已知3阶矩阵A与三维向量x ,使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x 3Ax 2A2x.(1)记 P (x, Ax, A2x),求 3 阶矩阵(2)计算行列| A E |.a a2 a3,则由AP PB得a2 a3 b2 b3 .C2 C3解：(1)解法一设Bb b2 b3C1 c2 c3a1(Ax,A2x,A3x) (x, Ax, A2x) bC1上式可写为(1)(2)2Axai bi Ax C1A x,A 22A x a2 b2Ax c2A x,A 32Ax a3 b3Ax c3A x,(3)将 A3xA 3Ax 2A2x代入（3）式得22，一3Ax 2A x

5、a3x b3Ax c3A x .(4) 由于x, Ax, A2x线性无关，故由（1）式可得由（2）式可得由（4）式可得0 00从而 B 1 0 30 12解法二 APa1c10,bi 1;a2b20, C2 1 ;a30,b33,C32 .A(x, Ax , A2x) (Ax,A2x,A3x)(Ax, A2x,3Ax2A2x)(x,Ax,A2x) 1 03 PB0 00从而 B 1 030 12E与B4.E相似,从而(2)由(1)知A与B相似，故A1 0 0| A E | | B E | 1 130 11线性代数期末试卷二2a 412、填空题(每小题3分)a 1 1 x1(5)设方程1 a 1

6、 X211ax3 解：_2.a11 ：A (AMb)1a1 ；11 a ；01a1a2仃 0a11a11 a由已知r(A) r(A) 3,故 a 1或 a 2 .a 1 时，r(A) r(A),舍去综上 a 2.11有无穷多解，则a 21121 2a002 a a23 行 0 a 11 a211 a_2(a 1)(2 a a ) 0,a 2 时，r(A) r(A) 2.0 1 110 1,且矩阵X满足1 1 0E ,其中E是3阶单位阵，求X .即由于行列式| AAX (A B) BX (B A) E(A B)X(A B) E111B | 0 11 0 ,所以矩阵A B可逆,0 011 1 2而

7、(A B) 1 '、（本题满分6分）1 0 0已知矩阵A 1 1 0 , B 1 1AXA BXB AXB BXA解：由题设的关系式得0 1 10 0 11 2 5故X (A B) 120 1 20 0 1十二、（本题满分6分）已知心如如M是线性方程组 AX 0的一个基础解系，若 001to（2, 22.«2t «3,自 饱t国,04041的，讨论实数t满足什么关系时，目，法，自，也是AX 0的一个基础解系.解：由于齐次线性方程组解的线性组合仍是该方程组的解，故 目，£自，& 是AX 0的解.因此，当且仅当目，占为，露线性无关时，§,以前

8、，存是基础解系.又100tt100(3 , 3, 3)( %,% % %)0t1000t1故3以船区线性无关当且仅当1 t 0 00 0 t1 0 0t 1 00 t 10,即t4 1 0 ,亦即t 1.所以t 1时，0，外自，肉是AX 0的基础解系.线性代数期末试卷三(每小题3分)-、填空题(3)设矩阵kill1 k 1 1A1 1 k 1111k且秩（A） 3,则k 解：3.k 31I A|=, 11(k 3)k 3 k 3 k 3k111k111k11110 k 10000 k 10(k 3)1 1(k 3)(k1 11 1k 11 k1)3,而秩(A) 3,故 |A| 0, k3或 k

9、 1.0 0000 0k 3时，A13 11113 1111300044 413此时 r(A) 3,1111k 1时,11110 0 0 00 0 0 00 0 0 0此时r(A) 1.综上 k 3.、选择题（每小题3分）(3)设 Aa12为ai4ai4a13a12ana22a23a24；Ba24a23a22a32a33a34a34a33a32a31a42a43a44a44a43a42a41aiia2ia3ia4i0 0 0 10 10 0Pi0 0 1010 0 0P2其中A可逆，则B 1等于(A) A1PF2；(B) RA1P2；10 0 00 0 100 10 00 0 0 1(C) P

10、1P2A 1；(D) P2A1P1.解：(C)正确B矩阵是将A的第1列与第4歹I，第2列与第3列对换所得到的矩阵，P1, P2 为相应的对换行、列的初等矩阵，R 1 P,P21 P2,P1P2 P2P1.显然 B AP1P2 _1_ 1 _1_1 1 _ 1 1B(AP1P2) P2 R A P2P1AP1P3A所以选(C)(4)设A是n阶矩阵，a是n维列向量，若秩秩(A),则线性方Ax a必有唯一解；A a XT0必有非零解.a 0 y1阶矩阵2 ”不是满秩阵， a 00必有非零解，故(D)正确, r(A)程组(A) Ax a必有无穷多解；(B)(C) A. " x0仅有零解；(D

11、)a 0 y解：(D)正确设 r (A) r ,因A是n阶方阵，故r n .又因为 r"r(A) r n,所以n a 0因此A " 0 ,所以齐次方程组。xa'0a'0 y(C)不对., A a一 .二 .一.由 r T r(A),故 r(A) r(A, a)a 0因此 Ax a必有解，但有唯一解还是有无穷解不确定，视A的秩r(A)而定. 若r(A) n时(A)不对，若r(A) n时(B)不对，本题r(A)未知，故(A)、(B)不正确.九、(本题满分9分)1 1 a设矩阵A 1 a 1a 1111 .已知线性方程组 AXB有解但不惟2,试求(1) a的值；(

12、2)正交矩阵Q ,使QTAQ为对角矩阵.解法1 (1)对线性方程组AXB的增广矩阵作行的初等变换，有11 a 111a1(A B)1 a 1 10 a 11 a 0.a 1 1200 (a 1)(a 2) a 2因为方程组AXB有解但不惟一，所以秩(A)秩(AB) 3,故a(2)由(1),有1 12A121.2 112.A的特征多项式| 入 E A | 乂入 3)(入 3),故A的特征值为1 3, 43,.对应的特征向量依次是O1(1,0, 1)T,。2(1, 2,1)T,%(1,1,1将01,%出单位化，得1 -1 T121 T 111目 (厂,0, 厂), 02( L ,厂，厂),3( 厂

13、，厂，、22.6.6 6.3 .3、. 31 112 、6-3210 飞忑1 112 6. 33 00则有QTAQ 0 3 00 00解法2 (1)因为线性方程组AX 0有解但不惟一，所以1 1 a 2_|A| 1 a 1 (a 1) (a 2) 0.a 1 1当a 1时，秩(A)不等于秩(A B),此时方程组无解；当a 2时，秩(A) 等于秩(A B),此时方程组的解存在但不惟一，于是， a 2.(2)同解法1.十、(本题满分8分)(A) n, Aj是A (aj )n n中元素a的代数余子设A为n阶实对称矩阵，秩 式(i, j 1,2,L ,n),二次型f(X1,X2,L ,Xn)Aj |A

14、".(1)记X (X1,X2,L ,Xn)T ,把f(X1,X2,L ,Xn)写成矩阵形式，并证明二次型 f (X)的矩阵为A 1;(2)二次型g(X) XT AX与f(X)的规范形是否相同？说明理由.解法1 (1)二次型f(X1,X2,L ,Xn)的矩阵形式为f(X) (k,X2,LA11A21LAn1XiA12A22LAn2X2MMMMAnA2 nLAnnxn,Xn)|AI因秩(A).11 A *A A .I A|从而(A 1)T (AT) 1 A 1.故A 1也是实对称矩阵，因此二次型 f(X)的矩阵为A(2)因为(A 1)TAA 1 (AT)E A 1,所以A与A 1合同，于

15、是g(X) XTAX与f(X)有相同的规范形.解法2 (1)同解法1.(2)对二次型g(X) XTAX可作逆线性变换X A1Y,其中Y (y1,y2,L ,yn)T ,T1 T1T 1 T 1g(X) X AX (A Y) A(A Y) Y (A ) AA YT T 11T 1Y (A ) AA Y YAY.由此得知A与A 1合同.于是f(X)与g(X)必有相同的规范形线性代数期末试卷四、填空题（每小题3分）220753（3）设行列式D3 042020202,则第四行各元素余子式之和的值为解：28.第四行各元素余子式之和为:DiM41 M42 M43 M44Di3201320132010 1

16、02 0 00 0 71 0 028、选择题（每小题3分）（3）同试卷（三）二、（3）九、（本题满分9分）同试卷（三）九.十、（本题满分8分）设我 （ai1,ai2,L ,ain）T（i 1,2,L ,r;r n）是n维实向量，且的，叱上，阡线性 无关.已知B （b1,b2,L ,bn）T是线性方程组可为a12x2La1nxn0,a21%a12X2La2nXn0,LLLL4的ar2X2Larn xn0.的非零解向量，试判断向量组 与 的,L ,%，B的线性相关性.解法1设有一组数k1,k2,L ,kr,k ,使得k101k2 a2 Lkr Or k B 0成立，因为B (b1,b2,L ,bn)T是线性方程组a11 x1a21 x1La12 x2a12 x2La1n xna2nxn Lar1x1的解，且BT oqar2x2故有arn xn0(i 1,2,L ,r)，P伪于是，由ki BT0(i 1,2,