1996考研数三真题及解析_最新修正版

1、最新修正版1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设方程X = yy确定y是x的函数，则dy =1(2)设 Jxf (x)dx = arcsinx+C,则 fdx =' f(x)(3)设(xo,yo )是抛物线y =ax2 +bx + c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足(4)的关系是设1(5)a12a1a22a2a32a3illIHIIILa1n A.a；4a；IllaT,X =X2X3+,B =11*+Xn.*1an2an其中ai Haj(i H j;i, j =1,2,HI，n).则线性

2、方程组设由来自正态总体 XN(P,0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值X=5,则未卩的置信度为0.95的置信区间为知参数二、选择题合题目要求(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 ,把所选项前的字母填在题后的括号内)远 cos日LaUO 11(1)累次积分J2d的f(rcosT,rsin日)rdr可以写成1Jy-y2(A) fdyf f(x,y)dxf(X, y)dx1 1(C) J0dx；0 f (X, y)dy(2)下述各选项正确的是1Jx-x2(D) f dx f f (x, y)dy()(A)若 z un2c(B)oC2 |unVnn zt(

3、C)c和S v2都收敛，则S (Un +Vn)2收敛n zicC收敛，则2 u2与无v2都收敛若正项级数iT un发散,则u-n#n(D)若级数S Un收敛，且Un >Vn( n=i,2,川)，则级数V.也收敛nJn 二设n阶矩阵A非奇异(n >2), A"是矩阵A的伴随矩阵,则n(A) (AJ IAA(B)(A，=|ApAn_2(C) (AiyAA(D)(AM)*=|ApA设有任意两个n维向量组aiH,Otm和Pi,川，Pm,若存在两组不全为零的数 Aj|i,km和 ki,川，km，使 G +ki)ai +km)am 中仏1 ki)Pi +HI +仏m -心)"

4、;=0,则(A)%，川I,%和Pi川，Pm都线性相关(B)8,川,Gm和Pi川，Pm都线性无关(C)%+ Pi,il2m+ Pm,% Pi,lil,% Pm 线性无关(D)W + Pi,il2m+ Pm,% 氏,川, Pm 线性相关已知0cP(B)c1 且 P(A+A2B= P(A|B) + P(A2|B),则下列选项成立的是()(A)p(A+A2)b= p(a|b)中 p(A2|b)(B)P(AB)=卩(侗 + 卩辭)(C)P(A+A2)=P(A B)+P(4 B)(D)P(B)= P(A)P(B A)+ P(A)P(B A2)三、(本题满分6分)设f(x)J叮，-0,其中g(x)有二阶连续

5、导数，且g(0)=id(0) j【0,x = 0,(1)求 f (x)；讨论f "(x)在(二，畑)上的连续性.四、(本题满分6分)X设函数z= f(u),方程u=®(u) + I p(t)dt确定U是x,y的函数，其中f(u)y (u)可微;P(t), A(u)连续，且护 W) h1.求 p(y)竺 + P(X)竺. 点Xdy五、(本题满分6分)计算 xel 2dx. 0 （1+e）2八、(本题满分5分)1设f (x)在区间0,1上可微，且满足条件f(1) = 2xf (x)dx.试证：存在匕 (0,1)使f(©)+Ef 徉)=0.七、(本题满分6分)设某种商品

6、的单价为P时，售出的商品数量 Q可以表示成Q=C,其中a b、p + bc均为正数，且a Abe.(1) 求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大，商品单价P应取何值？最大销售额是多少？八、(本题满分6分)求微分方程dxdy _ y -jx2 +2的通解.x九、(本题满分8分)010L010000012 已知A的一个特征值为3,试求y ; 求矩阵P,使(AP )T(A P)为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量山叫是齐次线性方程组 AX=0的一个基础解系，向量P不是方程组AX =0的解，即AP hO.试证明：向量组+ai,P+a2,川，P+%线性无关.十一、（本题满分

7、7分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少 ？ 十二、（本题满分6分）考虑一元二次方程 X2 + Bx + C = 0 ,其中B、C分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率P和有重根的概率q.十三、（本题满分6分）假设Xi,X2,川，Xn是来自总体X的简单随机样本；已知 EXk =ak（k =123,4）.证明：当n充分大时，随机变量Zn =丄£ Xj2近似服

8、从正态分布，并指出其分布参数.n y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1)【答案】dxx(1 +ln y )【解析】方法1：方程x=yy两边取对数得ln x = lnyy=ylny,再两边求微分，；dx=(lny+1)drd"；)dx(x(lny + 1 严 0).方法2：把=yy变形得X =eylny ,然后两边求微分得dx =eylnyd (y In y)= yy(1 +ln y )dy =x(1 +ln y )dy,由此可得1dx.dy =x(1 +ln y )【答案】-#1-X2 ) +

9、C3【解析】于是有由Jxf (x)dx = arcsinx+C ,两边求导数有* 1xf(x)=(arcsinx)=右f(x)=f X- x2dx =丄 f J1 -x2dx2 2 一 IjE-x2)一 1J(1-x2)3+C【答案】2兰0(或axo =c), b任意【解析】y =ax2 +bx+c两边求导得 y，= 2ax+b,y '(x0 )= Zaxo +b,所以过(Xo，yo )的切线方程为y-yo=(2axo +b；(x-Xo),即y -(ax： +bxo + c ) = (2axo +b)( x-x。).又题设知切线过原点(O,O),把x = y=O代入上式，得2 2 2-

10、axo -bxo -c = -2axo -bxo，即 axo =c.由于系数a【答案】(1,o,o,li|oT【解析】因为a是范德蒙行列式，由q工aj知a =n（ai -a0.根据解与系数矩阵= c), b任意.H 0,所以，系数应满足的关系为 ->0（或ax： a秩的关系,所以方程组 AtX =B有唯一解.根据克莱姆法则，对于fl11aa2a3a12a：afIHIHIHarirXjX2X3a；'nAa31111an2anINnJanjLXn jLij易见D = A ,D2 = D3 =川=Dn = 0.所以 AtX =B 的解为 X =1,X2 =X3 =川=Xn =0,即（1

11、,0,0，川,0 J.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组耳必 +2X2 +ilt+ainXn =b,a2iXi +a22X2 +IH+a2nXn =b2,IIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIdiX, +an2X2 +|li+annXn =bn.或简记为= bi,=12 川,n其系数行列式则方程组有唯一解Xja11ai2a21*a22*an1an2DjIII)1()1(aina2nannH0,j =12川,n.其中Dj是用常数项bi,b2ll,bn替换D中第j列所成的行列式,即耳1&1*IIIIIIa2,j_1RRb2*a1,j41a2,j 屮III il

12、laa24Ran1IIIRan, j Jrbnan,j 屮IIIRaninnDj =n(5)【答案】(4.412,5.588)【解析】可以用两种方法求解:(1)已知方差CT2 =0.92,对正态总体的数学期望卩进行估计，可根据1 n因X L N (巴0.92),设有n个样本，样本均值X =-£ Xi , n i 4有X N(巴23),将其标准化，由公式XE(X)N(0,1)得: nX 4 -N(0,1)Tn由正态分布分为点的定义甩 =1可确定临界值2 ,电,2进而确定相应的置信区间-Oc(X -U%, X + U鶴).(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值卩的置信区间问题

13、.fO' O"、由教材上已经求出的置信区间(X-Ug了，X +u务 石丿,其中P<|U| cuj"-a,U N(0,1),可以直接得出答案. 2 JUa = 1.96.本2方法1:由题设，1 -a =0.95,可见a = 0.05.查标准正态分布表知分位点题n =9, X =5,因此,根据P<1.96 =0.95,有P<1.960.95,即 P4.412 < 卩 <5.588 =0.95,故卩的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588).方法2:由题设，1 -a = 0.95,PU<小 P-%<U2< %

14、= 2() -1 = 0.95，(uj = 0.97522查得 /a.22CT =0.9 , n =9,X =5代入(X -uC烷 J,x+u 務得置信区间(4.412,5.588).O'-二、选择题 合题目要求(1)【答案】【解析】(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 ,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(D)方法1：由题设知，积分区域在极坐标系 x = rcos0,y = rsin0中是D =2(r,9 )|0 <9 <巴,0 <r <cos9r2J2X -+y1=1与x轴在第一象限所围成的4即是由： 2丿 平面图形，

15、如右图.由于D的最左边点的横坐标是 0,最右点的横坐标是1,下边界方程是y = 0,上边界的方程是 y = Jx-X2 ,从而D的直角坐标表示是D =(x,y)|0<x<1,0<y<Jx-x2故(D)正确.方法2:采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为I兀IDUr )|0 兰日 < ,0 <r <sin 卜L_2J而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分，(C)中的积分区域是正方形(x,y )|0<x <1,0<y <1,所以，他们都是不正确的.故应选(D).【答案】(A)3Cac【解析】由于级数 2

16、u2和送v2都收敛，可见级数送(u2 +v2)收敛.由不等式2 22UnVn 兰 Un +Vn及比较判别法知级数送2unvn收敛,从而送2unvn收敛.n =1n4222处2又因为（Un +Vn ） =Un +£ + 2UnVn ,即级数£（Un +百）收敛，故应选（A）.n 4设Un设Uni=,Vn =i(n = i,2j|j),可知(B)不正确. ni i=-(n =i,2，川),可知(C)不正确.n n设Un.n(-1)i,Vn =-一（n =i,2,川）,可知（D）不正确.nn注：在本题中命题（D） “若级数S un收敛，且Un>Vn（ n=i2i|）,则级数

17、2 vn也收敛.” n zin=i不正确，这表明：比较判别法适用于正项级数收敛（或级数绝对收敛）的判别，但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.【答案】（C）【解析】伴随矩阵的基本关系式为aA =a E,现将A*视为关系式中的矩阵 A,则有AM（A*r= A E.方法一：由n -1A及（A宀A ,可得阳=a1（a仁An£ndA故应选（C）.方法二：由A E,左乘A得n -1(aA)(A An"1A,即(|A E)(Ay lAA.故应选（C）. 【答案】.若向量组丫1,丫2,川負线性【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解

18、 无关，即若 xJi + x2 +川 + XsS =0,必有 Xi =0,X2 =0ll, Xs =0 .既然兀山，心与kiH,km不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除（B）、（C）.般情况下，对于kFi 22 +川中ks% +li0i +)li+lsPs =0,不能保证必有kjH +k2a2+川+ ksOts = 0,及iQ+川 乜 氏=0,故(A)不正确.由已知条件,>1(1 +Pi ) + n|+Am(a m + Pm )+ (旳-Pj ) +川 + (口皿一卩皿尸0,又和山，)与ki|，km不全为零，故a i+PjlL% + PmQl -PlilQm Pm线性相关.故选

19、(D).【答案】(B)【解析】依题意p (A +A2)B p(aB) + P(A2B)P(AB + A2B)P(AB) + p(A2B)P(B - P(B) P(B) ， P(B)- P(B因 P(B) >0,故有 P(AB + A,B ) =P(AB)+P(4B ).因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式，对任何事件B都成立，但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件A1, A2应满足P (人)0, P( A2)>0,且 & A是对立事I相关知识点】条件概率公式：P(B|A2鵲 三、(本题满分6分)【解析】(1)由于g(x)有二阶连续导数，

20、故当X H 0时，f(X)也具有二阶连续导数，此 时，f (x)可直接计算，且f'(X)连续；当x=0时，需用导数的定义求f'(0).HO时(x) = xg'(x) +e= -g(x)+e= = xg &) -g(x)+ (x+1)=0时，由导数定义及洛必达法则，有洛 iim*2士一込1=J0f(0)“mg2X4 洛 iimg(X)+2x所以lxg'(x) -g(x) +(x +1怡7I2f'(x)"xIg"(0) TxH0,X = 0. /xTx2= T.因为在x = 0处，有(2) f (x)在X = 0点的连续性要用定义

21、来判定limf'(x)FmXg(X)g(X)+(X+1)rxT /0irn g'(x)+xg“(x) g'(x)+e-(x + 1)e2xX-P吟f'(0).而f（X）在X工0处是连续函数,所以f '（X）在（二，畑）上为连续函数.四、（本题满分6分）【解析】由Z = f(u)可得= f (u) = f'(u)竺 cxcx cycyX在方程u =（u） + f p（t）dt两边分别对X, y求偏导数，得 y更=P(u)旦+ p(X)乍Ng 空-p(y)exexcycy所以cu _ p(x) du _ -p(y) dx 1 - A(u)'內

22、1-®'(u)于是p(y旨 p(烽?S瞥借f'(u)=o.五、（本题满分6分）【分析】题的被积函数是幕函数与指数函数两类不同的函数相乘【解析】方法1：因为,应该用分部积分法.xe dx = xd分部积分'(1+e)21 +Xdx丄 X丄 -X1+e1+eX.=宀-宀 dx =宀-d(1 + ex) be1+eX1+ed T + e-TT-I n(1+eX)+C,1 +e所以'0xe"(1 计)2dx = Jjm:-In(1 +ex) + ln2.X xexim五1I XeXnl Ind+ejjnLeX(e")JL_lim ±

23、;十 1+ex-X-I n(1 + ef故原式=ln2.方法2:tc xe* xe ,*1777 xd 右x1+ex严dx 严dx+ I= x0'o 1+ex'o 1+ex-fee 1xx0 乔歹d(1y n(1+e)-be= ln20六、(本题满分【分析】由结论可知，若令®(x) = xf(x),则护'(x)=f(x) +xf'(x).因此，只需证明W(x)在 0,1内某一区间上满足罗尔定理的条件【解析】令®(x) = xf(X)，由积分中值定理可知，存在n (0，1)，使1 1 1J02xf(x)dx3(x)dx=2®(H)，由

24、已知条件，有f(1) = 2pxf(x)dx=2丄护=W(H)，于是0 2半(1)= f(1)=叩),且®(x)在P,1)上可导，故由罗尔定理可知，存在©忘(H,1)u(0,1),使得徉)=0,即 f(® +©f 徉)=0.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数f (x)在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一个点巴，使下式成立:btJ f (x)dx = f (©(ba)(a <巴 <b )a这个公式叫做积分中值公式.2.罗尔定理：如果函数f (x)满足(1)在闭区间a, b上连续;(2)在开区间(a,b )内可导;最新修

25、正版 在区间端点处的函数值相等，即f （a） = f （b）,那么在（a,b ）内至少有一点 匕（a<©<b）,使得f'（E）=0.七、（本题满分6分）【分析】禾U用函数的单调性的判定，如果在x的某个区间上导函数 f'（x）X0,则函数f（x）单调递增，反之递减.【解析】（1）设售出商品的销售额为 R,则2 a,abc(p +b )2(p+b)R = pQ=p( _c),R( p)=令R'=0,得Po =b(需-VbC) > 0 . cp+bxx当 0 <p <-s/bC）时，R'0,所以随单价p的增加，相应销售额R也将增

26、加.当PJC（ ja 一 JbC）时，有Rt 0,所以随单价P的增加，相应销售额R将减少.-c=- VbC)2.八、（本题满分6分）【解析】令z =,则dy=z + x-x dxdx当X aO时,原方程化为z+ xdz = z j1 +z2 ,即 dxdzJ1 +z2dx,其通解为xIn(z + Jl z2) = -Inx+Ci 或z+Ji +z2代回原变量，得通解y + Jx2 + y2 =C（x0）.当x<0时,原方程的解与xaO时相同，理由如下 令= -x ,于是t AO,而且dy dy dx _ dy y - Jx2 + y2 dt dx dt dxy-Jx2 +y2-x y-J

27、t2 + y2t（2）由（1）可知，当p=JC（ja-JbC）时,销售额R取得最大值,最大销售额为最新修正版从而有通解 y + Jt2 + y2 = C (t > 0)，即 y + Jx2 + y2 = C(xc 0).综合得，方程的通解为y + 7x=C.注：由于未给定自变量X的取值范围，因而在本题求解过程中，引入新未知函数 z = 后得X+ z2Jx2 +y2 =1X71从而，应当分别对xaO和x<0求解，在类似的问题中，这一点应当牢记.九、（本题满分8分）【分析】本题的（1）是考查特征值的基本概念，而（2）是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题 转化成二次型求标准形的问题，用二次

28、型的理论与方法来处理矩阵中的问题.【解析】（1）因为1=3是A的特征值，故3E -A -3-1-133-y-1-1-1-13 - y -1-11= 8(2 y) =0,所以y =2.由于ATT 2=A，要(AP) (AP) =P A P = A，而是对称矩阵A2 =00L0,故可构造二次型0"0XT A2x，将其化为标准形T2y Ay .即有A与A合同.亦即P* P".方法一：配方法.丄十T22由于 X A X = Xi2 2+5x3 +5x4 +8X3X42=X12=X12丄8丄16 2丄2 16 2+5(X3 + X3X4 + X4)+5X4 X4 5255+ c/ +

29、42 + 9 2+5(X3 +X4)+ X4，554那么，令 =X1,y2 =X2, y3 =X3 +-X4,y4 =Xh即经坐标变换5所以，取方法二:X2X3Lx4jxtA2x1L0正交变换法.f1L°=yi二次型 XT A2x = x；A2L0其特征多项式aE A2y2y3Ly4j2丄2-2丄92+ y2 +5y3 +屮.5,有（AP ）t（A P） =P TA2 P =2 - -+ X2 +5X3 +5X4+ 8X3X4对应的矩阵为A-1101A-1-42 2A的特征值A =1,為=1,爲=1,為=9.由仏1E A ）x = 0,即00 1X1 1X2-4-4X30-4-4LX

30、4 JL0J2和（爲E A ）x=0,即8X20L0-4X3-4LxJL0J分别求得对应扎1,2,3 =1的线性无关特征向量w =(1,0,0,0)T,a2 =(0,1,0,0)T,a3 =(0,0,1, -1)T,和4 =9的特征向量OU =（0,0,1,1）T.对a 1/x23用施密特正交化方法得（,4,6,再将a4单位化为P4,其中:p1 =(1,0,0,0)T,p2 =(0,1,0,0)T, P3 -1 1）'（。,0怯,新取正交矩阵10P = Pi, P2, P3, P4 =00 -0011应72 ,1100011_.2_f T . 2_P AP=PAP =1TT 2(AP)

31、 (AP) = P A P =十、（本题满分8分）【解析】证法1:（定义法）若有一组数k,k1,k2ll,kt,使得(1)kP +匕(0 +%)卄2( P +«2)+川 +kt( P +%) = 0,则因，川，W是AX =0的解，知AS =0（i =1,2,川，t）,用a左乘上式的两边，有(k Pkj +k2 +川 +kt)AP =0.由于 aP 工0,故 k + 匕 + k2 +11( + kt =0.对(1)重新分组为(k+k2 +)H+ kt) P +k1a1 tk?% +H( +=0 .把(2)代入(3)得 k<k=0.由于，川，叫是基础解系，它们线性无关，故必有k1

32、=0*2 =0，川，kt =0.代入式得：k =0.因此向量组P, P +S P +(/2, P +%线性无关.证法2：(用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列，有（P, P +8, P +口2, 1卄,P +耳戸（呂,口2川1,5 ）.2,因此r（P, P +口1,0 +（/2,川,P +% ）=r（P,ot1,ot2,H|,ott ）.由于,(/2,川,是基础解系，它们是线性无关的，秩r(ot1,ot2,|H,ott ) = t,又P必不能由822,川，S线性表出(否则aP =0),故r («1,«2,川,耳，P ) = t中1.2,所以r（P, P +口1, P +（/2,川，P Ft ） = t +1.即向量组P, P + %, P +2,川，P +%线性无关.卜一、(本题满分7分)【解析】设一周 5个工作日内发生故障的天数为X ,则X服从二项分布即B(5,0.2).由二项分布的概率计算公式，有px =0=0.85 =0.32768,pX =1 = c50.84 0.2 = 0.4096,PX =2=C；0.83 O22 =0.2048,Px >3